Geraden und Ebenen im Raum

Stützvektor und Richtung

Eine Drohne startet im Punkt A(1 | 0 | 1) und fliegt in die feste Richtung u = (1; 2; 1). Nach λ Zeiteinheiten ist sie bei

$$\vec{X}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$

Das ist die Parameterform der Geraden g. Der Ortsvektor von A heißt Stützvektor, u Richtungsvektor, λ ∈ ℝ Parameter. Jedes λ liefert genau einen Punkt: λ = 0 den Start A, λ = 2 den Punkt (3 | 4 | 3), λ = −1 einen Punkt hinter dem Start. Die Gerade reicht in beide Richtungen unendlich weit.

Gerade durch zwei Punkte

Oft kennt man zwei Punkte, etwa A(1 | 0 | 1) und B(3 | 4 | 3). Der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}=(2;4;2)$ zeigt von A nach B und ist damit ein Richtungsvektor: $g:\vec{X}=\vec{A}+\lambda \cdot \overrightarrow{AB}$. Die Reihenfolge ist frei: BA = −AB liefert dieselbe Gerade, nur in der Gegenrichtung durchlaufen.

Die Gleichung einer Geraden ist nicht eindeutig. Als Stützvektor passt jeder Punkt der Geraden, als Richtungsvektor jedes Vielfache ungleich null, auch (1; 2; 1) oder (−1; −2; −1). Alle diese Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.

Die Punktprobe

Liegt P(4 | 6 | 4) auf g? Man setzt (4; 6; 4) = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) an und erhält drei Gleichungen: 4 = 1 + λ, 6 = 2λ, 4 = 1 + λ. Jede liefert λ = 3, also liegt P auf g. Bei Q(3 | 4 | 2) verlangt die erste Zeile λ = 2, die dritte λ = 1: kein gemeinsames λ, Q liegt nicht auf g.

Das Schrägbild kann täuschen: Ein Punkt scheint auf der Geraden zu liegen und schwebt doch davor oder dahinter. Es entscheidet die Rechnung.

Vielfache und Parallelität

Zwei Vektoren u und v heißen linear abhängig, wenn einer ein Vielfaches des anderen ist: $\vec{v}=k\cdot \vec{u}$. Ihre Pfeile liegen dann auf einer gemeinsamen Geraden. Ein Vektor und sein Gegenvektor sind abhängig (k = −1), der Nullvektor ist es zu jedem Vektor. Für $\vec{u}=(1;2;1)$ und $\vec{v}=(-2;-4;-2)$ gilt $k=-2$: Jede Zeile hat denselben Faktor.

Bei Vektoren ungleich dem Nullvektor muss in einer Zeile mit einer 0 auch die andere Zahl 0 sein: (1; 0; 2) und (3; 1; 6) sind unabhängig, obwohl 3 : 1 und 6 : 2 übereinstimmen. Ist kein Vielfaches möglich, heißen die Vektoren linear unabhängig.

Ebene und Linearkombination

Drei Vektoren sind linear abhängig, wenn sich einer als Linearkombination der anderen schreiben lässt: w = r·u + s·v. Dann liegen alle drei Pfeile in einer Ebene, sie sind komplanar. Für u = (1; 0; 1), v = (0; 1; 1) und w = (2; 3; 5) liefert der Ansatz drei Gleichungen: 2 = r, 3 = s, 5 = r + s. Die ersten beiden legen r = 2 und s = 3 fest, die dritte stimmt: w = 2·u + 3·v.

Stimmt die dritte Zeile nicht, ragt w aus der Ebene von u und v heraus. Dann sind die drei Vektoren unabhängig und spannen den ganzen Raum auf. Kein Vielfaches zu sein reicht also nicht: w = u + v ist keines von beiden und doch abhängig.

Die zweite Drohne fliegt auf h: X = B + μ·v, die erste auf g: X = A + λ·u. Sind die Bahnen parallel? Das entscheiden die Richtungsvektoren: Sind u und v linear abhängig, gilt g ∥ h oder g = h, sonst sind g und h nicht parallel. Für u = (1; 2; 1) und v = (2; 4; 2) ist v = 2·u.

Ob die Geraden verschieden oder identisch sind, klärt die Punktprobe: Liegt der Stützpunkt B von h auf g? Für B(0 | −2 | 0) passt λ = −1 in allen Zeilen, also g = h. Für B(0 | −2 | 1) stimmt die dritte Zeile nicht: g und h sind echt parallel und haben keinen Punkt gemeinsam.

Eine Parallele zu g durch einen Punkt P baut man selbst: Stützvektor ist P, Richtungsvektor der von g.

Gleichsetzen

Sind g und h nicht parallel, bleibt eine Frage: Haben sie einen gemeinsamen Punkt? Für g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 1) und h: X = (3; 0; 3) + μ·(0; 1; 0) setzt man gleich. Jede Gerade bekommt ihren eigenen Parameter: 1 + λ = 3, 2λ = μ, 1 + λ = 3. Das sind drei Gleichungen für zwei Unbekannte. Die erste liefert λ = 2, die zweite μ = 4, die dritte bestätigt λ = 2. Setzt man λ = 2 in g ein, erhält man den Schnittpunkt S(3 | 4 | 3); zur Probe gibt μ = 4 in h denselben Punkt. λ und μ dürfen verschieden sein.

Windschief

Ändert man den Stützvektor von h zu (3; 0; 2), lautet die dritte Zeile 1 + λ = 2, also λ = 1, während die erste λ = 2 verlangt. Der Widerspruch zeigt: kein Schnittpunkt. Sind die Richtungsvektoren dazu keine Vielfachen, heißen g und h windschief. Windschiefe Geraden liegen in keiner gemeinsamen Ebene, das gibt es nur im Raum. Das Standardbeispiel sind zwei Kanten eines Quaders, die sich nicht treffen und nicht parallel sind.

So klärt man die Lage: Richtungsvektoren vergleichen. Vielfache: Punktprobe, dann identisch oder echt parallel. Keine Vielfachen: Gleichsetzen, dann schneidend oder windschief.

Stützvektor und zwei Spannvektoren

Eine Ebene braucht einen Punkt und zwei Richtungen. Ist A ein Punkt der Ebene und sind u, v zwei nicht parallele Vektoren, dann ist

$$E:\vec{X}=\vec{A}+\lambda \cdot \vec{u}+\mu \cdot \vec{v}$$

die Parameterform der Ebene, u und v heißen Spannvektoren. Für A(2 | 0 | 0), u = (−1; 1; 0) und v = (−1; 0; 2) gehört zu (λ | μ) = (1 | 1) der Punkt (0 | 1 | 2). Jedes Paar (λ | μ) liefert genau einen Punkt der Ebene, und jeder Punkt der Ebene gehört zu genau einem Paar. Wären u und v linear abhängig, entstünde nur eine Gerade.

Ebene durch drei Punkte

Das Sonnensegel hängt an S₁(2 | 0 | 0), S₂(0 | 2 | 0) und S₃(0 | 0 | 4). Man wählt einen Punkt als Stützpunkt und bildet die Verbindungsvektoren zu den beiden anderen: $E:\vec{X}=\overrightarrow{S_1}+\lambda \cdot \overrightarrow{S_1{S}_2}+\mu \cdot \overrightarrow{S_1{S}_3}$ mit (−2; 2; 0) und (−2; 0; 4). Das sind doppelt so lange Spannvektoren wie oben, dieselbe Ebene. Welchen der drei Punkte man als Stützpunkt nimmt, ist gleichgültig. Es geht nur, wenn die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.

Die Punktprobe

Liegt P(0 | 1 | 2) im Segel? Man setzt (0; 1; 2) = (2; 0; 0) + λ·(−1; 1; 0) + μ·(−1; 0; 2) an: 0 = 2 − λ − μ, 1 = λ, 2 = 2μ. Die zweite und dritte Zeile geben λ = 1 und μ = 1, die erste stimmt: P liegt in E. Für R(1 | 1 | 2) folgt ebenfalls λ = 1 und μ = 1, aber 1 ≠ 0: R liegt nicht in E. Auch hier täuscht das Schrägbild: Ein Punkt kann im Segel zu liegen scheinen und davor oder dahinter schweben.

Der Normalenvektor

Kürzer als mit zwei Spannvektoren beschreibt man eine Ebene mit einem Vektor n, der senkrecht auf ihr steht, dem Normalenvektor. Er muss auf beiden Spannvektoren senkrecht stehen: $\vec{n}\cdot \vec{u}=0$ und $\vec{n}\cdot \vec{v}=0$. Das Vektorprodukt liefert ihn sofort: Für u = (−1; 1; 0) und v = (−1; 0; 2) ist u × v = (2; 2; 1). Probe: n·u = −2 + 2 = 0 und n·v = −2 + 2 = 0. Jedes Vielfache von n ist ebenfalls ein Normalenvektor. Weil n auf jedem Vektor der Ebene senkrecht steht, ist er für Winkel und Abstände besonders nützlich.

Die Normalenform

Ein Punkt X liegt genau dann in der Ebene durch A, wenn der Vektor AX in der Ebene liegt, also senkrecht auf n steht. Das ist die Normalenform $E:\vec{n}\cdot (\vec{X}-\vec{A})=0$. Für n = (2; 2; 1) und A(2 | 0 | 0) lautet sie (2; 2; 1)·(X − (2; 0; 0)) = 0. Für X(0 | 1 | 2) ist AX = (−2; 1; 2) und das Skalarprodukt −4 + 2 + 2 = 0: X liegt in E. Ist das Skalarprodukt nicht 0, liegt X nicht in E.

Die Koordinatenform

Multipliziert man die Normalenform aus, entsteht n·X = n·A. Mit d = n·A ergibt das die Koordinatenform $n_1{x}_1+n_2{x}_2+n_3{x}_3=d$. Für das Segel: d = 2·2 + 2·0 + 1·0 = 4, also 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4. Die Koeffizienten sind die Komponenten von n und lassen sich direkt ablesen; d hängt vom Stützpunkt ab.

Die Punktprobe geht damit in einer Zeile: Für P(0 | 1 | 2) gilt 0 + 2 + 2 = 4, P liegt in E. Für R(1 | 1 | 2) ist die linke Seite 6, R liegt nicht in E.

Besondere Lage aus der Gleichung

Fehlt in der Koordinatenform eine Koordinate, ist der Normalenvektor n in dieser Richtung 0: Er steht senkrecht auf der zugehörigen Achse, die Ebene ist zu dieser Achse parallel. So ist 2x₂ + x₃ = 4 parallel zur x₁-Achse. Fehlen zwei Koordinaten, ist die Ebene zu einer Koordinatenebene parallel: x₃ = 3 liegt waagerecht über dem Boden, parallel zur x₁x₂-Ebene. Ist d = 0, geht die Ebene durch den Ursprung; fehlt dabei eine Koordinate, enthält sie die zugehörige Achse. Ein Vielfaches der Gleichung beschreibt dieselbe Ebene: 4x₂ + 2x₃ = 8 ist 2x₂ + x₃ = 4.

Spurpunkte

Die Punkte, in denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet, heißen Spurpunkte. Auf der x₁-Achse sind x₂ = x₃ = 0: Aus 2x₁ + 2x₂ + x₃ = 4 folgt 2x₁ = 4, also S₁(2 | 0 | 0). Ebenso S₂(0 | 2 | 0) und S₃(0 | 0 | 4): die drei Befestigungspunkte des Segels.

Umgekehrt findet man die Gleichung aus den Spurpunkten: Für S₁(a | 0 | 0), S₂(0 | b | 0), S₃(0 | 0 | c) gilt x₁/a + x₂/b + x₃/c = 1; mit dem Hauptnenner multipliziert entsteht die Koordinatenform. Das Dreieck der Spurpunkte gibt ein gutes Bild der Ebene. Bei einer Ebene parallel zu einer Achse fehlt der zugehörige Spurpunkt.