Die binomischen Formeln

Ein Quadrat und seine Teilflächen

Ein Quadrat gehört zur ganzen Klammer: $(a+b{)}^2=(a+b)\cdot (a+b)$. Für a = 3 und b = 4 ist (3 + 4)² = 7² = 49. Wer dagegen 3² + 4² = 25 rechnet, quadriert die Summanden einzeln und erhält etwas anderes. Ein Zahlenbeispiel entlarvt also eine falsche Umformung. Dass eine Umformung immer stimmt, beweist es nicht; dafür braucht es ein Bild. Für die Probe genügen kleine Zahlen: Setze a und b ein und vergleiche beide Seiten.

Zeichne ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b und teile jede Seite in a und b. Es entstehen vier Teilflächen: das Quadrat a², das Quadrat b² und zwei gleiche Rechtecke a · b. Wer nur a² + b² rechnet, lässt die beiden Rechtecke weg. Beide Rechtecke sind a lang und b breit, das eine liegt nur gedreht.

Die erste Formel

Die Fläche des ganzen Quadrats ist die Summe der vier Teile:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Das ist die erste binomische Formel. Zum selben Ergebnis führt „jeder mit jedem“: (a + b)(a + b) = a · a + a · b + b · a + b · b. Das sind 2 · 2 = 4 Produkte, zwei davon gleich. Lenas fehlende 600 m² sind das mittlere Glied: 2 · 100 · 3 = 600.

a und b bestimmen, das mittlere Glied

Bevor du die Formel anwendest, lies a und b ab. In (2x + 5)² ist a = 2x und b = 5. Beide gehören ganz in die Formel, mit ihrem Koeffizienten: a² = (2x)² = 4x², nicht 2x². Auch die 5 wird quadriert: b² = 25. Bei (x + 8)² ist a = x und b = 8; das x hat den Koeffizienten 1, deshalb bleibt a² = x².

Das mittlere Glied ist 2 · a · b = 2 · 2x · 5 = 20x. Es enthält beide Summanden und den Faktor 2. Oft fehlt dieser Faktor 2: 10x wäre nur ein einziges der beiden Rechtecke. Im Bild sind es zwei Rechtecke mit je 10x. Bei (3a + 2)² ist das mittlere Glied 2 · 3a · 2 = 12a.

Alles zusammen

So gehst du immer vor: a und b ablesen, a², 2ab und b² einzeln ausrechnen und zuletzt zusammenfassen.

$$(2x+5{)}^2=(2x{)}^2+2\cdot 2x\cdot 5+5^2=4x^2+20x+25$$

Probe für x = 1: (2 + 5)² = 49 und 4 + 20 + 25 = 49. Auch Zahlen lassen sich so quadrieren: 103² = (100 + 3)² = 10 000 + 600 + 9 = 10 609. Damit ist Lenas Rechnung geklärt. Ein zweites Beispiel: (3a + 2)² = 9a² + 12a + 4.

Das Minus im Quadrat

Auch (a − b)² ist ein Produkt: (a − b)(a − b). Jeder mit jedem ergibt a · a − a · b − b · a + (−b) · (−b). Nur das mittlere Glied bekommt ein Minus, b² bleibt positiv, denn (−b) · (−b) = +b². Das ist die zweite binomische Formel:

$$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$$

Zum Beispiel ist (x − 4)² = x² − 8x + 16, nicht x² − 16. Zur Probe: (5 − 2)² = 9 und 25 − 20 + 4 = 9, aber 25 − 4 = 21.

Die Ecke und das Ausrechnen

Im Bild werden vom Quadrat a² zwei Streifen der Breite b abgezogen: einer rechts, einer unten, jeder mit der Fläche a · b. Die Ecke b² liegt in beiden Streifen und wurde zweimal weggenommen. Sie muss einmal zurück. Bei a = 6 und b = 2 bleibt ein Quadrat mit der Seite 4, also der Fläche 16. Zieht man den Streifen a · b nur zweimal ab, ist das Ergebnis um b² zu klein.

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Für Zahlen gilt: 99² = (100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9801. In den Säulen sind (a − b)² und a² − 2ab + b² immer gleich hoch. a² − b² dagegen ist nicht gleich, es gehört zur dritten Formel.

Summe mal Differenz

Manchmal stehen in beiden Klammern dieselben Zahlen, in der einen mit Plus und in der anderen mit Minus: (a + b)(a − b). Jeder mit jedem ergibt a² − ab + ab − b². Die beiden gemischten Glieder heben sich auf. Das ist die dritte binomische Formel:

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

Das Ergebnis hat kein mittleres Glied, und die 25 steht mit Minus: (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Die Zahlen sind gleich, nur das Vorzeichen wechselt von Klammer zu Klammer, und alles Gemischte fällt weg.

Rechteck und Kopfrechnen

Schneide aus dem Quadrat a² oben rechts die Ecke b² heraus. Die zwei übrigen Teile A und B legst du zu einem Rechteck zusammen: Es ist a + b breit und a − b hoch. Die Fläche a² − b² und das Produkt (a + b)(a − b) sind also dasselbe. Zur Probe für a = 5 und b = 2: 25 − 4 = 21 und 7 · 3 = 21.

51 · 49 = (50 + 1)(50 − 1) = 50² − 1² = 2499. Beide Zahlen liegen gleich weit von der Mitte 50 entfernt. Ebenso ist 98 · 102 = 100² − 2² = 9996. Bei (2x + 3)(2x − 3) wird auch der Koeffizient quadriert: 4x² − 9. So wird aus einer schweren Kopfaufgabe eine leichte.

Muster, Reihenfolge und Vorzeichen

Welche Formel passt? Schau auf die Klammern. Zweimal dieselbe Klammer mit Plus: erste Formel, (x + 5)² = x² + 10x + 25. Zweimal dieselbe Klammer mit Minus: zweite Formel, (x − 5)² = x² − 10x + 25. Eine Klammer mit Plus und eine mit Minus: dritte Formel, (x + 5)(x − 5) = x² − 25. Schreibe zuerst auf, was a und b sind, und wähle dann die Formel.

Auch (5 − x)² ist das Quadrat einer Differenz. Hier ist a = 5 und b = x: (5 − x)² = 25 − 10x + x². Das ist derselbe Term wie (x − 5)² = x² − 10x + 25, nur anders geordnet. Die dritte Formel würde 25 − x² liefern, das ist ein anderer Term. Achte darauf, welcher Summand vorne steht: Er ist a.

Die Zahlenprobe

Prüfe eine Umformung mit Zahlen, aber nicht nur mit einer. Für x = 0 haben (x + 4)² und x² + 16 beide den Wert 16, und doch sind die Terme nicht gleich: Schon für x = 1 ergeben sich 25 und 17. Ein Gegenbeispiel widerlegt eine Umformung, ein passender Wert beweist nichts. Nimm deshalb mehrere Werte und keinen Sonderfall wie 0 oder 1. Eine Zahlenprobe findet Fehler, aber sie beweist keine Formel. Beweisen lassen sich die Formeln mit dem Flächenbild oder durch Ausmultiplizieren, jeder mit jedem.

Das Quadrat einer Summe erkennen

Die Formeln lassen sich rückwärts lesen. x² + 10x + 25 ist ein Quadrat, wenn zwei Dinge passen: x² und 25 = 5² sind Quadrate, und die Mitte ist das Doppelte des Produkts, 2 · x · 5 = 10x. Dann gilt x² + 10x + 25 = (x + 5)². Bei x² + 10x + 16 passt die Mitte nicht: 2 · x · 4 = 8x. Prüfe immer beide Quadrate und die Mitte, bei jedem Term genau auf dieselbe Weise.

Quadrat minus Quadrat, Quadrat ergänzen

x² − 49 ist ein Quadrat minus ein Quadrat, denn 49 = 7². Nach der dritten Formel gilt x² − 49 = (x + 7)(x − 7). Bei der Summe x² + 49 klappt das nicht. Gibt es einen gemeinsamen Faktor, klammere ihn zuerst aus: 2x² − 18 = 2(x² − 9) = 2(x + 3)(x − 3). Auch 4x² − 25 gehört dazu, denn es ist (2x)² − 5².

Bei x² + 8x fehlt die Ecke. Die halbe Zahl bei x ist 4, ihr Quadrat 16: x² + 8x + 16 = (x + 4)². Im Bild hat das Quadrat x² zwei Streifen b · x und braucht noch die Ecke b². Dieser Trick heißt später quadratische Ergänzung. Für x² + 6x ist die fehlende Ecke 3² = 9.

Beide Seiten verdoppelt

Ein Rechteck hat die Seiten a und b. Werden beide Seiten verdoppelt, ist die Fläche 2a · 2b = 4ab, also viermal so groß und nicht doppelt so groß. Bei k-facher Länge wächst die Fläche mit k². Auch (2a)² = 4a² und nicht 2a². Wer nur die Seiten vergleicht, unterschätzt die Fläche. Ein Beispiel: Aus 2 · 3 = 6 wird beim Verdoppeln beider Seiten 4 · 6 = 24, also das Vierfache. Bei dreifachen Seiten passen 3 · 3 = 9 Rechtecke a · b hinein, nicht 3.

Eine Seite länger, eine kürzer

Ein Quadrat mit der Seite a wird in beide Richtungen um 1 länger, seine Seite ist dann a + 1. Es kommen zwei Streifen der Fläche a und eine Ecke der Fläche 1 dazu: (a + 1)² − a² = 2a + 1. Bei a = 6 wächst die Fläche um 13, nicht nur um 1. Die Fläche wächst also stärker als die Seite. Zur Probe: 7² − 6² = 49 − 36 = 13.

Ein Quadrat mit der Seite 10 m wird ein Rechteck: eine Seite 2 m länger, die andere 2 m kürzer. Die Fläche ist 12 · 8 = 96 m², vorher waren es 100 m². Allgemein gilt (a + d)(a − d) = a² − d²: Das Rechteck ist immer um d² kleiner als das Quadrat, nie gleich groß. Für d = 2 ist der Unterschied 4 m².