Flächeninhalt von Vielecken

Das Lot als Höhe

Das Beet im Schulgarten ist ein Parallelogramm. Wir wählen die untere Seite als Grundseite $g$. Die Höhe $h$ ist der Abstand der Grundseite zur gegenüberliegenden Seite, senkrecht gemessen – also das Lot. Die schräge Seite daneben ist länger als die Höhe – beim Beet 5 m gegen 4 m –, denn das Lot ist die kürzeste Verbindung zur gegenüberliegenden Seite. Nur beim Rechteck sind beide gleich lang. Am Geodreieck legst du die Mittellinie auf die Grundseite und schiebst, bis die lange Kante die gegenüberliegende Seite berührt.

Jede Seite als Grundseite

Jede Seite darf Grundseite sein. Aber zu jeder Grundseite gehört ihre eigene Höhe, senkrecht zu genau dieser Seite gemessen. Beim Beet ist die untere Seite 6 m lang, ihre Höhe beträgt 4 m. Nimmt man die schräge Seite mit 5 m als Grundseite, gehört dazu die Höhe 4,8 m. Grundseite und Höhe gehören immer zusammen. Beim Rechteck 6 m × 4 m sieht man das besonders klar: Mit der 6 m langen Seite als Grundseite ist die Höhe 4 m, mit der 4 m langen Seite als Grundseite ist sie 6 m.

Höhe außerhalb

Beim Dreieck fällt man das Lot von der gegenüberliegenden Ecke auf die Grundseite. Ist der Winkel an einer Ecke der Grundseite stumpf, trifft das Lot die Seite nicht. Dann verlängert man die Grundseite und fällt das Lot auf die Verlängerung: Die Höhe liegt außerhalb des Dreiecks und ist trotzdem seine Höhe. Wandert die Spitze parallel zur Grundseite, bleibt die Höhe gleich. Die Höhe steht senkrecht auf der Grundseite – nicht „senkrecht auf dem Blatt“: Dreht man das Dreieck, dreht sich die Höhe mit.

Abschneiden und anlegen

Hier liegt ein schiefes Viereck, ein Parallelogramm. Von ihm ist ein Dreieck abgeschnitten. Schiebe das Dreieck auf die andere Seite, bevor du weiterliest, und schau, was für eine Figur entsteht.

Was du gerade getan hast, heißt Zerlegen und Ergänzen.

Vom Rechteck kennen wir $A=a\cdot b$. Wie kommt man damit zum Parallelogramm? Man schneidet an der Höhe ein Dreieck ab und legt es auf der anderen Seite wieder an. Das Stück wird nur verschoben, nicht verändert: Es kommt nichts dazu, und es geht nichts verloren. So entsteht ein Rechteck mit demselben Flächeninhalt. Seine Breite ist die Grundseite $g$, seine Höhe die Höhe $h$. Warum darf man das? Wer ein Stück nur verschiebt, ändert seine Größe nicht. Auf diesem Prinzip des Zerlegens und Ergänzens beruhen alle Flächenformeln dieses Kurses.

Die Formel A = g · h

Also gilt für jedes Parallelogramm:

$$A=g\cdot h$$

Beim Beet ist $A=6\text{m}\cdot 4\text{m}=24{\text{m}}^2$. Die schräge Seite mit 5 m kommt in der Formel nicht vor; wer 6 · 5 = 30 rechnet, liegt um 6 m² zu hoch. Schiebt man die obere Seite schiefer, werden die schrägen Seiten länger und der Umfang wächst. Grundseite und Höhe bleiben aber gleich – und mit ihnen der Flächeninhalt. Umfang und Flächeninhalt sind zwei verschiedene Größen. Merke: Die Höhe ist keine Seite des Parallelogramms, sondern eine eigene Strecke, die du einzeichnen musst.

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm. Dreht man eine Kopie des Dreiecks um den Mittelpunkt einer Seite um 180°, passen beide Dreiecke zusammen: Es entsteht ein Parallelogramm mit derselben Grundseite $g$ und derselben Höhe $h$. Zwei Dreiecke haben also so viel Fläche wie ein Parallelogramm, und ein Dreieck hat die Hälfte:

$$A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$$

Für ein Dreieck mit $g=6\text{m}$ und $h=4\text{m}$ ist $A=6\cdot 4:2=12{\text{m}}^2$. Jede der drei Seiten kann Grundseite sein, aber jede hat ihre eigene Höhe: Grundseite und Höhe müssen zur selben Seite gehören. Die Formel gilt auch, wenn die Höhe außerhalb des Dreiecks liegt.

Zum Vergleich: Ein Rechteck von 6 m × 4 m hat 24 m². Ein Dreieck mit derselben Grundseite und Höhe füllt nur die Hälfte davon, 12 m². Achte auf die Höhe: Sie steht senkrecht auf der Grundseite und ist meist keine Seite des Dreiecks. Nur beim rechtwinkligen Dreieck ist eine Kathete die Höhe zur anderen Kathete.

Zwei Trapeze, ein Parallelogramm

Ein Trapez hat zwei parallele Seiten, a und c. Die Höhe $h$ ist der Abstand dieser Parallelen – nicht einer der schrägen Schenkel. Wie beim Dreieck hilft eine Kopie: Dreht man sie um den Mittelpunkt eines Schenkels um 180°, entsteht ein Parallelogramm. Seine Grundseite ist $a+c$, seine Höhe ist $h$. Ein Trapez hat die Hälfte davon:

$$A=(a+c)\cdot h:2$$

Merke die Klammer: Erst a und c addieren, dann mit h multiplizieren. Man kann sich die Formel auch so vorstellen: $(a+c):2$ ist die mittlere Breite des Trapezes, und mal Höhe ergibt die Fläche.

Zwei Dreiecke

Man kann das Trapez auch mit einer Diagonale zerlegen. Beide Dreiecke haben die Höhe $h$: das untere die Grundseite $a$, das obere die Grundseite $c$. Also ist $A=a\cdot h:2+c\cdot h:2$, und Ausklammern von $h:2$ liefert dieselbe Formel. Beim Weg mit $a=6\text{m}$, $c=4\text{m}$ und $h=3\text{m}$ ist $A=(6+4)\cdot 3:2=15{\text{m}}^2$; das untere Dreieck hat 9 m², das obere 6 m². Wird $c$ kleiner, nähert sich das Trapez einem Dreieck; wird $c$ gleich $a$, ist es ein Parallelogramm.

Zerlegen und Ergänzen

Viele Flächen sind aus einfachen Figuren zusammengesetzt. Beim Zerlegen teilt man sie in Rechtecke, Dreiecke oder Trapeze, berechnet jede Teilfläche und addiert. Beim Ergänzen macht man aus der Figur ein Rechteck und zieht das Ergänzungsstück wieder ab. Die Teile dürfen sich nicht überlappen, und es darf nichts fehlen. Wähle die Zerlegung so, dass alle Maße bekannt sind. Der Grundriss des Gewächshauses ist ein Rechteck (6 m × 3 m) mit einem Dreieck als Dach (Grundseite 6 m, Höhe 2 m): $A=18+6=24{\text{m}}^2$. Ergänzt man ihn zum Rechteck 6 m × 5 m, zieht man die beiden Ecken mit zusammen 6 m² ab: $A=30-6=24{\text{m}}^2$.

Hilfslinien

Auch Vergleiche gelingen mit Hilfslinien. Zwei Dreiecke mit derselben Grundseite und derselben Höhe haben denselben Flächeninhalt, denn $A=g\cdot h:2$ hängt nur von $g$ und $h$ ab. Die dritte Ecke darf deshalb auf einer Parallelen zur Grundseite wandern, ohne dass sich der Flächeninhalt ändert. Diese Parallele zeichnet man als Hilfslinie ein. So verwandelt man ein schiefes Dreieck in ein bequemes, ohne dass sich seine Fläche ändert – und erkennt, dass drei ganz verschieden aussehende Dreiecke gleich groß sind.

Vergleichen ohne Messen

Zum Vergleichen taugt der Umfang nicht: Gleicher Umfang bedeutet nicht gleicher Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 4 cm Seitenlänge und ein Rechteck von 2 cm × 6 cm haben beide den Umfang 16 cm, aber die Flächeninhalte 16 cm² und 12 cm². Um zwei Flächen zu vergleichen, berechnet man ihre Flächeninhalte oder begründet mit Hilfslinien. Manchmal führt Ergänzen schneller zum Ziel als Zerlegen – probiere beide Wege und vergleiche die Ergebnisse. Das Auge täuscht dabei leicht: Die schmale, lange Figur wirkt größer, als sie ist.

Vom Plan zur Rechnung

Aufgaben mit Sachbezug enthalten oft mehr Zahlen, als man braucht. Unterstreiche zuerst, was gefragt ist. Der Plan des Schulgartens nennt viele Maße für das trapezförmige Beet: unten 12 m, oben 6 m, die schrägen Seiten je 5 m und der Abstand der Parallelen 4 m. Für den Flächeninhalt brauchst du nur die Maße aus der Formel: die parallelen Seiten a = 12 m und c = 6 m und die Höhe $h$ = 4 m. Die schrägen Seiten gehören zu einer anderen Frage, etwa zum Zaun. Erst die Figur erkennen, dann die zusammengehörigen Strecken wählen: $A=(12+6)\cdot 4:2=36{\text{m}}^2$.

Modell und Näherung

Ein Teich hat keine Form aus dem Lehrbuch. Man ersetzt ihn durch ein Modell aus einfachen Figuren und erhält einen Näherungswert (≈). Liegt das Modell ganz im Teich, ist der Wert zu klein; umschließt es den Teich, ist er zu groß. Im Plan entspricht eine Einheit 10 m; hier liegt der Teich zwischen 1800 m² und 3200 m². Das Modell prüft man kritisch, das Ergebnis rundet man sinnvoll und nennt die Einheit. Für Rasensaat rundet man auf ganze Packungen auf. Wer nur ein Modell rechnet, weiß nicht, wie gut es passt: Zwei Modelle, eines innen und eines außen, schließen den wahren Wert ein.

Vom Körper zum Netz

Die Oberfläche eines Körpers besteht aus allen seinen Begrenzungsflächen. Das Netz legt sie flach nebeneinander: Man berechnet jede Fläche und addiert. Ein Quader hat sechs Rechtecke, je zwei gleich große. Für die Kompostkiste mit 3 m × 2 m × 1 m ist $O=2\cdot (3\cdot 2+3\cdot 1+2\cdot 1)=22{\text{m}}^2$. Im Netz kommt jede Fläche genau einmal vor: 3 · 2, 3 · 1 und 2 · 1, jeweils doppelt. Fehlt eine, ist die Oberfläche zu klein; zählt man eine doppelt, ist sie zu groß.

Prisma: Grundfläche und Mantel

Ein Prisma hat zwei gleiche Grundflächen und einen Mantel aus Rechtecken. Beim Zelt ist die Grundfläche ein Dreieck mit den Seiten 8 m, 5 m, 5 m und der Höhe 3 m, das Zelt ist 6 m lang. Jede Grundfläche hat $8\cdot 3:2=12{\text{m}}^2$. Der Mantel ist im Netz ein langes Rechteck aus drei Rechtecken: so breit wie der Umfang der Grundfläche (18 m) und 6 m hoch, also 108 m². Zusammen ist $O=2\cdot 12+108=132{\text{m}}^2$.

Zusammengesetzte Körper

Setzt man Körper zusammen, verschwinden Flächen im Inneren. Das Hochbeet besteht aus zwei Quadern: unten 4 m × 2 m × 1 m mit 28 m², darauf 2 m × 2 m × 1 m mit 16 m². Die Klebefläche (2 m × 2 m = 4 m²) fällt an jedem der beiden Körper weg: $O=28+16-2\cdot 4=36{\text{m}}^2$. Plane die Rechnung Fläche für Fläche, dann zählt keine doppelt. Zu jeder Antwort gehört die Einheit m². Das Volumen kommt später: Es misst, wie viel in den Körper hineinpasst, die Oberfläche dagegen nur seine Hülle.