Funktionenscharen und Stammfunktionen

Ein Parameter, viele Graphen

Die Funktion $f(x)=x^3-3x$ kennst du. Wir bauen einen weiteren Buchstaben ein:

$$f_a(x)=x^3-3a\cdot x$$

Das a heißt Parameter. Für $a=1$ ist $f_1(x)=x^3-3x$, für $a=2$ ist $f_2(x)=x^3-6x$: Jeder Wert von a gibt eine eigene Funktion, alle zusammen bilden die Funktionenschar $f_a$.

Die Variable bleibt x. Der Parameter ist für einen Graphen eine feste Zahl; erst beim Wechsel zum nächsten Graphen darf sie sich ändern. Beim Punkt P mit $x=1$ gilt $f_a(1)=1-3a$: Für $a=1$ liegt P bei −2, für $a=0$ bei 1.

Eine Schar ist also keine Funktion mit zwei Variablen, die man auf einmal zeichnet, sondern eine Familie von Funktionen: Man legt zuerst a fest und zeichnet dann. Erst dadurch bekommt jede Kurve eine eigene Gleichung, mit der man rechnen kann.

Wo der Parameter steht

Die Stelle von a im Term entscheidet über die Wirkung. Als Summand in $x^2+a$ verschiebt a die Parabel um a nach oben. Als Faktor in $a\cdot x^2$ streckt a sie; der Scheitel bleibt bei $(0\mid 0)$, bei $a<0$ wird sie zusätzlich gespiegelt. In der Klammer von $(x-a{)}^2$ verschiebt a den Scheitel nach $(a\mid 0)$, also nach rechts, obwohl ein Minus dasteht.

Ein Punkt des Graphen legt a fest: Liegt $P(2\mid 12)$ auf $a\cdot x^2$, gilt $4a=12$, also $a=3$.

Zum Erkennen hilft eine Testfrage: Wandert der Scheitel? Dann steht a als Summand oder in der Klammer. Wird nur die Öffnung enger oder weiter? Dann steht a als Faktor. Vorsicht bei der Klammer: $(x-a{)}^2$ verschiebt nach rechts; erst bei $(x+a{)}^2$ geht es nach links.

Nullstellen mit Parameter

Nullstellen berechnest du wie immer: $f_a(x)=0$ setzen und nach x lösen. Bei der Schar $f_a(x)=x^3-3ax$ klammerst du x aus:

$$x(x^2-3a)=0\Rightarrow x=0\text{oder}{x}^2=3a$$

Das Ergebnis enthält a: $x=\pm \sqrt{3a}$. Teile nicht durch x, sonst geht die Nullstelle 0 verloren.

Für $a>0$ gibt es drei Nullstellen: $-\sqrt{3a}$, 0 und $\sqrt{3a}$. Für $a=0$ fallen sie in 0 zusammen, für $a<0$ hat $x^2=3a$ keine reelle Lösung. Darum braucht man eine Fallunterscheidung nach dem Vorzeichen von a.

Probiere es für $a=3$: $x^2=9$ gibt $x=\pm 3$, die Nullstellen sind −3, 0 und 3. Für $a=-3$ wäre $x^2=-9$ unlösbar, es bliebe nur $x=0$. Das Ergebnis ist also ein Term, der mit a wächst: Je größer a, desto weiter liegen die äußeren Nullstellen auseinander.

Ein Punkt für alle Graphen

Manche Punkte liegen auf allen Graphen der Schar. Man findet sie an einer Stelle, an der a aus dem Funktionswert herausfällt. Bei $x=0$ ist $f_a(0)=0$ für jedes a: Alle Graphen gehen durch (0 | 0). Bei $x=1$ dagegen ist $f_a(1)=1-3a$; der Wert hängt von a ab, also ist (1 | −2) nur ein Punkt des Graphen zu $a=1$.

Zum Suchen setzt du eine Stelle x ein und prüfst, ob a im Ergebnis noch vorkommt.

Ein solcher Punkt bleibt auf seinem Platz, während sich der Rest der Kurve mit a verformt. Deshalb ist er ein guter Halt, wenn man eine Schar skizzieren will.

Der Parameter bleibt Konstante

Abgeleitet wird immer nach der Variablen x. Den Parameter a behandelst du dabei wie eine feste Zahl. In $f_a(x)=x^3-3ax$ ist $3a$ nur ein Zahlenfaktor vor x, wie die 6 in $x^3-6x$:

$$f_a^{\prime }(x)=3x^2-3a$$

Falsch wäre $(ax{)}^{\prime }=a+x$; das würde a wie eine zweite Variable ableiten.

Die Stelle von a entscheidet: Als Faktor bleibt a stehen, $(ax{)}^{\prime }=a$. Als Summand ohne x ist a eine Konstante und fällt weg, $(x^2+a{)}^{\prime }=2x$; ebenso $(x^3+a^2{)}^{\prime }=3x^2$, nicht $3x^2+2a$.

Zur Kontrolle setze eine Zahl ein: Für $a=2$ ist $f_2(x)=x^3-6x$ mit der Ableitung $3x^2-6$, und das ist genau $f_a^{\prime }(x)$ für a = 2. Der Parameter verhält sich beim Ableiten wie die 6 in $x^3-6x$.

Die Steigung an einer Stelle

Setzt du in $f_a^{\prime }(x)$ eine Stelle ein, erhältst du die Steigung von $f_a$ dort, als Term in a:

$$f_a^{\prime }(1)=3\cdot 1^2-3a=3-3a$$

Für $a=0$ ist die Steigung 3, für $a=2$ ist sie −3. Eine Bedingung an die Steigung legt a fest: Soll die Tangente bei $x=1$ waagerecht sein, muss $3-3a=0$ gelten, also $a=1$.

Wichtig ist die Reihenfolge: erst ableiten, dann die Stelle einsetzen. Aus $f_a^{\prime }(1)=3-3a$ liest du außerdem ab: Wächst a um 1, sinkt die Steigung bei x = 1 um 3.

Extremstellen in Abhängigkeit von a

Eine Extremstelle braucht die Steigung 0, also $f_a^{\prime }(x)=0$. Aus $f_a^{\prime }(x)=3x^2-3a$ folgt $x^2=a$ und damit

$$x=-\sqrt{a}\text{oder}x=\sqrt{a}$$

Die Art liefert $f_a^{\prime \prime }(x)=6x$: bei $x=\sqrt{a}$ positiv (Tiefpunkt), bei $x=-\sqrt{a}$ negativ (Hochpunkt).

Den y-Wert setzt du in f_a ein, nicht in die Ableitung: $f_a(\sqrt{a})=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}=-2a\sqrt{a}$. Also H(−√a | 2a√a) und T(√a | −2a√a). Für $a=4$ sind das H(−2 | 16) und T(2 | −16).

Kontrolliere mit einem Wert: Für $a=1$ liegen die Extremstellen bei ±1, für $a=4$ bei ±2, für $a=9$ bei ±3. Die Extrempunkte rücken also mit wachsendem a nach außen und von der x-Achse weg.

Wenn es keine Extrempunkte gibt

Die Gleichung $x^2=a$ hat nur für $a>0$ zwei Lösungen. Für $a<0$ ist $f_a^{\prime }(x)=3x^2-3a$ überall positiv: Der Graph steigt ohne waagerechte Tangente, es gibt keinen Extrempunkt.

Für $a=0$ ist $f_0^{\prime }(0)=0$, doch die Steigung wechselt nicht ihr Vorzeichen: Auch dort liegt kein Extrempunkt. Die Antwort lautet daher: Extrempunkte gibt es nur für $a>0$.

Eine Fallunterscheidung ist deshalb kein Zusatz, sondern Teil der Antwort: Sie sagt, für welche a die Frage überhaupt eine Lösung hat. Schreibe daher immer dazu, ob a positiv, null oder negativ ist.

Höhe wird Steigung

Bisher ging es von f zur Ableitung $f^{\prime }$. Jetzt fragen wir umgekehrt: Zu einer gegebenen Funktion f suchen wir eine Funktion F mit $F^{\prime }=f$. Sie heißt Stammfunktion. Der Schlüssel: Die Höhe des Graphen von f ist die Steigung von F.

Liegt f über der x-Achse, steigt F; liegt f darunter, fällt F. Beispiel $f(x)=x^2-1$ mit $F(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x$: Bei $x=0,5$ ist $f(0,5)=-0,75$, also fällt F dort mit der Steigung −0,75. Die Höhe von F selbst liest du an f nicht ab.

Am Graphen von f liest du F also Stück für Stück ab: Wo f groß und positiv ist, steigt F steil; wo f nahe 0 liegt, verläuft F fast waagerecht.

Nullstellen von f

Wo f eine Nullstelle hat, ist $F^{\prime }=0$: F hat eine waagerechte Tangente. Wechselt f dort sein Vorzeichen, hat F einen Extrempunkt: von + nach − einen Hochpunkt, von − nach + einen Tiefpunkt.

Berührt f die x-Achse nur, ohne das Vorzeichen zu wechseln, steigt F auf beiden Seiten weiter: waagerechte Tangente, aber kein Extrempunkt. Bei $f(x)=x(x-2{)}^2$ wechselt f bei 0 von − nach +, F hat dort einen Tiefpunkt T. Bei 2 berührt f nur: F hat in S eine waagerechte Tangente und steigt weiter.

Die Begründung ist immer dieselbe: Sieh auf das Vorzeichen von f links und rechts der Nullstelle. Beim Wechsel von + nach − schlägt das Steigen von F in Fallen um.

Viele Stammfunktionen

Verschiebst du F nach oben oder unten, ändern sich die Steigungen nicht. Mit F ist auch $F+C$ eine Stammfunktion von f. Zu f gehört also eine ganze Schar $F_C(x)=\frac{1}{3}{x}^3-x+C$: Die Form liegt fest, die Höhe nicht. Dass F immer mit C geschrieben wird, ist deshalb keine Formalität.

Man erzeugt die Stammfunktionen durch Verschieben, nicht durch Strecken: Zwei Graphen, die sich um einen Faktor unterscheiden, haben verschiedene Steigungen und gehören zu verschiedenen Funktionen f. Bei $C=2$ liegt jeder Punkt von F um 2 höher, doch die Tangente bei x = 0,5 hat weiter die Steigung −0,75.

Die Potenzregel rückwärts

Beim Ableiten wird aus $x^n$ der Term $n{x}^{n-1}$. Aufleiten kehrt beide Schritte um: Der Exponent wird um 1 erhöht, und dann wird durch den neuen Exponenten geteilt:

$$f(x)=x^n\Rightarrow F(x)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

Aus $x^2$ wird $\frac{1}{3}{x}^3$, denn $(\frac{1}{3}{x}^3{)}^{\prime }=x^2$. Geteilt wird durch 3, nicht durch die alte Hochzahl 2. Auch $f(x)=x=x^1$ gehört dazu: $F(x)=\frac{1}{2}{x}^2$.

Zum Prüfen bedienst du den Regler: Bei jedem n ist die Steigung von F an einer Stelle genau der Wert von f dort. Der Nenner $n+1$ sorgt dafür, dass beim Ableiten der Faktor $n+1$ wieder verschwindet.

Faktor, Summe und Probe

Ein Faktor bleibt stehen, eine Summe wird Glied für Glied aufgeleitet. Für $f(x)=4x^3-6x+5$ ergibt sich $4x^3\to x^4$, $-6x\to -3x^2$ und $5\to 5x$, denn die Konstante ist $5x^0$. Also

$$F(x)=x^4-3x^2+5x$$

Die Probe ist das Ableiten von F: $F^{\prime }(x)=4x^3-6x+5=f(x)$. Stimmt das, ist F eine Stammfunktion; jeder Fehler beim Teilen fällt sofort auf.

Die Probe entlarvt auch den Fehler „die Konstante bleibt Konstante“: Bei $F(x)=x^4-3x^2+5$ wäre $F^{\prime }(x)=4x^3-6x$ ohne das +5, also nicht f.

Ein Punkt legt C fest

Alle Stammfunktionen von $f(x)=3x^2-3$ haben die Form

$$F(x)=x^3-3x+C$$

Zwei von ihnen unterscheiden sich nur um eine Konstante. Verlangt man zusätzlich, dass der Graph durch P(2 | 3) geht, bleibt genau eine übrig. Man setzt P in F ein: $F(2)=8-6+C=3$, also $C=1$.

In f darfst du P nicht einsetzen: $f(2)=9$ ist eine Steigung, keine Höhe. Probe: $F(2)=8-6+1=3$.

Anschaulich sind alle Stammfunktionen dieselbe Kurve auf verschiedenen Höhen. Ein einziger Punkt reicht, um die Höhe festzulegen; ohne Punkt bleibt C offen.

Vom Tempo zur Strecke

Kennt man nur eine Änderungsrate, rekonstruiert man den Bestand. Ein Wagen fährt mit $v(t)=3t^2+2$ (Meter pro Sekunde). Eine Stammfunktion ist $s(t)=t^3+2t+C$; C ist der Anfangsbestand. Liegt der Wagen bei $t=0$ schon bei 4 m, gilt $s(0)=C=4$, also

$$s(t)=t^3+2t+4s(2)=8+4+4=16$$

Die Geschwindigkeit allein bestimmt die Strecke nicht; erst der Anfangswert legt C fest.

Das ist die Grundidee der Rekonstruktion: Aus Änderungen lässt sich der Bestand nur gewinnen, wenn man weiß, wo man angefangen hat. Beim Wasserbecken ist es der Füllstand zu Beginn, beim Auto der Kilometerstand.