Gebrochen-rationale Funktionen

Wo der Term definiert ist

Ein Bruch ist nur erklärt, solange sein Nenner nicht null ist. Die maximale Definitionsmenge einer gebrochen-rationalen Funktion enthält deshalb alle reellen Zahlen bis auf die Nullstellen des Nenners. Bei $f(x)=\frac{x+1}{x^2-4}$ wird $x^2-4$ für $x=2$ und $x=-2$ null, also gilt $D=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$. Der Nenner $x^2+1$ wird nie null, dann ist $D=\mathbb{R}$. Wie viele Zahlen ein Nenner $x^2-c$ ausschließt, entscheidet c: zwei, eine oder keine. Die Nullstellen des Zählers bleiben dagegen in D, denn dort ist der Bruch erklärt und gleich null: Ausgeschlossen wird nur, was den Nenner null macht. Man löst dazu die Gleichung Nenner = 0 und streicht deren Lösungen aus den reellen Zahlen.

Nullstellen und Linearfaktoren

Ein Bruch ist null, wenn sein Zähler null ist, und der Nenner an dieser Stelle nicht. Die Nullstellen von f sind also Nullstellen des Zählers. Wer Zähler und Nenner als Produkt von Linearfaktoren schreibt, liest beides ab: $x^2-x-6=(x+2)(x-3)$ hat die Nullstellen −2 und 3, das Vorzeichen im Faktor kehrt sich um. Bei $f(x)=\frac{(x-p)(x+2)}{(x-3)(x+4)}$ sind p und −2 die Nullstellen, 3 und −4 fehlen in D. Ein Produkt zeigt die Nullstellen, eine Summe verbirgt sie. Beim Zerlegen suchst du zwei Zahlen mit Produkt −6 und Summe −1: Das sind 2 und −3. Steht derselbe Faktor oben und unten, ist diese Zahl keine Nullstelle, denn dort ist der Nenner null: Ausgeschlossene Zahlen sind nie Nullstellen. Aus der Produktform liest man auf einen Blick, welche Zahlen den Term null machen.

Kürzen entscheidet

Fällt eine Zahl $x_0$ aus der Definitionsmenge, gibt es zwei Möglichkeiten. Steht der Faktor $(x-x_0)$ auch im Zähler, wird er gekürzt: Der Graph hat bei $x_0$ nur eine Lücke, einen herausgenommenen Punkt. Bleibt der Faktor auch nach dem vollständigen Kürzen im Nenner, ist $x_0$ eine Polstelle. Bei $f(x)=\frac{x-q}{x-1}$ kürzt sich für q = 1 alles weg: $f(x)=1$ für $x\ne 1$, eine Gerade mit Lücke bei (1 | 1). Für jedes andere q bleibt x = 1 eine Polstelle. Der Graph verrät den Unterschied: Eine Lücke ist ein einzelner fehlender Punkt, an einer Polstelle reißt der Graph ins Unendliche auf. Vor dem Urteil Polstelle oder Lücke wird deshalb immer zuerst zerlegt und gekürzt.

Von links und von rechts

An einer Polstelle wächst |f(x)| über alle Grenzen. Der Graph schmiegt sich an die senkrechte Asymptote $x=x_0$ an, ohne sie zu erreichen, denn f(x₀) ist nicht erklärt. Ob er nach oben oder unten läuft, entscheidet das Vorzeichen. Bei $f(x)=\frac{1}{x-2}$ ist der Nenner rechts von 2 klein und positiv, links klein und negativ: ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$ und ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$. Das Zeichen ⁺ meint „von rechts“, ⁻ „von links“. Es gibt also zwei getrennte Grenzwerte, einen von jeder Seite, und sie dürfen verschieden sein. Je näher x an 2 liegt, desto größer wird der Betrag: Bei 2,1 ist f gleich 10, bei 2,001 schon 1000.

Gerader und ungerader Faktor

Nicht jede Polstelle wechselt das Vorzeichen. Steht $(x-x_0)$ im Nenner in ungerader Potenz, wechselt der Term das Vorzeichen: Ein Ast läuft nach $+\infty$, der andere nach $-\infty$. Bei $(x-x_0{)}^2$ ist der Nenner auf beiden Seiten positiv, und beide Äste laufen zur selben Seite. Ob ein Faktor einfach oder doppelt vorkommt, siehst du am zerlegten Nenner, ohne einen Testwert einzusetzen. Im Bild zeigt f den Wechsel, g keinen. Das Vorzeichen bestimmt also die Form des Graphen: Ein Wechsel heißt, die Äste laufen in entgegengesetzte Richtungen, kein Wechsel heißt, sie laufen in dieselbe.

Durch die höchste Potenz teilen

Für große |x| entscheiden die höchsten Potenzen. Bei $f(x)=\frac{3x^2+1}{x^2-4}$ teilt man Zähler und Nenner durch $x^2$, jeden Summanden einzeln: $f(x)=\frac{3+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{4}{x^2}}$. Die Brüche $\frac{1}{x^2}$ und $\frac{4}{x^2}$ gehen für $x\to \pm \infty$ gegen 0, also strebt f gegen $\frac{3}{1}=3$: Die Gerade $y=3$ ist die waagrechte Asymptote. Es zählen nur die Leitkoeffizienten 3 und 1. So ersetzt eine einzige Umformung viele Testwerte, und für x → −∞ ergibt sich dasselbe, weil auch dort 1/x² gegen 0 geht. Dabei wird x² nicht einfach weggestrichen: Aus 1 wird 1/x², und erst dieser Bruch geht gegen 0.

Vergleich der Grade

Das Ergebnis hängt nur vom Vergleich der Grade ab. Ist der Zählergrad kleiner als der Nennergrad, wächst der Nenner schneller, und die x-Achse $y=0$ ist die Asymptote. Ist er gleich, ist $y=\frac{a}{b}$ der Quotient der Leitkoeffizienten, wie eben. Ist er größer, wächst |f(x)| über alle Grenzen und es gibt keine waagrechte Asymptote; ob eine schräge Gerade die Rolle übernimmt, klärt der nächste Abschnitt. Bei $\frac{6x^2-x}{3x^2+2}$ ist es $y=\frac{6}{3}=2$.

Die Asymptote darf geschnitten werden

Viele glauben, der Graph dürfe seine Asymptote nie berühren. Doch die Asymptote sagt nur, was für $x\to \pm \infty$ geschieht. Bei $f(x)=\frac{x^2+x}{x^2+1}$ ist $y=1$ waagrechte Asymptote, und der Graph schneidet sie bei $x=1$, denn dort gilt $x^2+x=x^2+1$. Rechts davon liegt er darüber, links darunter, und für große |x| kommt er der Geraden beliebig nahe. Die Asymptote ist also keine Wand, sondern eine Aussage über das Ende der x-Achse. Wer das Verhalten für große |x| und die Schnittpunkte mit der Geraden auseinanderhält, vermeidet diesen Irrtum.

Die Summenform

Ist der Zählergrad genau um 1 größer als der Nennergrad, gibt es keine waagrechte, dafür eine schräge Asymptote. Man spaltet den Bruch auf, indem man jeden Summanden des Zählers einzeln durch den Nenner teilt: $\frac{x^2+3}{x}=x+\frac{3}{x}$. Gekürzt wird nur ein ganzer Faktor, nie ein Summand: $\frac{x^2+3}{x}$ ist nicht $x+3$. Steht f in der Form $mx+t+\text{Rest}$, strebt der Restbruch (Zählergrad kleiner als Nennergrad) gegen 0, und $y=mx+t$ ist die Asymptote. Bei $f(x)=x+1+\frac{c}{x-1}$ ist es $y=x+1$. Ist der Zählergrad gleich dem Nennergrad oder kleiner, bleibt es bei der waagrechten Asymptote. Zuerst prüft man also den Gradunterschied, dann spaltet man auf: Erst diese Reihenfolge macht die Gerade sichtbar.

Über oder unter der Geraden

Der Restbruch ist der senkrechte Abstand zwischen Graph und Gerade: $f(x)-(mx+t)$. Sein Vorzeichen sagt, wo der Graph liegt, positiv heißt darüber, negativ darunter. Bei $f(x)=x+1+\frac{2}{x-1}$ ist der Rest rechts von der Polstelle positiv, links negativ, denn der Nenner $x-1$ wechselt bei x = 1 sein Vorzeichen. Für $x\to \pm \infty$ wird er beliebig klein, der Graph schmiegt sich an die Gerade. Zum Beispiel liegt der Graph bei x = 3 genau 1 über der Geraden, denn der Rest ist dort 2/2 = 1. Links der Polstelle, bei x = −1, ist der Rest 2/(−2) = −1: Dort liegt der Graph 1 unter der Geraden.

Der Reihe nach

Eine gebrochen-rationale Funktion untersucht man in fester Reihenfolge, am gekürzten Term. Beispiel: $f(x)=\frac{x^2-4x+3}{x^2-4}=\frac{(x-1)(x-3)}{(x-2)(x+2)}$. Erst die Definitionsmenge: $D=\mathbb{R}\setminus \{-2;2\}$. Dann die Nullstellen des Zählers, 1 und 3, und die Polstellen −2 und 2. Die waagrechte Asymptote ist $y=1$. Zuletzt der y-Achsenabschnitt $f(0)=\frac{3}{-4}=-0,75$, nur wenn 0 in D liegt. Keine Zahl ist zugleich Nullstelle und Polstelle, denn wo der Nenner null ist, hat f keinen Funktionswert. Diese Reihenfolge ist kein Zufall: Jede Angabe baut auf der vorherigen auf, und die Definitionsmenge steht deshalb ganz vorn.

Vorzeichen und Skizze

Zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen oder Polstellen behält f sein Vorzeichen, an jeder einfachen wechselt es. Ein Testwert je Bereich genügt: f(0) = −0,75 ist negativ, also ist f zwischen −2 und 1 negativ, danach wechselt das Vorzeichen der Reihe nach. Für die Skizze zeichnet man zuerst Asymptoten und Nullstellen, dann in jedem Bereich einen Ast nach den Vorzeichen. Ganz rechts liegt der Graph knapp unter $y=1$, ganz links knapp darüber. Die Nullstellen und der y-Achsenabschnitt liefern die Punkte, an denen die Äste die Achsen kreuzen. Für die Vorzeichen hilft eine kleine Tabelle mit den Stellen −2, 1, 2 und 3 als Trennlinien.

Pole und Nullstellen einbauen

Umgekehrt entsteht der Term aus den Eigenschaften. Jede Polstelle $x_0$ liefert einen Faktor $(x-x_0)$ im Nenner, jede Nullstelle $x_1$ einen im Zähler. Das Vorzeichen kehrt sich um: Eine Polstelle bei −1 gehört zu $(x+1)$. Für die Nullstellen z und −3 und die Polstellen p und −1 entsteht $f(x)=\frac{(x-z)(x+3)}{(x-p)(x+1)}$. Kein Faktor darf oben und unten stehen, er würde sich wegkürzen. Beide Polynome haben Grad 2, die waagrechte Asymptote ist $y=1$. Das Aufstellen ist ein Baukasten: Jede Eigenschaft liefert genau einen Faktor. Für die Polstellen −1 und 3 ist der Nenner das Produkt $(x+1)(x-3)=x^2-2x-3$.

Asymptote und Probe

Die waagrechte Asymptote legt den Vorfaktor a fest: Bei gleichem Grad ist $y=a$. Für die Nullstellen 1 und −2, die Polstellen 3 und −1 und $y=2$ passt $f(x)=\frac{2(x-1)(x+2)}{(x-3)(x+1)}$. Ein gegebener Punkt bestimmt einen noch offenen Faktor: Aus $f(0)=\frac{4}{3}$ folgt hier a = 2. Die Probe prüft am fertigen Term Nullstellen, Pole und Grenzverhalten, von Hand oder mit dem Schieberegler. Sie ist Pflicht, denn ein Vorzeichenfehler in einem Faktor verschiebt eine Nullstelle oder Polstelle an die falsche Stelle. Es gibt mehr als einen passenden Term; verlangt wird ein passender, nicht der einzige.

Gleichsetzen und multiplizieren

Zwei Graphen schneiden sich dort, wo $f(x)=g(x)$ gilt. Für $f(x)=\frac{6}{x}$ und $g(x)=x+1$ ist das die Bruchgleichung $\frac{6}{x}=x+1$. Man multipliziert beide Seiten mit dem Nenner x (x ≠ 0), jeden Summanden: $6=x^2+x$, also $x^2+x-6=0$ und $(x+3)(x-2)=0$. Die Lösungen sind −3 und 2. Die y-Koordinate liefert das Einsetzen, $f(2)=3$ und $f(-3)=-2$: die Schnittpunkte $(2\mid 3)$ und $(-3\mid -2)$. Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner; haben die Nenner keinen gemeinsamen Faktor, ist es ihr Produkt, etwa $x(x-1)$ für die Nenner x und x − 1. Danach bleibt Algebra der Jahrgangsstufe 9: eine lineare oder quadratische Gleichung.

Scheinlösungen

Multipliziert man mit einem Nenner, kann eine Zahl entstehen, die gar nicht in D liegt. Bei $\frac{x}{x-2}=\frac{2}{x-2}$ ergibt Multiplizieren mit $x-2$ die Lösung $x=2$, doch dort ist der Nenner null. Das ist eine Scheinlösung: Die Graphen haben keinen Schnittpunkt, denn $f(x)-g(x)=1$ für alle $x\ne 2$. Darum bestimmt man zuerst D und prüft jede Lösung daran. Der Fehler liegt dann nicht in der Rechnung, sondern im Weglassen der Probe. Die Probe kostet eine Zeile: Man setzt die gefundene Zahl in den Nenner ein und prüft, dass er nicht null wird.