Eigenschaften von Funktionen

Typ und Term

Jeder Funktionstyp hat ein eigenes Gesicht. Eine Gerade gehört zu $y=mx+t$, eine Parabel zu $y=a{x}^2+bx+c$, eine Hyperbel zu $y=\frac{a}{x}$. Bei einer Potenzfunktion $y=x^n$ steht die Variable in der Basis, bei einer Exponentialfunktion $y=b\cdot a^x$ im Exponenten. Das ist der Unterschied zwischen $x^3$ und $3^x$: An der Stelle 4 liefert die erste 64, die zweite 81. Dazu kommen die Sinusfunktion $y=a\sin x+d$ und die Logarithmusfunktion $y={\log }_{2}x$. Wer den Typ erkennt, weiß schon viel über den Graphen.

Potenzfunktionen: gerade und ungerade

Bei $y=x^n$ entscheidet die Parität von n über die Gestalt. Ist n gerade (2, 4, 6), verläuft der Graph U-förmig und nie unter der x-Achse, denn $(-2{)}^4=16$. Ist n ungerade (1, 3, 5), kommt der Graph von links unten und geht nach rechts oben, denn $(-2{)}^3=-8$. Alle Graphen laufen durch $(0\mid 0)$ und $(1\mid 1)$. Zwischen 0 und 1 gilt: Je größer n, desto flacher der Graph, zum Beispiel $0,5^2=0,25$, aber $0,5^4=0,0625$. Erst rechts von 1 ist die höhere Potenz die steilere.

Wo die Werte liegen

Manche Typen schließen Werte aus. Die Exponentialfunktion $y=2^x$ ist für jedes x positiv: Sie hat keine Nullstelle, und ihr Graph nähert sich links der x-Achse, ohne sie zu erreichen. Die Sinusfunktion $y=a\sin x+d$ schwankt zwischen $d-|a|$ und $d+|a|$: Bei $y=3\sin x+1$ liegen alle Werte zwischen $-2$ und $4$. Die Hyperbel $y=\frac{a}{x}$ hat bei $x=0$ eine Definitionslücke, und $y={\log }_{2}x$ ist nur für $x>0$ definiert und hat die Nullstelle 1. Solche Eigenschaften gehören in eine Skizze: Nullstellen, Wertebereich, Definitionsmenge, Verlauf an den Rändern.

Symmetrie zur y-Achse

Ein Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse, wenn sein Spiegelbild an der y-Achse wieder derselbe Graph ist. Am Term prüft man das, indem man x durch −x ersetzt und vereinfacht. Kommt wieder f(x) heraus, gilt $f(-x)=f(x)$ für alle x der Definitionsmenge. Beispiel: $f(x)=x^4-2x^2$ ergibt $f(-x)=(-x{)}^4-2(-x{)}^2=x^4-2x^2=f(x)$. Ein einzelnes Wertepaar reicht als Beweis nicht aus; die Gleichung muss für jedes x stimmen. Bei Summen von Potenzen hilft der Blick auf die Exponenten: Nur gerade Exponenten (die Konstante zählt als $x^0$) bedeuten Achsensymmetrie. Geometrisch heißt das: Zu jedem Punkt $(x\mid y)$ des Graphen gehört auch $(-x\mid y)$.

Punktsymmetrie und Gegenbeispiele

Punktsymmetrisch zum Ursprung ist ein Graph, wenn er bei einer Drehung um 180° um den Ursprung in sich übergeht. Am Term heißt das $f(-x)=-f(x)$: Alle Vorzeichen kippen, zu jedem Punkt $(x\mid y)$ gehört auch $(-x\mid -y)$. Beispiel: $f(x)=x^3-3x$ ergibt $f(-x)=-x^3+3x=-f(x)$. Bei $f(x)=x^3+1$ dagegen ist $f(-x)=-x^3+1$, und das ist weder $f(x)$ noch $-f(x)$. Zum Widerlegen genügt ein Gegenbeispiel: $f(1)=2$, aber $f(-1)=0$. Auch ein Term wie $x^2+x$, der gerade und ungerade Exponenten mischt, hat keine der beiden Symmetrien.

Änderungen von außen: y-Richtung

Wir starten mit $f(x)=x^3-3x+1$ (gestrichelt). Der Punkt $P(-1\mid 3)$ liegt auf dem Graphen. Was außerhalb von f steht, wirkt direkt auf die y-Werte: $f(x)+d$ hebt jeden Punkt um d nach oben, $a\cdot f(x)$ multipliziert jeden y-Wert mit a. Bei a = 2 und d = 1 wird aus P der Punkt $(-1\mid 2\cdot 3+1)=(-1\mid 7)$. Die x-Werte ändern sich nicht, und bei der Streckung bleiben die Nullstellen an ihrem Platz: Nur die Höhe wächst oder schrumpft.

Änderungen im Argument: x-Richtung

Steht die Änderung im Argument, wirkt sie auf die x-Werte, und zwar scheinbar verkehrt herum. $f(x-c)$ verschiebt den Graphen um c nach rechts, denn jeder Funktionswert wird erst c später erreicht; $f(x+2)$ verschiebt also nach links. $f(bx)$ staucht den Graphen in x-Richtung auf den b-ten Teil der Breite: Bei b = 2 ist er halb so breit, und aus P wird $(-0,5\mid 3)$. Bei beiden Änderungen bleiben die y-Werte. Als Faustregel gilt: Außen wirkt es wie geschrieben, innen umgekehrt. So kann man einem Term den Graphen zuordnen: Man verfolgt einen Kennpunkt wie P und prüft, wohin er wandert.

Spiegeln an den Achsen

Ein Minuszeichen spiegelt. Steht es außerhalb, $-f(x)$, kippen die y-Werte: Der Graph wird an der x-Achse gespiegelt, aus $P(-1\mid 3)$ wird $(-1\mid -3)$. Steht es im Argument, $f(-x)$, kippen die x-Werte: Spiegelung an der y-Achse, P wird zu $(1\mid 3)$. Beides zusammen, $-f(-x)$, spiegelt am Ursprung. Fällt der gespiegelte Graph auf den ursprünglichen, ist f symmetrisch: $f(-x)=f(x)$ heißt genau, dass die Spiegelung an der y-Achse nichts ändert. Die Nullstellen bleiben bei $-f(x)$ an ihrem Platz, bei $f(-x)$ wandern sie auf die andere Seite der y-Achse: Aus einer Nullstelle bei 2 wird eine bei −2.

Reihenfolge in y-Richtung

Mehrere Änderungen ergeben nur in der richtigen Reihenfolge das, was der Term sagt. In $a\cdot f(x)+d$ rechnet man wie im Term: erst a, dann d. Der Graph wird also erst gestreckt und dann verschoben. Mit einer Klammer, $2\cdot (f(x)+3)$, wird die Verschiebung mitgestreckt: $2\cdot (f(x)+3)=2\cdot f(x)+6$, also um 6 statt um 3. Für P ergibt $2\cdot f(x)+3$ den y-Wert 9, aber $2\cdot (f(x)+3)$ den y-Wert 12.

Reihenfolge in x-Richtung

Im Argument liest man die Verschiebung erst nach dem Ausklammern ab. Bei $f(2x-3)$ steht nicht „um 3 nach rechts“: Es gilt $f(2x-3)=f(2(x-1,5))$. Der Graph wird auf die halbe Breite gestaucht und um 1,5 nach rechts verschoben. Zum Vergleich verschiebt $f(2(x-3))$ um 3. Bei P wird aus $f(2x-3)$ der Bildpunkt $(1\mid 3)$, aus $f(2(x-3))$ der Bildpunkt $(2,5\mid 3)$. Wer einen Term einem Graphen zuordnen will, prüft deshalb erst Spiegelung und Streckung und dann die Verschiebung an einem Kennpunkt.

Wohin strebt der Graph?

Für große x nähert sich der Graph mancher Funktionen einer waagrechten Geraden. Bei $f(x)=\frac{2x^2+4x}{x^2+1}$ ist das die Gerade y = 2. Man schreibt ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=2$ und liest: Der Grenzwert von f für x gegen unendlich ist 2. Das linke Ende, $x\to -\infty$, betrachtet man getrennt; hier führt es ebenfalls zu 2. Dass der Graph die Gerade zwischendurch schneidet, stört nicht: Bei $x=0,5$ ist $f(x)=2$. Entscheidend ist nur, wo der Graph am Ende bleibt, nicht, wo er unterwegs war.

Der Streifen um den Grenzwert

Was heißt „nähert sich“ genau? Man legt einen Streifen um die Gerade $y=L$, seine Halbbreite ε darf beliebig klein sein. L ist der Grenzwert, wenn der Graph für jeden solchen Streifen ab einem x-Wert nicht mehr herausläuft. Beispiel $f(x)=2+\frac{1}{x}$: Der Abstand zu 2 ist $\frac{1}{x}$, und der ist kleiner als ε, sobald $x>\frac{1}{\epsilon }$ gilt. Für ε = 0,5 ist das ab x = 2 so, für ε = 0,1 ab x = 10. Der Term zeigt den Grenzwert auch direkt: $\frac{1}{x}$ strebt gegen 0, also strebt $2+\frac{1}{x}$ gegen 2. Ob der Graph die Gerade je trifft (hier nie), ist gleichgültig.

Konvergent oder divergent?

Strebt f für $x\to \infty$ gegen eine Zahl L, heißt f dort konvergent, sonst divergent. Konvergent sind zum Beispiel $3+\frac{1}{x}$ (gegen 3) und ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (gegen 0). Divergent kann eine Funktion auf zwei Arten sein. $x^2$ ist bestimmt divergent: Die Werte wachsen über jede Schranke, man schreibt ${\lim }_{x\to \infty }{x}^2=\infty$. Das ist nur eine Kurzschreibweise: ∞ ist keine Zahl und kein Grenzwert im Sinn des Streifens. Auch $-x^2$ ist bestimmt divergent, gegen $-\infty$. Ständiges Steigen heißt dabei nicht Divergenz: Auch $4-3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ steigt ständig und konvergiert gegen 4. Auch der Tee vom Anfang konvergiert: Bei $T(x)=20+60\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ (in °C, x in Schritten von zehn Minuten) strebt T gegen 20 °C. Die Zimmertemperatur wird im Modell nie erreicht, und trotzdem ist 20 der Grenzwert.

Kein Grenzwert, zwei Enden

Die zweite Art: $\sin x$ wächst nicht, sondern pendelt zwischen −1 und 1. Für jede Zahl L verlässt der Graph jeden Streifen der Halbbreite unter 1 um $y=L$ immer wieder: Es gibt keinen Grenzwert. Beschränkt zu sein genügt für Konvergenz also nicht. Beide Enden untersucht man einzeln: $2^x$ strebt für $x\to -\infty$ gegen 0 und wächst für $x\to \infty$ über alle Grenzen; $x^3$ geht links nach $-\infty$, rechts nach $\infty$. Ein Grenzwert am linken Ende sagt nichts über das rechte: $1+2^x$ konvergiert für $x\to -\infty$ gegen 1, ist aber für $x\to \infty$ divergent.

Zwei Formeln, ein Graph

Eine Funktion darf abschnittsweise definiert sein: Verschiedene Terme gelten auf verschiedenen Bereichen, zum Beispiel

Welche Formel an einer Stelle gilt, sagt die Bedingung: Bei x = 1 gilt wegen $\le$ die obere, also $f(1)=1$. Der Graph besteht aus zwei Stücken, die an der Nahtstelle x = 1 aufeinandertreffen. Ob sie zusammenpassen, prüft man, indem man x = 1 in beide Terme einsetzt: links $1^2=1$, rechts $c-1$. Sind die Werte gleich, schließt der Graph an; das gilt für $c=2$. So sind auch Tarife wie Porto oder Parkgebühren definiert, oft mit Sprüngen.

Sprung und Knick

Anschaulich ist ein Graph an einer Stelle stetig, wenn man ihn dort ohne Absetzen des Stiftes zeichnen kann. Ein Sprung ändert die Höhe; dort ist der Graph nicht stetig. Ein Knick ändert nur die Richtung: $|x|$, also $-x$ für $x\le 0$ und $x$ für $x>0$, hat bei 0 einen Knick, aber keinen Sprung. Stetig heißt also nicht glatt. Auch eine Funktion aus zwei Formeln kann stetig sein, wenn die Stücke an der Nahtstelle zusammenpassen.