Winkel an Geraden und Figuren

Vier Winkel an einer Kreuzung

Zwei Rohre kreuzen sich. An der Kreuzung entstehen vier Winkel. Dreh das eine Rohr und beobachte die Chips: Welche Winkel wachsen zusammen, und welche werden kleiner, wenn andere wachsen?

Diese beiden Beobachtungen haben Namen.

Zwei Rohre kreuzen sich; als Geraden g und h schneiden sie sich im Punkt S. Dabei entstehen vier Winkel. Zwei von ihnen liegen nebeneinander: Sie haben einen Schenkel gemeinsam, und ihre beiden anderen Schenkel bilden zusammen eine Gerade. Solche Winkel heißen Nebenwinkel; sie ergänzen sich zu 180°: $\alpha +\beta =180°$ Zwei andere Winkel liegen einander gegenüber, mit dem Scheitel S als gemeinsamem Punkt. Das sind die Scheitelwinkel: α und γ, ebenso β und δ.

Die Farben zeigen es: gleiche Farbe, gleiche Größe. Wie lang die gezeichneten Schenkel sind, spielt keine Rolle – ein Winkel misst nur die Öffnung zwischen den Schenkeln.

Warum das immer stimmt

Messen prüft eine Zeichnung, aber nicht jede Kreuzung. Ein Grund dagegen gilt für alle Kreuzungen: α und β sind Nebenwinkel, also ist $\alpha +\beta =180°$. Auch β und γ sind Nebenwinkel, also ist $\beta +\gamma =180°$. In beiden Summen kommt β vor, und beide ergeben 180°. Daraus folgt $\alpha =\gamma$.

Das ist ein kleiner Satz mit Begründung: Scheitelwinkel sind gleich groß. Kennst du einen Winkel an der Kreuzung, kennst du alle vier. Misst der Monteur α = 65°, dann ist β = 180° − 65° = 115°, γ = 65° und δ = 115°.

Stufenwinkel an Parallelen

Nun verläuft eine zweite Leitung parallel zur ersten, und eine dritte Leitung t schneidet beide. Diese Doppelkreuzung hat zwei Schnittpunkte und acht Winkel. Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in derselben Lage: beide oben rechts, beide unten links. Sind g und h parallel, sind Stufenwinkel gleich groß: α = α′.

Diesen Satz beweisen wir nicht. Er ist unser Ausgangspunkt, ein Fundamentalsatz: Alles Weitere bauen wir darauf auf. Die Lage entscheidet, nicht die Größe: Neigst du die Schneidende, ändern sich beide Winkel, doch sie bleiben gleich.

Wechselwinkel

Wechselwinkel liegen zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten der Schneidenden, etwa unten links bei g und oben rechts bei h. Auch sie sind gleich groß, und diesmal brauchen wir keinen neuen Grundsatz. Der Stufenwinkel des Winkels bei g liegt unten links bei h. Sein Scheitelwinkel liegt oben rechts bei h.

Stufenwinkel sind gleich, Scheitelwinkel sind gleich – also sind auch die Wechselwinkel gleich. Der Satz über Wechselwinkel ist ein abgeleiteter Satz: Er folgt aus Sätzen, die schon feststehen.

Nur an Parallelen

Die Gleichheit gilt nur, wenn g und h parallel sind. Kippe die Gerade h ein wenig: Die Stufenwinkel unterscheiden sich sofort, und zwar genau um den Kippwinkel, den Winkel, um den h aus der parallelen Lage gedreht wurde. Auf ein Zeichenblatt ist dabei kein Verlass: Zwei Geraden, die fast parallel aussehen, sind es oft nicht. Wer Parallelität behauptet, braucht einen Grund, keinen Augenschein.

Messen und Abreißen

Zeichne ein Dreieck, miss α, β und γ und addiere: Es kommt etwa 180° heraus, mal 179°, mal 181°. Reiße die Ecken eines Papierdreiecks ab und lege sie nebeneinander: Die drei Winkel bilden eine Gerade. Beides überzeugt.

Ein Beweis ist es nicht. Gemessen oder abgerissen wurde ein einziges Dreieck, und Messungen sind nie ganz genau. Ein Beweis muss für jedes Dreieck gelten und jeden Schritt begründen. Die Bilder geben aber die Idee: Die Winkel α und β wandern neben γ.

Der Beweis mit einer Hilfslinie

Im Dreieck ABC zeichnen wir durch C die Parallele p zur Seite AB. Diese Hilfslinie steht nicht in der Aufgabe; sie macht die Argumentation erst möglich. Nun gilt: α und der Winkel links von γ sind Wechselwinkel an den Parallelen p und AB mit der Schneidenden AC, also gleich groß. Ebenso sind β und der Winkel rechts von γ Wechselwinkel, also gleich.

Bei C liegen jetzt drei Winkel nebeneinander auf der Geraden p: α, γ und β. Sie bilden zusammen einen gestreckten Winkel, und der misst 180°: $\alpha +\gamma +\beta =180°$ Das gilt für jedes Dreieck, denn wir haben nur die Lage von C genutzt, nicht die Größe der Winkel.

Grundlage und Folgerung

Wir haben Sätze aufeinander gestapelt. Die Gleichheit der Stufenwinkel an Parallelen ist unser Fundamentalsatz: Wir setzen ihn voraus. Daraus folgte der Satz über Wechselwinkel, daraus die Winkelsumme – beides sind abgeleitete Sätze. Man könnte die Reihenfolge auch umkehren und die Winkelsumme als Grundlage nehmen; entscheidend ist, dass jeder Satz nur auf früher festgelegte Sätze zurückgeht.

Jetzt darfst du die Winkelsumme benutzen. Kennst du zwei Winkel, ist der dritte $\gamma =180°-\alpha -\beta$ Bewege C und beobachte: Die Winkel ändern sich, ihre Summe nie. Ein Dreieck kann deshalb höchstens einen rechten oder stumpfen Winkel haben.

Vom Viereck zum Dreieck

Die Diagonale AC zerlegt das Viereck ABCD in zwei Dreiecke. In jedem Dreieck betragen die Winkel zusammen 180°, also in beiden zusammen 360°. Diese Winkel bilden genau die vier Innenwinkel des Vierecks: An den Ecken A und C teilt die Diagonale einen Winkel nur in zwei Teile, sie fügt keinen hinzu. Die Innenwinkelsumme im Viereck beträgt also $2\cdot 180°=360°$ Das gilt für jedes Viereck, auch wenn es keine gleichen Seiten oder rechten Winkel hat.

Das n-Eck

Dieselbe Idee funktioniert für jedes Vieleck. Von einer Ecke aus ziehst du alle Diagonalen: Ein Fünfeck zerfällt in 3 Dreiecke, ein Sechseck in 4, ein Siebeneck in 5. Ein n-Eck zerfällt in $n-2$ Dreiecke, also zwei weniger als Ecken. Jedes liefert 180°, und es gilt für die Innenwinkelsumme $(n-2)\cdot 180°$ Beim Siebeneck sind das $5\cdot 180°=900°$.

Man kann auch einen Punkt im Inneren mit allen Ecken verbinden: Dann entstehen n Dreiecke. Ihre Winkel um den Innenpunkt, zusammen 360°, gehören aber nicht zu den Innenwinkeln des Vielecks. Das führt auf $n\cdot 180°-360°=(n-2)\cdot 180°$, dasselbe Ergebnis.

Regelmäßige Vielecke

Sind alle Seiten und alle Winkel gleich, heißt das Vieleck regelmäßig. Dann teilt sich die Winkelsumme gleichmäßig auf, und ein Innenwinkel misst $\frac{(n-2)\cdot 180°}{n}$ Im Sechseck sind das 720° : 6 = 120°. Verwechsle diesen Winkel nicht mit dem Winkel am Mittelpunkt, der 360° : n misst, im Sechseck nur 60°.

Winkelketten

In Figuren mit mehreren Geraden sind meist nur wenige Winkel gegeben. Die übrigen erschließt du Schritt für Schritt: Aus einem bekannten Winkel folgt mit einer Beziehung ein neuer, aus dem wieder ein nächster. Im Bild sind g und h parallel; die Punkte P und R liegen auf g, der Punkt Q auf h. Es gilt α = 64° bei P und β = 50° bei Q.

Zuerst der dritte Winkel im Dreieck PQR: γ = 180° − 64° − 50° = 66°. Dann ist der Winkel δ an Q ein Wechselwinkel von γ, also ebenfalls 66°. Zuletzt ist ε ein Wechselwinkel von α, also 64°. Zur Probe muss $\epsilon +\beta +\delta =180°$ gelten: 64° + 50° + 66° = 180°. Jeder Schritt bekommt seinen Grund: Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel, Wechselwinkel oder Winkelsumme.

Noch eine Beziehung, eine Warnung

Zwischen zwei Parallelen liegen auf derselben Seite der Schneidenden zwei Winkel, die sich zu 180° ergänzen. Das folgt aus Bekanntem: Der eine ist der Nebenwinkel des Stufenwinkels des anderen. Ist α = 65°, dann ist β = 115°.

Und noch eine Warnung: Eine Skizze ist nicht maßstabsgetreu. Ein Winkel, der wie 90° aussieht, ist keiner, solange es nicht dasteht; zwei Geraden, die parallel wirken, sind es nur, wenn es angegeben oder bewiesen ist. Benutzen darfst du nur, was gegeben ist oder was du begründet hast.

Die Umkehrung

Bisher galt: Wenn g ∥ h, dann sind Stufenwinkel gleich. Jetzt fragen wir umgekehrt: Sind zwei Stufenwinkel gleich groß, folgt dann g ∥ h? Ja, auch diese Umkehrung gilt: Sind Stufenwinkel oder Wechselwinkel gleich groß, sind die Geraden parallel. Ebenso gilt: Ergänzen sich die Winkel auf derselben Seite der Schneidenden zu 180°, sind g und h parallel.

Beide Richtungen sind verschiedene Aussagen, jede muss für sich begründet sein. Für einen Zimmermann bedeutet das: Er misst zwei Winkel an der Querlatte und weiß, ob die Balken parallel liegen, ohne sie bis zum Schnitt zu verlängern.

Welche Winkelpaare beweisen etwas?

Nicht jedes Winkelpaar taugt zum Prüfen. Scheitelwinkel sind an jeder Kreuzung gleich, Nebenwinkel ergänzen sich immer zu 180° – auch wenn die Geraden schief zueinander stehen. Sie sagen nichts über g und h. Nur Winkel an verschiedenen Schnittpunkten zählen: Stufenwinkel, Wechselwinkel und Winkel derselben Seite.

Bei mehreren Kreuzungen berechnest du zuerst mit einer Kette den passenden Winkel und vergleichst erst dann. Ist an h der Nebenwinkel des Stufenwinkels gegeben, bildest du zuerst die Ergänzung zu 180°. Schreibe jeden Schritt mit Grund auf.