Terme aufstellen und deuten

Ein Buchstabe für eine Zahl

Mia legt aus Streichhölzern eine Kette aus Quadraten. Wie viele Quadrate es am Ende sind, weiß sie noch nicht — also gibt sie dieser Zahl einen Namen: n. Ein solcher Buchstabe heißt Variable. Sie ist ein Platzhalter für eine Zahl, niemals für einen Gegenstand: Kostet ein Heft h Euro, dann ist h der Preis, nicht das Heft.

Steht eine Zahl direkt vor einem Buchstaben, heißt das „mal“: $3a$ bedeutet $3\cdot a$, also drei Stücke der Länge a. Auch zwischen zwei Buchstaben darf das Malzeichen fehlen: $ab=a\cdot b$. Ein Ausdruck wie 3a heißt Term.

Die Variable darf ihren Wert ändern

Setzt du für a eine andere Zahl ein, ändert sich der Wert des Terms. Der Term $2a$ hat für a = 3 den Wert 6, für a = 5 den Wert 10. Die Variable ist also veränderlich, und der Term folgt ihr.

Nimm dich vor ähnlich aussehenden Termen in Acht. 2a bedeutet zwei Stücke der Länge a nebeneinander, $a\cdot a$ ist ein Quadrat mit der Seite a. Für a = 3 ergibt 2a den Wert 6, a · a aber 9. Für a = 2 sind beide gleich (4 und 4), für die meisten anderen Werte nicht. Wer 2a schreibt, meint nie „2 plus a“.

Rechenwörter

Aus Texten werden Terme, indem du Rechenwörter in Rechenzeichen übersetzt. „Das Doppelte von x“ ist $2x$, „5 mehr als x“ ist $x+5$, „ein Drittel von x“ ist $x:3$. Wörter wie „-fache“ und „mal“ verlangen ein Malzeichen, „mehr“ und „Summe“ ein Plus, „weniger“ und „Differenz“ ein Minus.

Der Term schreibt dieselbe Rechnung für jede Zahl x zugleich auf. Kennst du x, rechnest du nur noch aus: Für x = 4 ist das Doppelte 8 und „5 mehr“ ergibt 9.

Klammern zeigen die Reihenfolge

„Das Doppelte der Summe aus x und 3“: Zuerst wird die Summe gebildet, dann verdoppelt. Dafür braucht der Term eine Klammer: $2(x+3)$. Ohne Klammer, also $2x+3$, würde nur x verdoppelt und die 3 käme einfach dazu. Für x = 4 ergibt der erste Term 14, der zweite 11.

Ein Rechteck, das 2 hoch und x + 3 breit ist, hat den Flächeninhalt 2(x + 3). Die Klammer fasst zusammen, was zuerst gerechnet wird.

Weniger als

„7 weniger als x“ heißt: Von x werden 7 weggenommen, also $x-7$. Im Satz steht die 7 zuerst, im Term steht sie hinten. Wer $7-x$ schreibt, dreht die Aufgabe um: Für x = 10 hat x − 7 den Wert 3, 7 − x aber den Wert −3.

Genauso ist „x geteilt durch 3“ der Term x : 3, nicht 3 : x. Prüfe jeden Term mit einer Zahl: Passt der Wert zur Geschichte?

Die Streichholzkette

Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, zwei Quadrate in einer Kette 7, drei Quadrate 10. Es kommen also immer drei Hölzer dazu: oben, unten und rechts. Das erste Holz, die linke Seite, liegt nur einmal am Anfang. Für n Quadrate gilt: ein Holz am Anfang plus drei Hölzer je Quadrat.

$$1+3n=3n+1$$

Für n = 100 sind das 301 Hölzer, ohne dass Mia eine einzige legen muss. Der Term beschreibt das Muster für jede Länge.

Nicht einfach mal 4

Ein naheliegender Fehler: „Ein Quadrat braucht 4 Hölzer, also brauchen n Quadrate 4n.“ Für n = 10 wären das 40, richtig sind 31. Denn bei jedem weiteren Quadrat liegt schon eine Seite. Auch verdoppeln sich die Hölzer nicht, wenn sich die Quadrate verdoppeln: Von 5 auf 10 Quadrate wächst die Zahl von 16 auf 31, nicht auf 32.

Der Zuwachs je Quadrat (3) steht vor dem n, der Startwert (1) steht allein. Nur 3n zu schreiben vergisst das erste Holz.

Zwei Zählweisen, ein Term

Du kannst die Hölzer auch getrennt zählen: waagerecht liegen oben und unten je n Hölzer, zusammen $2n$; senkrecht stehen n + 1 Hölzer. Das ergibt $2n+(n+1)$. Der Term sieht anders aus als 3n + 1 und liefert doch für jedes n denselben Wert.

Ob zwei Terme wirklich gleich sind, prüfst du nicht an einem einzigen Wert: 3n + 1 und n + 3 haben für n = 1 beide den Wert 4, für n = 2 aber 7 und 5. Eine Tabelle mit mehreren Werten zeigt den Unterschied.

Fester und veränderlicher Anteil

Ein Taxi kostet 3 Euro Grundpreis und 2 Euro je Kilometer. Für k Kilometer zahlst du $3+2k$ Euro. Die 3 fällt immer an, auch bei 0 Kilometern; der Teilterm 2k wächst mit k. Wird die Fahrt einen Kilometer länger, kommen 2 Euro dazu, nicht 3.

Ein häufiger Fehler liest 3 + 2k als 5k. Erst wird 2 · k gerechnet, dann 3 addiert: Für k = 4 sind das 11 Euro, nicht 20.

Teilterme lesen

Jeder Teilterm hat eine Bedeutung in der Situation. Der Umfang eines Rechtecks ist $2a+2b$: Der Teilterm 2a misst die beiden langen Seiten, 2b die beiden kurzen.

Im Kino zahlen Kinder 4 Euro und Erwachsene 7 Euro. Bei a Kindern und b Erwachsenen sind die Einnahmen $4a+7b$: 4a stammt von den Kindern, 7b von den Erwachsenen. Die Zahl der Kinder ist nicht 4a, sondern a.

Was ein Term über Zahlen sagt

Terme beschreiben ganze Zahlenfamilien. $2n$ besteht aus lauter Paaren ohne Rest, alle Werte sind gerade. $2n+1$ hat ein einzelnes Stück übrig: alle Werte sind ungerade. n + 1 ist der Nachfolger von n, 3n ein Vielfaches von 3. Aus dem Term erkennst du, welche Zahlen möglich sind: 15 = 2 · 7 + 1 ist ungerade, 16 = 2 · 8 dagegen gerade. Für n = 1, 2, 3 liefert 2n + 1 die Zahlen 3, 5, 7.

Einsetzen

Der Termwert entsteht, wenn du für die Variable eine Zahl einsetzt und ausrechnest. Für $3x+2$ und x = 4 heißt das: 3 · 4 + 2 = 14. Das Malzeichen kommt wieder zum Vorschein — es steht nicht 34 da. Danach gilt Punkt vor Strich.

Bei negativen Zahlen gehört das Vorzeichen zur eingesetzten Zahl, sie steht in Klammern: Für x = −2 ist $3\cdot (-2)+2=-4$. Bei mehreren Variablen setzt du alle ein: 4a − 3b für a = 2 und b = −1 ergibt 8 + 3 = 11.

Potenzen im Term

Auch Potenzen setzt du ein, negative Zahlen in Klammern: Für x = −3 ist $x^2=(-3{)}^2=9$. Ohne Klammer gilt etwas anderes: $-3^2=-9$. Und $2x^2$ heißt 2 · x², nicht (2x)²: Für x = 3 sind es 18, nicht 36.

Exponenten dürfen auch null oder negativ sein. Die Leiter zeigt: Jeder Schritt nach unten halbiert den Wert, also gilt 2⁰ = 1, 2⁻¹ = 1/2 und 2⁻² = 1/4. Allgemein ist $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$; das Ergebnis wird nicht negativ.

Wertetabellen

Eine Wertetabelle ordnet die Werte eines Terms für mehrere Zahlen, die Zwischenschritte stehen in eigenen Zeilen. So erkennst du Muster: Bei 3n + 1 wächst der Wert bei jedem Schritt um 3. Für viele Werte übernimmt ein Tabellenkalkulationsprogramm das Rechnen, für wenige Werte lohnt es sich kaum.

Eine Tabelle prüft aber nur die gewählten Werte. Die Terme 3n + 1 und n + 3 stimmen bei n = 1 überein und weichen danach auseinander. Gleiche Werte in einer Spalte beweisen keine Gleichheit der Terme.

Summe oder Produkt?

Ein Term trägt den Namen seiner letzten Rechnung. 2x + 3 ist eine Summe, 2x − 3 eine Differenz, x : 3 ein Quotient — und 2(x + 3) ein Produkt, obwohl in der Klammer ein Plus steht. Denn zuletzt wird mit 2 multipliziert.

Der Termbaum macht die Reihenfolge sichtbar: Unten stehen die Zahlen und Variablen, jede Rechenart fasst zwei Zweige zusammen, ganz oben steht die letzte Rechenart, die Wurzel. Du liest ihn von unten nach oben.

Summanden, Faktoren, Koeffizienten

Die Teile einer Summe heißen Summanden, das Vorzeichen gehört zum Summanden. $3x^2-5x+7$ hat die Summanden 3x², −5x und +7. Die Teile eines Produkts heißen Faktoren: 3x² ist das Produkt 3 · x², und 2(x + 3) ist das Produkt aus 2 und (x + 3).

Die Zahl vor einer Variablen ist ihr Koeffizient: 3 bei x², −5 bei x. Steht keine Zahl da, ist der Koeffizient 1; bei −x ist er −1. Ein Summand ohne Variable, hier 7, heißt Konstante.