Terme umformen

Gleichartige Terme addieren

Drei Stäbe der Länge a und zwei weitere Stäbe der Länge a ergeben fünf Stäbe der Länge a: $3a+2a=5a$. Summanden wie 3a und 2a heißen gleichartig: Sie enthalten dieselbe Variable mit derselben Hochzahl. Du fasst sie zusammen, indem du die Koeffizienten addierst; die Variable bleibt stehen.

Es werden Stäbe gezählt, nicht multipliziert. 3a + 2a ist deshalb nicht 6a und nicht 5a².

Beispiele: 6b + 2b = 8b und 9y + 4y = 13y. Auch mehrere Summanden lassen sich so vereinen: 2a + 5a + a = 8a, denn das einzelne a zählt als 1a.

Ungleichartiges bleibt stehen

Ein Stab der Länge a und ein Quadrat mit der Seite a sind verschiedene Sorten. Die Summe $a+a^2$ lässt sich nicht kürzer schreiben. Ebenso bleibt $3a+2b$ stehen, weil a und b verschiedene Variablen sind. Wer daraus 5ab macht, verwechselt die Summe mit einem Produkt.

Für a = 3 hat a + a² den Wert 12, der falsche Zusammenzug 2a² aber den Wert 18.

Gleichartig heißt mehr als „sieht ähnlich aus“: 4x und 3x² haben beide ein x, aber verschiedene Hochzahlen, 4x und 3y verschiedene Buchstaben. Nur 4x + 3x lässt sich zu 7x zusammenfassen.

Ordnen mit Vorzeichen

In $5x-3+2x+7$ gehört das Vorzeichen zum Summanden dahinter: Die Summanden sind 5x, −3, 2x und 7. Du darfst sie umordnen, wenn das Vorzeichen mitwandert. Die x-Summanden ergeben 5x + 2x = 7x, die Zahlen −3 + 7 = 4.

Ein Summand wie x hat den Koeffizienten 1: 7x − x = 6x, nicht 7.

Ein längeres Beispiel: 4x − 7 + 3x + 9 wird zu 4x + 3x − 7 + 9 = 7x + 2. Das −7 wandert als Ganzes, nicht nur die 7.

Die Probe

Ob eine Umformung stimmt, prüfst du mit Zahlen. Für a = 2 und b = 3 hat 3a + 2b den Wert 12, 5ab aber den Wert 30: Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die Umformung.

Umgekehrt beweist ein passender Wert nichts. Für a = 1 und b = 1 sind beide Terme gleich 5, gleichwertig sind sie trotzdem nicht. Die Probe deckt Fehler auf; begründet wird eine Umformung durch die Rechenregeln.

Es gibt also zwei Werkzeuge mit verschiedenen Aufgaben: Die Rechenregeln begründen, dass zwei Terme gleichwertig sind, die Probe findet Fehler schnell. Im Zweifel rechnest du erst die Probe.

Produkte zusammenfassen

In einem Produkt darfst du die Faktoren beliebig ordnen. Deshalb multiplizierst du Zahlen mit Zahlen und Buchstaben mit Buchstaben: $3a\cdot 4b=(3\cdot 4)\cdot (a\cdot b)=12ab$. Im Rechteck sind das 3 · 4 = 12 Kacheln der Größe a × b.

Gleiche Buchstaben werden zur Potenz: 5x · 2x = 10x², nicht 10x. Bei der Summe addierst du die Koeffizienten, beim Produkt multiplizierst du sie.

Auch mit mehreren Faktoren klappt das: 2a · 3b · 5 = (2 · 3 · 5) · ab = 30ab.

Gleiche Basis

Eine Potenz ist ein Produkt gleicher Faktoren: $a^3=a\cdot a\cdot a$. Im Produkt a³ · a⁴ stehen 3 + 4 = 7 Faktoren a, also $a^3\cdot a^4=a^7$.

Bei gleicher Basis addierst du die Hochzahlen. Rechne nicht 3 · 4 = 12 und nicht die Basen: 2³ · 2⁴ ist 2⁷ = 128, nicht 4⁷. Ein einzelnes a hat die Hochzahl 1: a · a³ = a⁴.

Rechne so: x⁵ · x³ = x⁸, denn 5 + 3 = 8. Das Gesetz braucht gleiche Basen: a² · b³ lässt sich nicht zusammenfassen. Und a² + a³ ist eine Summe, sie ergibt nicht a⁵.

Gleicher Exponent

Haben zwei Potenzen dieselbe Hochzahl, ordnest du die Faktoren um: $2^3\cdot 5^3=(2\cdot 5{)}^3=10^3=1000$. Die Hochzahl bleibt, die Basen werden multipliziert: a³ · b³ = (ab)³.

Deshalb ist (2a)³ = 2³ · a³ = 8a³ und nicht 2a³: Die Hochzahl gilt für jeden Faktor in der Klammer.

Ein Beispiel: 4⁴ · 25⁴ = 100⁴, denn 4 · 25 = 100. Die Regel spart Rechenarbeit, wenn das Produkt der Basen eine runde Zahl ist.

Potenz einer Potenz

$(a^3{)}^2$ bedeutet a³ · a³: zwei Gruppen mit je drei Faktoren a, zusammen 3 · 2 = 6 Faktoren. Es gilt (a³)² = a⁶. Bei einer Potenz einer Potenz multiplizierst du die Hochzahlen.

Verwechsle das nicht mit dem Produkt a³ · a², bei dem du die Hochzahlen addierst und a⁵ erhältst. Zur Probe: (2³)² = 8² = 64 = 2⁶.

Die Regeln lassen sich kombinieren: (x²)³ · x = x⁶ · x = x⁷. Erst die Potenz einer Potenz, dann die gleiche Basis.

Der Faktor verteilt sich

Ein Beet ist 3 m lang, seine Breite besteht aus zwei Stücken: einem Stück, das du mit dem Regler verändern kannst, und einem festen Stück von 4 m. Mach das veränderliche Stück kürzer und länger und beobachte die beiden Teilflächen.

Die Fläche lässt sich auf zwei Wegen aufschreiben. Das Beet ist 3 m lang und (x + 4) m breit. Du zerlegst es in zwei Rechtecke: Das eine hat die Fläche 3 · x, das andere 3 · 4 = 12. Das ist das Distributivgesetz:

$$3(x+4)=3\cdot x+3\cdot 4=3x+12$$

Der Faktor vor der Klammer multipliziert jeden Summanden, nicht nur den ersten. Mias 3x + 12 stimmt also, Jonas' 3x + 4 nicht: Für x = 3 ist 3 · 7 = 21 und 3 · 3 + 12 = 21, aber 3 · 3 + 4 = 13.

Du kannst jede Klammerauflösung am Flächenbild prüfen: Zerlege die Breite in ihre Teilstücke und rechne jede Teilfläche einzeln.

Minus und Variablen in der Klammer

Steht in der Klammer eine Differenz, gehört das Minus zum Summanden: $3(x-4)=3x-12$. Vom Rechteck 3x fällt der Streifen 3 · 4 = 12 weg, nicht nur 4.

Auch der Faktor darf eine Variable sein. Nach den Produktregeln gilt x(x + 3) = x² + 3x und 2a(3a + b) = 6a² + 2ab. Im Kopf hilft es ebenfalls: 7 · 98 = 7 · (100 − 2) = 700 − 14 = 686.

Merke dir die Reihenfolge: erst jeden Summanden mit dem Faktor multiplizieren, dabei die Vorzeichen aufschreiben, zuletzt zusammenfassen, falls gleichartige Terme entstehen.

Jeder mit jedem

Ein Rechteck ist (x + 3) breit und (x + 2) hoch. Es besteht aus vier Teilflächen: x · x, x · 2, 3 · x und 3 · 2. Das Distributivgesetz wird zweimal angewendet:

$$(x+3)(x+2)=x^2+2x+3x+6=x^2+5x+6$$

Jeder Summand der ersten Klammer wird mit jedem Summanden der zweiten multipliziert: 2 · 2 = 4 Produkte. Danach fasst du die gleichartigen Summanden 2x und 3x zusammen. Wer nur x · x und 3 · 2 rechnet, erhält x² + 6 und vergisst die beiden mittleren Flächen.

Zur Kontrolle setzt du x = 3 ein: (3 + 3)(3 + 2) = 30 und 9 + 15 + 6 = 30.

Vorzeichen mitnehmen

In (x − 3)(x + 2) ist −3 ein Summand, sein Minus wandert in beide Produkte mit:

$$(x-3)(x+2)=x^2+2x-3x-6=x^2-x-6$$

Es gilt (−3) · 2 = −6, und 2x − 3x = −x. Sind beide Klammern gleich, etwa (x + 3)(x + 3), hat das Ergebnis eine besondere Gestalt: Das sind die binomischen Formeln, Thema des nächsten Kurses.

Zwei Minuszeichen ergeben ein Plus: (x − 1)(x − 4) = x² − 4x − x + 4 = x² − 5x + 4. Das Produkt der Zahlen ist positiv, die mittleren Summanden sind negativ.

Den gemeinsamen Faktor suchen

Ausklammern ist das Distributivgesetz rückwärts. In der Summe 6x + 9 steckt in beiden Summanden der Faktor 3: 6x = 3 · 2x und 9 = 3 · 3. Also gilt $6x+9=3(2x+3)$. Im Rechteck haben die Teilflächen 6x und 9 die Höhe 3 gemeinsam.

Du teilst jeden Summanden durch den gemeinsamen Faktor. Teilst du nur den ersten, entsteht der Fehler 3(2x + 9). Wird ein Summand ganz ausgeklammert, bleibt 1 übrig: 5a + 5 = 5(a + 1), nicht 5(a). Die Probe ist das Ausmultiplizieren.

Um den gemeinsamen Faktor zu finden, zerlegst du die Zahlen: 8 = 2 · 2 · 2 und 20 = 2 · 2 · 5 haben den Teiler 4 gemeinsam, also 8y + 20 = 4(2y + 5).

Variablen ausklammern, Summe wird Produkt

Auch eine Variable lässt sich ausklammern: $x^2+3x=x\cdot x+3\cdot x=x(x+3)$. Vollständig ausgeklammert wird der größte gemeinsame Faktor: 12x² + 18x = 6x(2x + 3).

Dabei ändert sich die Struktur: 6x + 9 ist eine Summe, 3(2x + 3) ist ein Produkt. Beim Ausklammern wird aus der Summe ein Produkt, beim Ausmultiplizieren wieder eine Summe.

Ausklammern und Ausmultiplizieren sind Umkehrungen: 3(2x + 3) → 6x + 9 → 3(2x + 3). Bist du unsicher, multiplizierst du dein Ergebnis wieder aus und vergleichst es mit dem Anfang.

Minus vor der Summe

Von einer Strecke der Länge 10 wird das Stück x + 3 abgeschnitten. Der Rest ist 10 − (x + 3). Du nimmst x und 3 weg: $10-(x+3)=10-x-3=7-x$.

Ein Minus vor der Klammer gilt für die ganze Klammer: Alle Vorzeichen in der Klammer werden gedreht. 10 − x + 3 wäre falsch, denn dabei würde der Rest um 3 länger.

Zur Kontrolle: Für x = 2 ergibt 10 − (2 + 3) den Wert 5, und 7 − 2 = 5. Der falsche Term 10 − x + 3 liefert dagegen 11.

Minus vor Differenz und Faktor

Wird ein Stück x − 2 weggenommen, gilt $10-(x-2)=10-x+2$: Aus dem −2 in der Klammer wird +2, denn Minus mal Minus ergibt Plus.

Steht vor der Klammer ein Faktor, wie in 8 − 3(x + 1), gilt Punkt vor Strich. Erst 3(x + 1) = 3x + 3, dann das Minus auf beide Summanden: 8 − 3x − 3 = 5 − 3x. Ein negativer Faktor verteilt sich genauso: −2(x − 4) = −2x + 8.

Auch hier lohnt die Probe: 10 − (x − 2) hat für x = 6 den Wert 6, und 12 − 6 = 6. Der falsche Term 10 − x − 2 ergäbe 2.