Bedingte Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Ein Ast, der nur nach A gilt

Vor der Klausur bietet die Lehrerin eine freiwillige Vorbereitungsstunde an. Mit $P(A)=0,4$ war eine zufällige Person dabei. Wer dabei war, besteht mit 0,9 die Klausur (B), wer fehlte, nur mit 0,2. Im Baum tragen die beiden B-Äste der zweiten Stufe also verschiedene Zahlen, und jede gilt nur, wenn man den Knoten schon kennt.

Solche Zahlen heißen bedingte Wahrscheinlichkeiten. $P_A(B)=0,9$ lesen wir „Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A“: Die Bedingung schrumpft den Grundraum auf die Personen aus A, gefragt ist der Anteil von B darin. Am unteren Knoten gilt $P_{\overline{A}}(B)=0,2$ – dort ist der Grundraum ein anderer. Die beiden Äste eines Knotens ergeben zusammen 1, also $P_A(\overline{B})=1-0,9=0,1$.

Pfad und Anteil

Wie viele aller Personen waren dabei und bestehen? Erst 0,4 waren dabei, davon 0,9: $P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)=0,4\cdot 0,9=0,36$. Das ist die Pfadregel, der Pfad zeigt den Schnitt. Stellt man um, entsteht die Formel

$$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,36}{0,4}=0,9$$

Der Nenner ist immer die Bedingung.

Derselbe Kurs, jetzt mit 200 Personen und gezählt statt gezeichnet. In einer Vierfeldertafel stehen die Zeilen für A und $\overline{A}$, die Spalten für B und $\overline{B}$. Jedes Innenfeld ist ein Schnitt: 72 Personen waren dabei und bestehen, $A\cap B$. Die Ränder sind Summen, 72 + 8 = 80 waren dabei.

Die Zeile ist der Grundraum. $P_A(B)$ fragt nur nach den Personen aus A, also nach der Zeile A: $P_A(B)=\frac{72}{80}=0,9$. Das Feld durch die Gesamtzahl zu teilen, 72 : 200 = 0,36, ergibt dagegen $P(A\cap B)$ – den Schnitt, nicht die Bedingung.

Dieselbe Tafel gibt es auch mit Wahrscheinlichkeiten: Teilt man jedes Feld durch 200, stehen dort 0,36, 0,04, 0,12 und 0,48; die Ränder sind 0,4, 0,6, 0,48 und 0,52. Die Spalte B hat 72 + 24 = 96 Personen, also $P(B)=0,48$. Für Spalten gilt dasselbe wie für Zeilen: Wer nach $P_B(A)$ fragt, teilt durch die Spaltensumme 96.

Baum und Tafel zeigen dieselben Zahlen. Vom Baum zur Tafel: Feld = Gesamtzahl · Pfad, also 200 · 0,4 · 0,9 = 72. Von der Tafel zum Baum: erste Stufe = Zeilensumme : Gesamtzahl (80 : 200 = 0,4), zweite Stufe = Feld : Zeilensumme (72 : 80 = 0,9).

Drei verschiedene Zahlen

Zurück zum Schnelltest vom Anfang. Von 1000 Personen sind 10 krank (A). Bei 9 von ihnen ist der Test positiv (B), bei 99 der 990 Gesunden ebenfalls. Die Tafel zeigt zu denselben 9 Personen drei Zahlen: $P_A(B)=\frac{9}{10}=0,9$ (positiv unter den Kranken, Zeile A), $P_B(A)=\frac{9}{108}\approx 0,083$ (krank unter den Positiven, Spalte B) und $P(A\cap B)=\frac{9}{1000}=0,009$. Nur der Grundraum ist verschieden. Wer $P_A(B)$ für $P_B(A)$ hält, macht den Umkehrfehler.

Der Test in 1000 Personen

Mit Prozenten ist das im Kopf schwer, mit Personen leicht: 1 % von 1000 sind 10 Kranke, davon 90 % = 9 positiv. Von den 990 Gesunden testen 10 %, also 99, fälschlich positiv. Solche Zahlen heißen natürliche Häufigkeiten. Positiv sind 9 + 99 = 108 Personen, aber nur 9 sind krank. Zeichnet man den Baum mit dem Test als erster Stufe, wird $P_B(A)$ ein Ast: $P_B(A)=\frac{9}{108}=\frac{1}{12}\approx 8\%$.

Die Basisrate

Weshalb so wenig? Weil nur 1 % krank ist: Unter den vielen Gesunden erzeugen schon 10 % Fehlalarm 99 Positive gegen nur 9 echte. Wer diese Basisrate vergisst, hält die Erkennungsquote von 90 % für die Antwort. Schiebe die Basisrate nach oben und beobachte $P_B(A)$.

Nichts ändert sich

Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn das Wissen, dass A eingetreten ist, die Wahrscheinlichkeit von B nicht ändert: $P_A(B)=P(B)$. Ein Würfel wird zweimal geworfen, A ist „erster Wurf gerade“, B ist „zweiter Wurf eine 6“: Der erste Wurf sagt nichts über den zweiten, $P_A(B)=\frac{1}{6}=P(B)$.

Anders beim Ziehen ohne Zurücklegen: In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. A: erste Kugel rot, B: zweite Kugel rot. Es ist $P(B)=\frac{3}{5}$, aber nach A fehlt eine rote Kugel, $P_A(B)=\frac{2}{4}$. Mit Zurücklegen bliebe es bei $\frac{3}{5}$. Im Quadrat heißt unabhängig: Der B-Anteil ist in beiden Spalten gleich hoch.

Die Produktprobe

Aus $P(A\cap B)=P(A)\cdot P_A(B)$ und $P_A(B)=P(B)$ folgt $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$ Das gilt auch umgekehrt und ist die Probe: 200 Personen, A „trägt Brille“ (40), B „ist Linkshänder“ (30), im Feld A ∩ B stehen 6. Es ist $0,2\cdot 0,15=0,03=\frac{6}{200}$, also sind A und B unabhängig. Man multipliziert, addiert wird nicht.

Am Baum erkennen

Im Baum sieht man Unabhängigkeit an den Ästen: Beide B-Äste tragen dieselbe Zahl, $P_A(B)=P_{\overline{A}}(B)$. In der Tafel haben beide Zeilen denselben Anteil B, hier 6 : 40 = 24 : 160 = 0,15. Gleiche Zahlen in den Feldern braucht es dafür nicht. Verschiedene Äste wie bei der Vorbereitungsstunde (0,9 und 0,2) zeigen Abhängigkeit.

Zwei Ereignisse heißen unvereinbar, wenn sie nie zugleich eintreten: $A\cap B=\{\}$. Das klingt nach „haben nichts miteinander zu tun“, ist aber etwas ganz anderes als unabhängig. Beim Würfel sind „gerade“ und „ungerade“ unvereinbar; ist A eingetreten, weiß man sicher, dass B nicht eintritt: $P_A(B)=0\ne P(B)=0,5$. Das ist starke Abhängigkeit.

Aus einem Skatblatt (32 Karten) wird eine Karte gezogen. „Herz“ und „Pik“ sind unvereinbar, „Herz“ und „Bube“ nicht, denn der Herzbube erfüllt beides.

Allgemein gilt: Sind A und B unvereinbar und haben beide positive Wahrscheinlichkeit, so ist $P(A\cap B)=0<P(A)\cdot P(B)$, die Produktprobe scheitert – abhängig. Unabhängige Ereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit überschneiden sich dagegen immer. Herz (1/4) und Bube (1/8) etwa sind unabhängig: P(Herz ∩ Bube) = 1/32 = 1/4 · 1/8.

Eine Folgerung: Sind A und B unabhängig, dann auch A und B̄, denn $P(A\cap \overline{B})=P(A)-P(A)\cdot P(B)=P(A)\cdot P(\overline{B})$.

Wie viele?

Ein Ergebnis ist nur so gut wie die Erhebung dahinter. Angenommen, an einer Schule sind genau 50 % für einen neuen Pausenhof. Wer nur 10 Personen fragt, erhält mal 30 %, mal 70 %. Bei 20 Befragten verschiebt schon eine einzige Antwort den Anteil um 5 Prozentpunkte. Jeder Punkt ist eine solche Umfrage, 20 pro Stufe. Je größer die Stichprobe, desto enger liegen die Ergebnisse um den wahren Wert. Ein Anteil aus wenigen Antworten ist kein Beleg.

Wer antwortet?

Viele Antworten sind noch keine gute Stichprobe. Von 1000 Personen sind 600 dafür und 400 dagegen. Bei freiwilligen Umfragen antworten eher die Betroffenen: Antwortet die Hälfte der Befürworter (300), aber nur 20 % der Gegner (80), sind 300 von 380 Antworten „dafür“, also 79 % statt 60 %. Nicht die Zahl der Antworten entscheidet, sondern die Zusammensetzung der Antwortenden. Eine gute Stichprobe wird zufällig gezogen und mischt die Gruppen wie die Gesamtheit; wer nur am Fahrradständer fragt, erfährt etwas über den Fahrradständer.

Was wird gefragt?

Die Fragestellung legt fest, welche bedingte Wahrscheinlichkeit gemeint ist. „20 % der Unfallopfer sind Radfahrende“ ist $P_{\text{Unfall}}(\text{Rad})$, ein Anteil unter den Opfern. Über die Gefahr sagt erst $P_{\text{Rad}}(\text{Unfall})$ etwas: Fahren 20 000 von 100 000 Personen Rad und verunglücken 200 von ihnen, sind es 1 % – wie bei den Zufußgehenden. Das ist der Umkehrfehler aus dem Test. Auch Prozentangaben brauchen ihre Bezugsgröße: Von 10 auf 20 Fälle ist +100 %, von 1000 auf 1100 nur +10 % – obwohl es dort 100 statt 10 Fälle mehr sind. Und eine Achse, die nicht bei 0 beginnt, lässt kleine Unterschiede groß wirken. Jede Darstellung deutet die Daten mit.

Andere Teilmenge, andere Anteile

Zwei Salben gegen einen Hautausschlag: Mittel P heilte 59 von 100 Behandelten, Mittel Q 80 von 100 – Q scheint besser. Teilt man nach Schwere, ändert sich das Bild. Leichte Fälle: P 19 von 20 (95 %), Q 72 von 80 (90 %). Schwere Fälle: P 40 von 80 (50 %), Q 8 von 20 (40 %). In beiden Gruppen ist P besser, insgesamt aber schlechter: das Simpson-Paradox. Der Gesamtanteil ist ein Mittelwert der Gruppenanteile, gewichtet mit den Gruppengrößen, und P bekam viele schwere Fälle. Bedingte Wahrscheinlichkeiten hängen von der betrachteten Teilmenge ab.

Korrelation ist keine Ursache

Auch beim Zusammenhang zweier Größen täuscht der Blick. Eisverkauf und Sonnenbrandfälle steigen und fallen im Jahresverlauf gleich: Sie sind korreliert, also statistisch abhängig. Das beweist keine Kausalität, denn Eis macht keinen Sonnenbrand. Die Sonne ist die Störgröße, die beides bewirkt. Andere Möglichkeiten sind eine umgekehrte Richtung oder Zufall. Ob eine Störgröße dahintersteckt, prüft man so: Man vergleicht nur Tage mit gleicher Sonne – verschwindet der Zusammenhang dort, erklärt die Störgröße ihn. Wer Daten deutet, fragt deshalb: Wer wurde befragt, wie viele, in welchen Teilgruppen, mit welcher Frage? Jede Auswertung und jede Darstellung ist eine Deutung.