Umkehrfunktion und Wurzelfunktion

Jeder y-Wert nur einmal

Eine Funktion f ordnet jedem x genau ein y zu. Eine Umkehrfunktion f⁻¹ soll das rückgängig machen: Zu jedem y gehört dann genau ein x. Bei $f(x)=x^2$ geht das nicht, denn für y = 4 passen x = 2 und x = −2. Am Graphen sieht man es an der waagerechten Geraden y = 4: Sie schneidet die Parabel zweimal. Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn jede waagerechte Gerade ihren Graphen höchstens einmal schneidet. Nicht jede Funktion hat also eine Umkehrfunktion.

Streng monoton

Eine Funktion ist streng monoton wachsend, wenn aus x₁ < x₂ immer $f(x_1)<f(x_2)$ folgt; bei streng monoton fallend gilt $f(x_1)>f(x_2)$. Dann nimmt sie jeden Wert höchstens einmal an und ist umkehrbar, ob sie steigt oder fällt. Auf einem Intervall folgt strenge Monotonie aus f′(x) > 0 (oder aus f′(x) < 0). Einzelne Stellen mit f′(x) = 0 stören nicht: $f(x)=x^3$ hat bei x = 0 eine waagerechte Tangente und bleibt trotzdem überall streng wachsend.

Definitionsmenge einschränken

Die Parabel ist nicht umkehrbar, aber jeder ihrer Äste ist es. Auf $[0;\infty [$ gilt f′(x) = 2x > 0 für x > 0, also ist die Einschränkung streng monoton wachsend. Auf $]-\infty ;0]$ ist sie streng monoton fallend und ebenfalls umkehrbar. Die Einschränkung ist eine neue Funktion mit kleinerer Definitionsmenge; welchen Ast man wählt, ändert die Umkehrfunktion. Zur Frage „Ist f umkehrbar?“ gehört deshalb immer: auf welcher Menge?

Eingang und Ausgang tauschen

Die Funktion f macht aus dem Eingang x den Ausgang y, die Umkehrfunktion f⁻¹ macht aus diesem y wieder x. Liegt der Punkt $(a\mid b)$ auf dem Graphen von f, so liegt $(b\mid a)$ auf dem Graphen von f⁻¹. Für $f(x)=x^2$ mit x ≥ 0 gilt f(2) = 4, also f⁻¹(4) = 2. Vorsicht bei der Schreibweise: f⁻¹(x) ist kein Kehrwert. Hier ist f⁻¹(4) = 2, der Kehrwert 1/f(4) dagegen 1/16. Dasselbe kennst du von sin⁻¹ am Taschenrechner.

Spiegelung an y = x

Vertauscht man bei jedem Punkt die Koordinaten, wird der Punkt an der Geraden y = x gespiegelt, der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten. Punkte auf dieser Geraden bleiben an ihrem Platz. Der Graph von f⁻¹ entsteht also aus dem Graphen von f durch Spiegelung an y = x, nicht an der x-Achse und nicht an der y-Achse. Das gilt für jede Umkehrfunktion, zum Beispiel für $f(x)=2^x$ und $f^{-1}(x)={\log }_{2}x$ aus der 10. Klasse. Damit das Spiegelbild nicht verzerrt wirkt, müssen beide Achsen gleich skaliert sein.

Definitions- und Wertemenge

Weil Eingang und Ausgang die Rollen tauschen, tauschen auch die Mengen: $D(f^{-1})=W(f)$ und $W(f^{-1})=D(f)$. Bei $f(x)=2^x$ ist D = ℝ und W = ]0; ∞[, bei log₂ x ist es umgekehrt. Für x² auf [0; b] ist $W(f)=[0;b^2]$, also $D(f^{-1})=[0;b^2]$. Einen Wert außerhalb von W(f), etwa y = −1 bei 2ˣ, kann f⁻¹ nicht liefern: log₂(−1) ist nicht definiert.

Auflösen und tauschen

Den Term von f⁻¹ findet man in zwei Schritten: Löse y = f(x) nach x auf, dann vertausche die Namen x und y. Für $f(x)=2x+1$ gilt $y=2x+1\Rightarrow x=\frac{y-1}{2}$, also $f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$. Die Steigung 2 wird zu ½. Zur Probe setzt man f⁻¹ in f ein: $2\cdot \frac{x-1}{2}+1=x$. Es muss f(f⁻¹(x)) = x herauskommen, und ebenso f⁻¹(f(x)) = x. Die Probe fängt Rechenfehler beim Auflösen ab. Man kehrt die Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge um: f multipliziert mit 2 und addiert 1, f⁻¹ subtrahiert 1 und teilt durch 2.

Ein Ast der Parabel

Bei $f(x)=x^2+1$ auf x ≥ 0 folgt aus $y=x^2+1$ zuerst $x^2=y-1$, dann $x=\sqrt{y-1}$; das Minuszeichen entfällt, weil x ≥ 0 gilt. So ist $f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}$ mit $D(f^{-1})=[1;\infty [=W(f)$. Auf dem linken Ast (x ≤ 0) gilt dagegen $f^{-1}(x)=-\sqrt{x-1}$. Welches Vorzeichen gilt, legt allein die Definitionsmenge von f fest. Umgekehrt: Bei $f(x)=\sqrt{x-2}+1$ folgt $x=(y-1{)}^2+2$, also $f^{-1}(x)=(x-1{)}^2+2$, aber nur für x ≥ 1. Auch der Term √(x − 1) passt dazu: Er ist nur für x ≥ 1 definiert, und x² + 1 nimmt nie einen kleineren Wert als 1 an.

Umkehrung der Quadratfunktion

Auf $[0;\infty [$ ist x² streng monoton wachsend, also umkehrbar. Die Umkehrfunktion heißt Wurzelfunktion: $f(x)=\sqrt{x}$ mit $D=W=[0;\infty [$. √x ist die einzige nichtnegative Zahl, deren Quadrat x ergibt, also die Seite eines Quadrats mit dem Flächeninhalt x. Der Graph entsteht aus dem rechten Parabelast durch Spiegelung an y = x: Er beginnt in (0 | 0), steigt streng monoton und wird immer flacher. Es gilt √9 = 3, nicht ±3, und für x < 0 ist √x nicht definiert.

Verschieben

Der Graph von $f(x)=\sqrt{x-c}+d$ geht aus dem der Wurzelfunktion hervor: um c nach rechts und um d nach oben. Er beginnt im Startpunkt (c | d), es gilt D = [c; ∞[ und W = [d; ∞[. Bei $f(x)=\sqrt{x+2}-1$ ist c = −2, denn x + 2 = x − (−2): Der Graph verschiebt sich nach links, der Startpunkt ist (−2 | −1). Unter der Wurzel muss $x+2\ge 0$ gelten, also x ≥ −2.

Die Steigung der Wurzelfunktion

Ein Spiegelbild macht aus der Steigung m die reziproke Steigung 1/m. Bei (2 | 4) hat x² die Steigung 4; im Spiegelpunkt (4 | 2) hat √x die Steigung ¼. Allgemein hat x² bei t die Steigung 2t und √x im Punkt (t² | t) die Steigung 1/(2t). Mit t = √x folgt $(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ für x > 0. Bei x = 0 ist die Tangente senkrecht, dort gibt es keine Ableitung: Je näher x an 0 rückt, desto steiler wird der Graph.

Wurzeln als Potenzen

Damit die Potenzgesetze weiter gelten, schreibt man $\sqrt{x}=x^{1/2}$, denn $(x^{1/2}{)}^2=x^1$. Ebenso ist $\sqrt[3]{x}=x^{1/3}$, weil $(x^{1/3}{)}^3=x$. Allgemein gilt für x > 0 $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$; Beispiele sind $x^{3/2}=x\sqrt{x}$ und $x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}$. Der Exponent r bestimmt die Form des Graphen: Bei r = 1 ist er eine Gerade, bei r = ½ die Wurzelfunktion. Die Schreibweise gilt für x > 0; für negative x sind gebrochene Exponenten nicht erklärt.

Die Potenzregel bleibt

Für jeden rationalen Exponenten r und x > 0 gilt $(x^r{)}^{\prime }=r\cdot x^{r-1}$: Der Exponent wird zum Faktor, der neue Exponent ist um 1 kleiner. Mit r = ½ ergibt sich $\frac{1}{2}{x}^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$, genau die Ableitung der Wurzelfunktion. Weitere Beispiele: $(x^{3/2}{)}^{\prime }=\frac{3}{2}{x}^{1/2}$ und $(\sqrt[3]{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{3}{x}^{-2/3}$. Achte auf den Exponenten: ½ − 1 = −½, und bei $1/\sqrt{x}$ schreibt man zuerst $x^{-1/2}$, dann leitet man ab.

Verkettung, Produkt, Quotient

Steht unter der Wurzel ein Term u(x), liefert die Kettenregel $(\sqrt{u}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}$: äußere Ableitung mal innere. So ist $(\sqrt{2x+1}{)}^{\prime }=\frac{2}{2\sqrt{2x+1}}=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$; die innere Ableitung 2 darf nicht fehlen. Bei $x\sqrt{x+1}$ hilft die Produktregel: $\sqrt{x+1}+\frac{x}{2\sqrt{x+1}}=\frac{3x+2}{2\sqrt{x+1}}$. Bei einem Bruch wie $\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ nimmt man die Quotientenregel. Nach dem Ableiten lohnt es sich, auf einen Nenner zu bringen, damit man Nullstellen der Ableitung sieht.

Definitionsmenge und Nullstellen

Bei $f(x)=2\sqrt{x}-x$ muss der Radikand x ≥ 0 sein: $D=[0;\infty [$. Für die Nullstellen wird $2\sqrt{x}=x$ quadriert: 4x = x², also x = 0 oder x = 4; beide erfüllen die Ausgangsgleichung. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung. Aus $\sqrt{2x+3}=x$ folgt $x^2=2x+3$ mit x = 3 oder x = −1, doch nur x = 3 löst die Wurzelgleichung: √1 = 1 ≠ −1. Die Probe ist Pflicht. Die Figur zeigt den Grund: Die Scheinlösung liegt auf dem unteren Ast von y² = 2x + 3, also auf −√(2x + 3), und nicht auf dem Graphen der Wurzel. Die Definitionsmenge legt fest, wo man rechnen darf, und sie zeigt sich später in der Ableitung: 1/√x gibt es nur für x > 0.

Extrempunkt und Rand

Für x > 0 gilt f′(x) = $\frac{1}{\sqrt{x}}-1$. Aus f′(x) = 0 folgt √x = 1, also x = 1 mit f(1) = 1. Für x < 1 ist f′ > 0, für x > 1 ist f′ < 0: Hochpunkt (1 | 1). Am Rand x = 0 gibt es keine Ableitung, die Tangente ist senkrecht; (0 | 0) ist ein Randpunkt, kein Extrempunkt durch f′ = 0. Für x → ∞ überwiegt −x, denn √x wächst langsamer als x: f(x) → −∞. Die Figur deutet f(x) als Abstand der Graphen von 2√x und x. Er ist am größten, wo beide Graphen gleich steil sind. Zur Kontrolle: f(4) = 2 · 2 − 4 = 0, und f(1) = 1 ist der größte Funktionswert.