Dezimalbrüche

Zehntel und Hundertstel

Oben liegt ein Ganzes, in zehn gleiche Stücke geteilt. Unten ist eines dieser Stücke vergrößert, und es ist noch einmal in zehn Stücke geteilt. Färbe oben einige große und unten einige kleine Stücke und schau, wie sich die Zahl im Chip aufbaut.

Die großen und die kleinen Stücke haben Namen, und das Komma trennt sie von den Ganzen.

Das Komma kennst du von Größen: Lena springt 4,5 m weit, das sind 4 m und 5 dm. Ein Dezimeter ist ein Zehntel Meter. Genau so geht die Stellenwerttafel rechts vom Komma weiter: Die erste Stelle zählt Zehntel, die zweite Hundertstel, die dritte Tausendstel. Jede Stelle ist ein Zehntel der Stelle links von ihr, und die Ziffern hinter dem Komma bilden den Zähler eines Bruchs mit Nenner 10, 100 oder 1000 – eines Dezimalbruchs.

$$0,35=3\cdot \frac{1}{10}+5\cdot \frac{1}{100}=\frac{35}{100}$$

Die Ziffern 3 und 5 sagen also, wie viele Zehntel und wie viele Hundertstel da sind; das Komma ist die Grenze zwischen den Ganzen und den Bruchteilen.

Die Tafel und die Null

In der Tafel steht das Komma zwischen den Einern und den Zehnteln. Sie spiegelt sich also nicht am Komma, sondern an den Einern: Zehntel sind nicht Zehner, Hundertstel nicht Hunderter. Der Wert einer Ziffer ist die Ziffer mal ihr Stellenwert.

Die Null zählt mit, denn sie hält eine Stelle frei. In $4,056$ stehen 0 Zehntel, 5 Hundertstel und 6 Tausendstel; die 5 ist $\frac{5}{100}=0,05$ wert. Ließe man die Null weg, entstünde $4,56$ – eine andere Zahl. Man kann 4,056 auch als 4 Ganze und 56 Tausendstel lesen: $4,056=4+\frac{56}{1000}$.

Stelle für Stelle vergleichen

Wer springt weiter: Lena mit 4,5 m oder Tom mit 4,45 m? Toms Zahl hat mehr Ziffern, doch die Länge einer Ziffernfolge sagt nichts über die Größe. Man vergleicht von links nach rechts und hält bei der ersten Stelle an, an der sich die Zahlen unterscheiden: Die Einer sind gleich (4 und 4), bei den Zehnteln stehen 5 gegen 4. Lena ist weiter. Toms Hundertstel spielen keine Rolle mehr: 4 Zehntel und 9 Hundertstel sind immer noch weniger als 5 Zehntel. Ebenso bei 0,63 und 0,7: Erst bei den Zehnteln fällt die Entscheidung (6 gegen 7), und 0,7 ist größer, obwohl 63 mehr ist als 7.

Nullen anhängen und die Lupe

Hängt man rechts eine Null an, ändert sich der Wert nicht: $0,4=0,40=0,400$, denn 4 Zehntel sind 40 Hundertstel. Eine Null zwischen Komma und Ziffer ändert dagegen alles: 0,04 sind nur 4 Hundertstel. Mit angehängten Nullen vergleicht man verschieden lange Zahlen bequem: 0,4 und 0,35 werden zu 0,40 und 0,35 – und 40 Hundertstel sind mehr als 35.

Am Zahlenstrahl zeigt die Lupe, was dazwischen liegt: Zwischen 0,3 und 0,4 stehen 0,31; 0,32; … 0,39, und zwischen zwei von ihnen wieder weitere. Einen „nächsten“ Dezimalbruch nach 0,3 gibt es nicht.

Auf eine Stelle runden

Beim Runden sucht man die nächstgelegene Zahl mit weniger Stellen. Runde 3,47 auf Zehntel: Die Rundungsstelle sind die Zehntel (die 4). Am Zahlenstrahl liegt 3,47 zwischen 3,4 und 3,5; die Mitte ist 3,45. Die Nachbarziffer hinter der Rundungsstelle zeigt, auf welcher Seite der Mitte man liegt: Bei 0, 1, 2, 3, 4 rundet man ab, bei 5, 6, 7, 8, 9 auf. Hier ist es die 7, also wird aufgerundet. Im Alltag rundet man genauso: Ein Liter Benzin für 1,849 € kostet auf Cent gerundet 1,85 €.

$$3,47\approx 3,5$$

Aufrunden mit Übertrag

Steht in der Rundungsstelle eine 9 und wird aufgerundet, gibt es einen Übertrag. Runde 2,96 auf Zehntel: Die Nachbarziffer 6 verlangt aufzurunden, aus 9 Zehnteln werden 10 Zehntel, also ein Ganzes mehr: $2,96\approx 3,0$. Die Null bleibt stehen, denn sie zeigt, dass auf Zehntel gerundet wurde.

Gerundet wird immer vom ursprünglichen Wert aus, und nur die Nachbarziffer zählt: 3,449 wird auf Zehntel zu 3,4. Wer zuerst auf 3,45 und dann auf 3,5 rundet, macht einen Fehler – 3,449 liegt links von der Mitte 3,45. Auf Hundertstel rundet man genauso, nur ist die Rundungsstelle dann die zweite Stelle nach dem Komma.

Wie viel Pizza bekommt ein Kind? Diese Frage führt auf einen Bruch – und auf eine neue Sicht auf den Bruch. Vier Kinder teilen sich drei gleiche Pizzen gerecht. Jede Pizza wird in 4 gleiche Stücke geschnitten, jedes Kind bekommt ein Stück von jeder Pizza: 3 Viertel. Ein Bruch beschreibt hier Teile mehrerer Ganzer: 3 Ganze auf 4 Personen ergeben $\frac{3}{4}$ Ganze je Person.

Zugleich ist das eine Division. Der Bruchstrich ist ein Divisionszeichen: der Zähler wird durch den Nenner geteilt.

$$3:4=\frac{3}{4}=0,75$$

So ist jeder Bruch ein Quotient, und der Quotient ist eine Zahl: 0,75. Auf die Reihenfolge kommt es an: 3 Pizzen auf 4 Kinder heißt 3 : 4, nicht 4 : 3. Es sind weniger Pizzen als Kinder, also bekommt jeder weniger als ein Ganzes. Bei 7 Pizzen auf 4 Kinder ist es 7 : 4 = 7/4: mehr als ein Ganzes, nämlich 1,75. Ein Bruch hat also mehrere Gesichter: ein Teil eines Ganzen (3/4 einer Pizza), Teile mehrerer Ganzer (3 Pizzen für 4 Kinder), ein Quotient (3 : 4) und eine Zahl, die auf der Zahlengeraden ihren festen Platz hat.

Erweitern oder dividieren

Ein Bruch mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 ist schon ein Dezimalbruch: 7/10 = 0,7. Dafür gibt es zwei Wege. Ist der Nenner ein Teiler von 10, 100 oder 1000, kann man erweitern, bis der Nenner 10, 100 oder 1000 ist (5 · 2 = 10, 20 · 5 = 100): $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=0,6$. Der zweite Weg geht immer: man dividiert, denn der Bruch ist ein Quotient. Bei 3/8 wäre Erweitern mit 125 möglich (8 · 125 = 1000), Dividieren ist bequemer: $\frac{3}{8}=3:8=0,375$. Das Komma ersetzt den Bruchstrich nicht: 3/5 ist 0,6, nicht 3,5.

Zurück zum Bruch

Umgekehrt liest man einen endlichen Dezimalbruch als Bruch mit Nenner 10, 100 oder 1000 und kürzt ihn dann, hier durch den gemeinsamen Teiler 5:

$$0,35=\frac{35}{100}=\frac{7}{20}$$

Im Hundertfeld sieht man das: 35 gefärbte Felder ordnen sich in 7 Gruppen zu je 5 Feldern, und das ganze Feld besteht aus 20 solchen Gruppen.

Häufige Brüche im Kopf

Einige Brüche kommen so oft vor, dass man ihren Dezimalbruch auswendig kennen sollte. Vielfache folgen daraus: $\frac{3}{8}=3\cdot 0,125=0,375$. Mit diesem Wissen vergleicht man auch Brüche mit Dezimalbrüchen: Ist 3/8 größer als 0,4? Man bringt beide in dieselbe Darstellung: 0,375 gegen 0,400 – bei den Zehnteln steht 3 gegen 4, also ist 3/8 kleiner als 0,4.

Die Reste entscheiden

Wer 1 : 4 schriftlich rechnet, erreicht nach zwei Schritten den Rest 0: 0,25. Der Dezimalbruch ist endlich. Bei 1 : 3 bleibt dagegen jedes Mal der Rest 1: Die Rechnung wiederholt sich, und mit ihr die Ziffer 3. Das ist ein periodischer Dezimalbruch, geschrieben $0,\overline{3}$; die Periode ist 3. Beim Teilen durch n gibt es nur die Reste 0 bis n − 1: Entweder wird der Rest 0 erreicht, oder ein Rest kehrt zurück.

Der Nenner entscheidet

Ob die Division abbricht, sieht man am Nenner. Ein endlicher Dezimalbruch hat den Nenner 10, 100, 1000 … – und diese Zahlen bestehen nur aus den Primfaktoren 2 und 5. Lässt sich der Nenner nur aus 2 und 5 bauen, geht es auf: 7/20 mit 20 = 2 · 2 · 5 ist 0,35. Kommt ein anderer Primfaktor vor, bleibt ein Rest: 1/6 mit 6 = 2 · 3 ist periodisch, 0,1666… Es zählt der Nenner des vollständig gekürzten Bruchs: 3/12 = 1/4 ist endlich, obwohl 12 = 2 · 2 · 3 eine 3 enthält.

Periode 1 zurück zum Bruch

Auch der Rückweg gelingt, wenn sich nur eine Ziffer d wiederholt: 1 : 9 = 0,111… Der Rest 1 kehrt bei 1 : 9 immer wieder, deshalb ist 1/9 genau 0,111… Damit ist

$$0,\overline{d}=\frac{d}{9}$$

also 0,777… = 7/9 und 0,333… = 3/9 = 1/3. Für d = 9 ist 9/9 = 1: 0,999… und 1 sind dieselbe Zahl. Man liest die Regel so: 0,777… ist siebenmal 0,111…, also 7 · 1/9.

Der Rechner zeigt bei 1 : 6 die Anzeige 0,166666667. Stimmt das? Diese Anzeige hat nur Platz für 9 Nachkommastellen und rundet die letzte: Der genaue Wert ist 0,1666… mit der Periode 6, und weil die nächste Ziffer wieder eine 6 ist, wird aus der letzten 6 eine 7. Ebenso ergibt 2 : 3 die Anzeige 0,666666667, aber 1 : 3 zeigt 0,333333333 (die nächste Ziffer ist eine 3, also wird abgerundet).

Füllen die Ziffern die ganze Anzeige und beginnt sich ein Ziffernblock zu wiederholen, ist der Bruch periodisch: Bei 5 : 7 zeigt der Rechner 0,714285714 – der Block 714285 beginnt von vorn. Genauso bei 1 : 7 = 0,142857143: Der Block 142857 wiederholt sich, nur die letzte Ziffer ist gerundet. Ein endlicher Dezimalbruch wie 3 : 8 = 0,375 bricht dagegen ab.

Rechnet man mit der Anzeige weiter, summieren sich die Rundungen:

$$3\cdot 0,333333333=0,999999999\text{aber}3\cdot \frac{1}{3}=1$$

Soll das Ergebnis genau sein, rechnet man mit dem Bruch. Im Alltag genügen gerundete Werte meist; beim Vergleich sehr ähnlicher Zahlen oder beim Weiterrechnen nicht. Merke: Die Anzeige ist ein Näherungswert, der Bruch ist der genaue Wert.