Volumen

Wie groß ist ein Körper? Um das zu messen, legen wir ein Maß fest: den Einheitswürfel mit der Kantenlänge 1 cm. Sein Rauminhalt ist ein Kubikzentimeter, kurz 1 cm³. Das Volumen eines Körpers ist die Anzahl der Einheitswürfel, die ihn ohne Lücke und ohne Überlappung füllen.

Ein Quader aus 24 Einheitswürfeln hat also das Volumen 24 cm³. Lege mit dem Regler Würfel für Würfel aus: Zuerst füllt eine Schicht den Boden, dann kommt die nächste darauf. Gezählt wird alles, auch was man von außen nicht sieht.

Das gilt auch für Bilder von Würfelbauten: Wer nur die sichtbaren Würfel zählt, verschätzt sich. Vom Quader im Bild aus 24 Würfeln sieht man von außen nur 18, sechs Würfel bleiben verdeckt. Zähle deshalb Schicht für Schicht, von unten nach oben.

Baut man die Würfel um, bleibt das Volumen gleich, denn keiner kommt dazu und keiner fällt weg. Eine Platte, ein Turm und eine Treppe aus je 12 Würfeln haben alle 12 cm³. Ihre Oberflächen dagegen sind verschieden groß: Volumen und Oberfläche sind zwei verschiedene Größen.

Die Maßzahl hängt von der Einheit ab. Ein Würfel mit der Kante 1 dm ist ein Kubikdezimeter (1 dm³) und viel größer als einer mit der Kante 1 cm. Füllen 6 solcher Würfel eine Kiste, hat sie das Volumen 6 dm³, nicht 6 cm³: Zu jeder Zahl gehört ihre Einheit.

Grundschicht

Statt jeden Würfel einzeln zu zählen, ordnen wir sie. Auf dem Boden eines Quaders liegt eine Schicht aus Reihen: Der Quader ist l = 4 Würfel lang und b = 3 Würfel breit, es liegen also 3 Reihen zu je 4 Würfeln auf dem Boden. Das sind 4 · 3 = 12 Würfel, genau wie bei „Reihen mal Spalten“ beim Rechteck. Die Summe 4 + 3 = 7 zählte nur die Würfel längs zweier Kanten: Die Reihen dazwischen würden fehlen.

Schicht für Schicht

Die Zahl der Schichten ist die Höhe h, gemessen in Einheitswürfeln. Jede Schicht hat 12 Würfel: Bei h = 2 sind es 12 + 12 = 24 Würfel, bei h = 5 sind es 5 · 12 = 60. Wir zählen also Schichten statt Würfel: Volumen = Würfel je Schicht mal Zahl der Schichten. Jede Schicht mehr bringt dieselben 12 Würfel dazu, ob der Quader schon 2 oder schon 4 Schichten hoch ist.

Quaderformel

Daraus wird die Formel für den Quader:

$$V=l\cdot b\cdot h$$

Alle drei Kanten müssen in derselben Einheit stehen. Aus cm · cm · cm wird cm³: 4 cm · 3 cm · 2 cm = 24 cm³. Beim Würfel sind die drei Kanten gleich lang, also gilt V = a · a · a = a³, nicht 3 · a: Bei a = 3 cm ist V = 27 cm³. Der Boden des Quaders hat den Flächeninhalt l · b, das ist seine Grundfläche G. Damit gilt auch V = G · h, Grundfläche mal Höhe.

Fehlende Kante

Manchmal ist das Volumen bekannt und eine Kante gesucht. Ein Quader mit V = 60 cm³ ist 5 cm lang und 3 cm breit. Seine Grundschicht hat 5 · 3 = 15 Würfel, und in 60 Würfel passen 60 : 15 = 4 Schichten: Der Quader ist h = 4 cm hoch. Man rechnet rückwärts durch Teilen, h = V : (l · b), und prüft mit der Probe 5 · 3 · 4 = 60. Abziehen führt nicht zum Ziel, denn V ist ein Produkt.

Gleiche Einheit

Vor dem Multiplizieren müssen alle drei Kanten in derselben Einheit stehen. Das Aquarium aus dem Laden ist 60 cm lang, 30 cm breit und 0,4 m hoch. Rechnet man 0,4 m zuerst in 40 cm um, ist das Volumen V = 60 · 30 · 40 cm³ = 72 000 cm³. Die Rechnung 60 · 30 · 0,4 dagegen mischt cm und m und liefert nur 720, eine Zahl ohne brauchbare Einheit, um den Faktor 100 zu klein. Schreibe deshalb die Einheit an jede Kante: So fällt der Wechsel zwischen cm und m sofort auf.

Kanten verdoppeln

Wird nur eine Kante verdoppelt, verdoppelt sich das Volumen: Es sind doppelt so viele gleiche Schichten. Werden alle drei Kanten verdoppelt, wird das Volumen 2 · 2 · 2 = 8-mal so groß: Die Grundschicht wird 2 · 2 = 4-mal so groß, und es liegen doppelt so viele Schichten übereinander. Ein Würfel mit der Kante 1 cm hat 1 cm³, einer mit der Kante 2 cm schon 8 cm³ und einer mit 3 cm sogar 27 cm³. Sind alle Kanten k-mal so lang, ist das Volumen k³-mal so groß.

Faktor 1000

Ein Würfel mit der Kante 1 dm ist 10 cm lang, 10 cm breit und 10 cm hoch. Seine Grundschicht hat 10 · 10 = 100 Würfel zu 1 cm³, und es gibt 10 Schichten: 10 · 100 = 1000. Also gilt 1 dm³ = 1000 cm³. Genauso ist 1 m³ = 1000 dm³ und 1 cm³ = 1000 mm³. Von einer Volumeneinheit zur nächsten wechselt man mit dem Faktor 1000, nicht mit 10 oder 100 wie bei Längen und Flächen: Drei Kanten werden je mit 10 umgerechnet, also 10 · 10 · 10.

Liter und Milliliter

Für Flüssigkeiten kennst du Liter und Milliliter. Ein Liter ist genau der Inhalt des Würfels mit der Kante 1 dm: 1 l = 1 dm³. Weil 1 dm³ = 1000 cm³ ist, gilt 1 l = 1000 ml, und 1 ml ist genau 1 cm³. Damit lässt sich die Frage nach dem Aquarium beantworten: 60 cm · 30 cm · 40 cm = 72 000 cm³ = 72 dm³. Es fasst 72 l: 72 Würfel mit der Kante 1 dm füllen es, oder 72 Liter Wasser.

Umrechnen mit der Tafel

Wie bei Längen hilft eine Tafel. Jede Volumeneinheit bekommt drei Stellen, denn der Faktor ist 1000. Beim Wechsel zur nächsten Einheit rückt das Komma um drei Stellen: 2,5 dm³ = 2500 cm³, weil die 5 in die Hunderterstelle der cm³-Spalte rutscht. Zum größeren Maß rückt das Komma um drei Stellen nach links: 8400 cm³ = 8,4 dm³. Wer wie bei m² und dm² nur zwei Stellen rückt, macht einen Fehler.

Nicht immer ist ein Körper ein Quader mit gemessenen Kanten. Wie viel Luft steckt im Klassenzimmer, wie viel Wasser in der Badewanne? Dann schätzen wir und behalten Bezugsgrößen im Kopf: Eine Milchtüte fasst 1 l = 1 dm³, ein Trinkglas etwa 200 ml, eine Badewanne etwa 150 l, und ein Würfel mit 1 m Kante fasst 1 m³ = 1000 l. Schätzen heißt vergleichen: Passt der Körper etwa zehnmal in die Badewanne, oder füllt er nur ein halbes Glas?

Danach ersetzen wir den Körper durch einen Quader mit glatten Maßen. Das Klassenzimmer ist etwa 9 m lang, 7 m breit und 3 m hoch: V ≈ 9 · 7 · 3 m³ = 189 m³. Dieses Ergebnis ist eine Näherung, kein genauer Wert.

Wie sicher ist die Näherung? Rundet man alle Maße ab, erhält man eine Untergrenze, rundet man alle auf, eine Obergrenze: Das Zimmer liegt zwischen 8 · 6 · 3 m³ = 144 m³ und 10 · 8 · 3 m³ = 240 m³.

Zuletzt prüfen wir: Passt die Größenordnung? 189 m³ sind 189 000 l. Ein Ergebnis von 189 l wäre für ein ganzes Zimmer viel zu klein, denn schon eine Badewanne fasst etwa 150 l. Prüfe auch die Einheit: cm³, l und m³ liegen um den Faktor 1000 auseinander.

Zerlegen

Ein Körper aus mehreren Quadern hat keine eigene Formel. Wir zerlegen ihn in Quader, deren Volumen wir berechnen können, und addieren. Der Stufenkörper ist 6 cm lang, 4 cm tief und 5 cm hoch, rechts oben fehlt ein Stück. Ein senkrechter Schnitt trennt einen Turm mit 2 · 4 · 5 = 40 cm³ von einer Platte mit 4 · 4 · 2 = 32 cm³: zusammen 72 cm³. Ein waagerechter Schnitt liefert 24 cm³ und 48 cm³, wieder 72 cm³. Zerlegen ändert am Körper nichts.

Ergänzen

Oder wir ergänzen: Fehlt dem Körper ein Stück, denken wir es dazu und ziehen es am Ende ab. Der ganze Quader hat 6 · 4 · 5 = 120 cm³, das fehlende Stück 4 · 4 · 3 = 48 cm³. Der Körper hat also 120 − 48 = 72 cm³. Das ergänzte Stück wird abgezogen, nicht addiert. Es ist derselbe Körper wie eben, also muss wieder 72 cm³ herauskommen, und so ist es. Der zweite Weg dient als Probe für den ersten.

Kanten der Teile

Für die Teile fehlen oft Kanten. Sie folgen aus dem Ganzen: Ist der Körper 6 cm lang und die Platte 4 cm lang, ist der Turm 6 − 4 = 2 cm lang. Ist er 5 cm hoch und die Platte 2 cm hoch, ist das fehlende Stück 5 − 2 = 3 cm hoch. Wähle den Weg mit den einfachsten Zahlen, gern im Kopf, und prüfe mit dem zweiten Weg: Kommt bei beiden dasselbe heraus, stimmt die Rechnung sehr wahrscheinlich.