Funktion und Term

Die Wertetabelle

Ein Fahrradverleih verlangt für x Stunden Mietdauer den Preis y in Euro. Die Wertetabelle hält einzelne Paare fest: Zu 1 Stunde gehören 6 €, zu 2 Stunden 8 €, zu 3 Stunden 10 €. Jede Spalte ist ein Paar $(x\mid y)$ und im Koordinatensystem ein Punkt: erst x nach rechts, dann y nach oben. Die erste Spalte ergibt $P(1\mid 6)$, nicht $P(6\mid 1)$. So wird aus der Tabelle Spalte für Spalte eine Reihe von Punkten – noch keine Kurve, denn zwischen den Spalten steht bisher nichts.

Der Graph

Alle Punkte zusammen bilden den Graphen. Man liest ihn so ab: von x auf der Achse senkrecht bis zur Kurve, dann waagerecht zum y-Wert. Bei 4 Stunden ergibt das 12 €. Auch umgekehrt geht es: Zu 16 € gehören 6 Stunden.

Ein Graph ist kein Foto der Situation. Fällt eine Kurve, die die Temperatur im Lauf eines Tages zeigt, so geht es nicht bergab, sondern es wird kälter: Die Höhe der Kurve ist die Temperatur, nicht die Höhe eines Weges. Erst die Achsen sagen, was die Kurve bedeutet. Deshalb gehört zu jedem Graphen immer die Frage: Was steht an der x-Achse, was an der y-Achse?

Der Term

Am kürzesten sagt es ein Term: Preis = 2 · Stunden + 4, kurz $y=2x+4$. Man setzt für x eine Mietdauer ein und rechnet den Preis aus: Für $x=3$ ist $y=2\cdot 3+4=10$. Tabelle, Graph und Term beschreiben dieselbe Zuordnung – die Tabelle einzelne Werte, der Graph den ganzen Verlauf, der Term jeden Wert. Welche Darstellung man wählt, hängt von der Frage ab: Preise nachschlagen (Tabelle), Verläufe vergleichen (Graph), viele Werte ausrechnen (Term).

Nicht jede Zuordnung ist eine Funktion. Eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu. Person → Geburtstag ist eine Funktion: Jeder hat genau einen. Person → Geschwister ist keine: Manche haben keines, manche mehrere.

Im Pfeildiagramm geht von jedem x genau ein Pfeil aus. In einer Wertetabelle verrät sich der Fehler durch ein x, das mit zwei verschiedenen y-Werten vorkommt. Dass zwei Pfeile am selben y enden, ist dagegen erlaubt: Bei $y=x^2$ gehören 2 und −2 beide zu 4. Verboten ist nur ein x mit zwei Pfeilen.

Eine Funktion braucht dafür keine Formel: Auch eine Wertetabelle oder eine Kurve legt sie fest, solange jedem x genau ein y gehört. Und die Zuordnung, die x alle Zahlen y mit $y^2=x$ zuordnet, ist keine Funktion: Zu x = 4 gehören 2 und −2.

Am Graphen hilft die senkrechte Gerade: Schiebt man sie über den Graphen, darf sie ihn nie zweimal treffen. Eine Parabel besteht diesen Test, ein Kreis fällt durch – bei x = 3,5 trifft die Gerade ihn in zwei Punkten.

Eine Funktion mit Term schreibt man $f(x)=2x+4$. Der Name der Funktion ist f; die rechte Seite ist der Funktionsterm, und $y=2x+4$ ist die Funktionsgleichung. Der Graph besteht aus allen Punkten $(x\mid f(x))$.

Für eine Stelle a setzt man a in den Term ein und erhält den Funktionswert f(a): $f(3)=2\cdot 3+4=10$. Das ist kein Produkt „f mal 3“, sondern „f an der Stelle 3“. Schreibt man mehrere Stellen untereinander – f(0) = 4, f(1) = 6, f(2) = 8 –, erhält man genau die Spalten der Wertetabelle.

Steht an der Stelle eine negative Zahl, gehört sie in eine Klammer. Für $g(x)=x^2-3$ ist $g(-2)=(-2{)}^2-3=4-3=1$. Ohne Klammer würde man −2² = −4 rechnen – und läge falsch.

Man kann auch rückwärts fragen: Zu welcher Stelle gehört der Funktionswert 10? Dann ist $2x+4=10$ zu lösen, und man erhält $x=3$. Gegeben ist der Funktionswert, gesucht die Stelle.

Nicht jeder Wert darf für x eingesetzt werden. Die Definitionsmenge D enthält alle erlaubten x-Werte; meist bestimmt sie der Sachzusammenhang. Eine Mietdauer ist nie negativ, also $D={\mathbb{R}}_0^{+}$. Brötchen zählt man ganz, also $D={\mathbb{N}}_0$. Steht nichts dabei, nimmt man die größte Menge, für die der Term einen Wert liefert – bei $f(x)=x^2$ ist das $D=\mathbb{R}$. Auch Höchstgrenzen zählen zum Sachzusammenhang: In einen Bus mit 50 Sitzplätzen steigen 0 bis 50 Fahrgäste, also $D=\{0,1,\dots ,50\}$.

Die Wertemenge W enthält alle y-Werte, die wirklich vorkommen. Für $f(x)=x^2$ mit $D=\mathbb{R}$ ist $W={\mathbb{R}}_0^{+}$, denn ein Quadrat ist nie negativ. W ist also nicht einfach „alle Zahlen“.

Am Graphen liest man beide ab: D steht auf der x-Achse, W auf der y-Achse – jeweils der „Schatten“ des Graphen. Die Definitionsmenge bestimmt sogar die Gestalt des Graphen: Für $D={\mathbb{N}}_0$ sind es einzelne Punkte, für $D={\mathbb{R}}_0^{+}$ eine durchgezogene Linie. Dieselbe Rechenvorschrift mit anderem D ist eine andere Funktion.

Gleichmäßige Änderung

Ein Tank fasst 6 m³ und verliert 1,5 m³ je Stunde: $V(x)=6-1,5x$. Wächst x um 1, ändert sich der Funktionswert jedes Mal um −1,5; diese Änderung heißt Zuwachs Δ. Gleicher Schritt in x, gleicher Zuwachs von V: Das ist typisch für Geraden. Man erkennt es an der Stufe zwischen zwei Punkten P und Q der Kurve, die überall gleich aussieht.

Steigen und fallen

Bei $f(x)=x^2$ ist es anders: Von 1 nach 2 wächst f um 3, von 2 nach 3 um 5, von 3 nach 4 um 7. Und links vom Ursprung sinkt f: von −3 nach −2 geht der Wert von 9 auf 4 zurück. Ob ein Graph steigt oder fällt, hängt vom Abschnitt ab. Wächst x, so muss f(x) nicht mitwachsen.

Wenn x sich verdoppelt

Verdoppelt man x, wird f(x) nicht automatisch doppelt so groß. Bei $p(x)=3x$ stimmt es: p(2) = 6, p(4) = 12. Bei $q(x)=x^2$ wird der Wert sogar vervierfacht: q(2) = 4, q(4) = 16. Und bei $h(x)=x+3$ wächst er nur von 5 auf 7. Von diesen Beispielen geht nur bei der Form $y=a\cdot x$ der Wert genau mit x mit – ein erster Hinweis auf die direkte Proportionalität. Dass ein Wert „schneller wächst“, sagt also noch nicht, dass er sich mit x verdoppelt.

Der Graph einer Funktion schneidet die Achsen an besonderen Stellen. Auf der y-Achse ist $x=0$; der Schnittpunkt ist also $S(0\mid f(0))$. Für $f(x)=2x-6$ ist $f(0)=-6$, also $S(0\mid -6)$.

Auf der x-Achse ist $y=0$. Die Stellen mit $f(x)=0$ heißen Nullstellen. Man löst $2x-6=0$ und erhält $x=3$. Die Nullstelle ist die Zahl 3, der Schnittpunkt der Punkt $N(3\mid 0)$. Auf jeder Achse steht eine 0 an der passenden Stelle: $(x\mid 0)$ liegt auf der x-Achse, $(0\mid y)$ auf der y-Achse.

In Sachaufgaben haben die Schnittpunkte eine Bedeutung. Eine Kerze brennt so ab: $h(x)=20-4x$ (x in Stunden, h in cm). Dann ist $h(0)=20$ die Höhe am Anfang – der Schnittpunkt mit der y-Achse – und die Nullstelle $x=5$ der Zeitpunkt, zu dem die Kerze abgebrannt ist.

Am Graphen zählt man die Schnittpunkte mit der x-Achse: Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben. Die Parabel zu $x^2-4$ hat zwei (−2 und 2), die zu $x^2+1$ keine – sie liegt ganz oberhalb der Achse.

Liegt der Punkt $P(2\mid 7)$ auf dem Graphen von $f(x)=2x+4$? Das entscheidet die Punktprobe: Man setzt die x-Koordinate ein und vergleicht das Ergebnis mit der y-Koordinate. Es ist $f(2)=8$, aber P hat die Höhe 7 – also liegt P nicht auf dem Graphen.

Der Vergleich sagt noch mehr: Ist die y-Koordinate kleiner als f(a), liegt der Punkt unterhalb des Graphen (7 < 8); ist sie größer, liegt er oberhalb. Stimmen beide überein, liegt er auf dem Graphen.

Dieselbe Rechnung ergänzt fehlende Koordinaten. Soll $Q(3\mid k)$ auf dem Graphen liegen, muss $k=f(3)=10$ sein. Ist dagegen die y-Koordinate gegeben, etwa $R(k\mid 10)$, löst man $f(k)=10$ und erhält $k=3$. Nur x und y dürfen nicht vertauscht werden: Der Punkt (3 | 10) liegt auf dem Graphen, aber (10 | 3) nicht – denn f(10) = 24, und der Punkt (10 | 3) liegt weit darunter.