Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck

Die Seiten haben Namen

Im rechtwinkligen Dreieck liegt der rechte Winkel $\gamma =90°$ bei der Ecke C, der Winkel α bei A und β bei B. Jede Seite trägt den kleinen Buchstaben der Ecke, die ihr gegenüberliegt: a liegt A gegenüber, b liegt B gegenüber, c liegt C gegenüber.

Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt Hypotenuse — hier c. Sie ist immer die längste Seite. Die beiden anderen Seiten heißen Katheten. Von α aus gesehen ist a die Gegenkathete (sie liegt α gegenüber) und b die Ankathete (sie liegt an α an).

Schaut man von β aus, tauschen die Katheten ihre Rollen: b ist dann die Gegenkathete, a die Ankathete. Nur die Hypotenuse bleibt, was sie ist.

Ähnliche Dreiecke

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel α. Jetzt zeichne ein zweites, größeres rechtwinkliges Dreieck mit demselben Winkel α. Und ein drittes, noch größeres.

Alle drei sehen „gleich aus“ — nur die Größe unterscheidet sich, und das bleibt so, wohin du α in der Figur auch ziehst. Man sagt: Sie sind ähnlich. Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn alle ihre Winkel übereinstimmen.

Bei rechtwinkligen Dreiecken genügt dafür schon ein einziger spitzer Winkel. Der rechte Winkel ist in beiden sowieso 90⁠°, und weil die Winkelsumme 180⁠° beträgt, ist der dritte Winkel dann in beiden $90°-\alpha$.

Strecken mit dem Faktor k

Ein ähnliches, größeres Dreieck entsteht, wenn man das Dreieck streckt: Jede Seite wird mit derselben Zahl k malgenommen, dem Streckfaktor. Mit $k=2$ wird jede Seite doppelt so lang, mit $k=0,5$ halb so lang. Die Winkel bleiben dabei, wie sie sind.

Ein Seitenverhältnis ausrechnen

Die beiden Zahlen, die in der untersten Zeile der Figur stehen bleiben, sind Seitenverhältnisse: eine Seitenlänge geteilt durch eine andere. Im Original mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm ist das Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse

$$\frac{a}{c}=\frac{3\text{cm}}{5\text{cm}}=\frac{3}{5}=0,6$$

Die Einheit kürzt sich weg — ein Seitenverhältnis ist eine reine Zahl. Genauso ist Ankathete : Hypotenuse

$$\frac{b}{c}=\frac{4\text{cm}}{5\text{cm}}=0,8$$

Mit $k=2$ werden die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm lang — und $6:10$ ist wieder 0,6, $8:10$ wieder 0,8. Das ist kein Zufall. Beim Strecken stehen oben und unten im Bruch derselbe Faktor k, und der kürzt sich. In ähnlichen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse deshalb gleich — egal ob das Dreieck winzig oder riesig ist:

$$\frac{k\cdot a}{k\cdot c}=\frac{a}{c}$$

Nur der Winkel zählt

Was das Verhältnis ändert, ist der Winkel. Ein anderes α gibt ein Dreieck mit anderer Form und damit ein anderes Verhältnis a : c. Umgekehrt gilt: Haben zwei rechtwinklige Dreiecke dasselbe Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse, dann haben sie auch denselben Winkel α. Das Seitenverhältnis hängt nur vom Winkel ab: Zu jedem Winkel gehört genau eine Zahl.

Das erste Seitenverhältnis bekommt einen Namen. Das Verhältnis von Gegenkathete a zu Hypotenuse c ist der Sinus von α:

$$\sin \alpha =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{a}{c}$$

Der Sinus gibt an, welchen Anteil die Gegenkathete an der Hypotenuse hat. Halb so lang ist sie bei 30⁠°: $\sin 30°=0,50$, in jedem rechtwinkligen Dreieck mit 30⁠°. Und je größer α, desto größer sin α.

Rückwärts. Mit dem Regler hast du eben zu einem Sinuswert den Winkel gesucht. Das erledigt die Umkehrtaste sin⁻¹ am Taschenrechner: $\alpha ={\sin }^{-1}(0,5)=30°$. sin⁻¹ macht den Sinus rückgängig; es ist kein Kehrwert, also nicht 1 geteilt durch sin.

Eine Seite ausrechnen. Kennst du den Winkel und eine Seite, stellst du $\sin \alpha =a/c$ um wie jede Gleichung seit Klasse 7. Steht die gesuchte Seite im Zähler, nimmst du beide Seiten mal $c$: $a=c\cdot \sin \alpha$. Steht sie im Nenner, nimmst du erst mal $c$ und teilst dann durch den Sinus: $c=a:\sin \alpha$.

Die zweite Kathete ist die Ankathete b, die an α anliegt. Ihr Verhältnis zur Hypotenuse ist der Kosinus von α:

$$\cos \alpha =\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{b}{c}$$

Der Kosinus gibt an, welchen Anteil die Ankathete an der Hypotenuse hat. In der Figur ist sie bei 60⁠° halb so lang: $\cos 60°=0,50$.

Wenn α größer wird, wird die Ankathete kürzer, die Hypotenuse bleibt gleich — also wird cos α kleiner. Der Kosinus fällt, wo der Sinus steigt.

Rückwärts. Die Umkehrtaste cos⁻¹ liefert den Winkel zu einem Kosinuswert: $\alpha ={\cos }^{-1}(0,5)=60°$.

Das dritte Seitenverhältnis vergleicht die beiden Katheten miteinander. Im 3-4-5-Dreieck mit a = 3 cm, b = 4 cm und c = 5 cm ist es $3:4=0,75$. Dieses Verhältnis heißt Tangens von α:

$$\tan \alpha =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}=\frac{a}{b}$$

Der Tangens vergleicht die Gegenkathete direkt mit der Ankathete — die Hypotenuse spielt hier keine Rolle.

Bei 45⁠° zeigt die Anzeige tan α = 1, weil Gegenkathete und Ankathete dann gleich lang sind. Darüber schrumpft die Ankathete, und der Tangens wächst über jede Grenze — Sinus und Kosinus bleiben immer unter 1, weil die Hypotenuse die längste Seite ist.

Rückwärts. Die Umkehrtaste tan⁻¹ liefert den Winkel aus den beiden Katheten: $\alpha ={\tan }^{-1}(0,75)\approx 36,9°$ — der Winkel des 3-4-5-Dreiecks, den du eben in der Figur gesucht hast.

Die drei Verhältnisse nebeneinander:

• $\sin \alpha =\frac{a}{c}$ (Gegenkathete / Hypotenuse)
• $\cos \alpha =\frac{b}{c}$ (Ankathete / Hypotenuse)
• $\tan \alpha =\frac{a}{b}$ (Gegenkathete / Ankathete)

Welches der drei du brauchst, entscheiden die zwei Seiten, die im Spiel sind: die gegebene und die gesuchte. Gegenkathete und Hypotenuse — Sinus. Ankathete und Hypotenuse — Kosinus. Die beiden Katheten — Tangens.

Bei 37⁠°, fast genau im 3-4-5-Dreieck, sind die Quadrate $0,60^2=0,36$ und $0,80^2=0,64$ — zusammen 1. Das ist der Satz des Pythagoras, $9+16=25$, durch 25 geteilt: $\frac{9}{25}=(\frac{3}{5}{)}^2$ ist das Quadrat des Sinus, $\frac{16}{25}=(\frac{4}{5}{)}^2$ das Quadrat des Kosinus.

Für $(\sin \alpha {)}^2$ schreibt man kurz ${\sin }^2\alpha$, gelesen „⁠Sinus Quadrat Alpha“: erst den Sinus nehmen, dann quadrieren — das Quadrat gehört zum Wert, nicht zum Winkel. Mit Buchstaben teilt man $a^2+b^2=c^2$ durch $c^2$ und erhält $(a/c{)}^2+(b/c{)}^2=1$, den Zusammenhang 1:

Zusammenhang 2 verbindet den Tangens mit den beiden anderen. Teilt man $\sin \alpha$ durch $\cos \alpha$, multipliziert man mit dem Kehrbruch, und die Hypotenuse kürzt sich heraus: $(a/c):(b/c)=a/c\cdot c/b=a/b$. Der Tangens ist also der Quotient aus Sinus und Kosinus:

Zusammenhang 3 verbindet α mit dem zweiten spitzen Winkel. In der Figur heißt er β: Die Winkelsumme lässt neben dem rechten Winkel nur $\beta =90°-\alpha$ übrig. Die Seite b, die an α anliegt, liegt β gegenüber — die Ankathete von α ist die Gegenkathete von β:

Fünf Schritte vom Text zum Dreieck

Der Dachdecker vom Anfang hat kein Dreieck mit a, b und c vor sich, sondern ein Dach, eine Neigung und eine waagrechte Länge. Vom Text zum Dreieck führen immer dieselben fünf Schritte:

1. Skizze. Zeichne, was der Text beschreibt. Ohne Skizze rätst du, welche Seite gemeint ist.
2. Rechten Winkel suchen und markieren. Er steckt fast immer in einer senkrechten Wand, einem Lot oder dem waagrechten Boden. Ohne ihn gilt keines der drei Verhältnisse.
3. Seiten relativ zum gegebenen Winkel benennen. Die Hypotenuse liegt immer gegenüber vom rechten Winkel. Welche der beiden Katheten Gegenkathete und welche Ankathete ist, hängt am Winkel α, mit dem du rechnest — nicht am Buchstaben in der Skizze.
4. Das Verhältnis wählen, in dem beides steht: die gegebene und die gesuchte Seite. Erst dann greifst du zum Taschenrechner.
5. Größenordnung prüfen. Eine Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse; ein Sinus- oder Kosinuswert liegt zwischen $0$ und $1$.

Der erste Durchlauf ist dieses Dach. Es hat die Neigung $\alpha =35°$, von der Traufe bis unter den First sind es waagrecht $4,0\text{m}$. Die Skizze ist die Figur. Das ganze Dach ist ein gleichschenkliges Dreieck ohne rechten Winkel; erst die Senkrechte unter dem First, eine Hilfslinie, teilt es in zwei rechtwinklige Hälften. Von α aus ist die waagrechte Strecke die Ankathete $b$, die gesuchte Firsthöhe die Gegenkathete $a$. Zwei Katheten, keine Hypotenuse — also Tangens.

$$\tan 35°=\frac{a}{4,0\text{m}}$$ $$a=4,0\cdot \tan 35°\approx 4,0\cdot 0,700\approx 2,8\text{m}$$ Probe: $2,8\text{m}$ ist kleiner als $4,0\text{m}$, wie es unter 45⁠° sein muss — erst ab 45⁠° ist $\tan \alpha \ge 1$. Der Taschenrechner steht dabei auf DEG, also auf Grad.

Höhenwinkel und Tiefenwinkel

Wer etwas anpeilt, misst den Winkel von der Waagrechten aus, nie vom Boden und nie von der Senkrechten: Der Höhenwinkel liegt zwischen der Waagrechten durch das Auge und der Sichtlinie nach oben, der Tiefenwinkel zwischen der Waagrechten und der Sichtlinie nach unten. Höhen- und Tiefenwinkel sind gleich groß, weil die beiden Waagrechten parallel sind.

Der Berg vom Anfang

So peilt man den Berggipfel vom Anfang an: Laut Karte liegt er $1200\text{m}$ höher als du, das Gerät misst den Höhenwinkel $8°$. Gesucht ist der waagrechte Abstand $d$, die Ankathete. Sie steht im Nenner: $\tan 8°=1200\text{m}/d$, also $$d=\frac{1200\text{m}}{\tan 8°}\approx \frac{1200\text{m}}{0,1405}\approx 8540\text{m}$$ Gut 8,5 km.

Was der Kurs gezeigt hat. Dach und Berg sind dasselbe Dreieck: Ein spitzer Winkel legt die Form fest, die Form legt die drei Verhältnisse fest, und eine einzige bekannte Seite legt die Größe fest. Stillschweigend galt dabei immer: ein rechter Winkel und ein Winkel unter 90⁠°. Für 120⁠° gibt es kein solches Dreieck mehr. Wie Sinus und Kosinus trotzdem weitergehen, zeigt der Einheitskreis im nächsten Kurs.