Größen und ihre Einheiten

Maßzahl und Einheit

Am Wandertag misst Jule den Weg zur Bushaltestelle mit ihren Schritten: 30 Schritte. Eine Größenangabe hat zwei Teile, die Maßzahl (30) und die Einheit (1 Schritt). Messen heißt vergleichen: Die Maßzahl sagt, wie oft die Einheit in die Größe hineinpasst.

$$\text{Gro¨ße}=\text{Maßzahl}\cdot \text{Einheit}$$

Nimmt man eine andere Einheit, ändert sich die Maßzahl, nicht die Länge: Eine halb so große Einheit passt doppelt so oft hinein. Ein Streifen von 60 cm Länge braucht 12 Blöcke zu 5 cm, aber 30 Blöcke zu 2 cm: 12 · 5 cm = 30 · 2 cm = 60 cm. Die Größe ist dieselbe, nur die Maßzahl hängt von der gewählten Einheit ab.

Am Lineal ablesen

Liegt der Anfang eines Gegenstands nicht bei 0, ist die rechte Marke nicht seine Länge. Ein Bleistift zwischen den Marken 2 cm und 8 cm ist 8 cm − 2 cm = 6 cm lang. Man legt ihn an den Nullpunkt an oder zieht die Marken voneinander ab. Auch das ist Vergleichen: Die Länge des Stifts wird mit den Zentimeter-Einheiten des Lineals verglichen.

Größen vergleicht man nur in derselben Einheit. 5 dm sind länger als 45 cm, obwohl die Maßzahl 45 größer ist als 5: Erst 5 dm = 50 cm umwandeln, dann vergleichen.

Von Kilometer bis Millimeter

Der Wanderweg ist auf dem Schild 4 km lang. Die Längeneinheiten bauen aufeinander auf:

$$1\text{km}=1000\text{m},1\text{m}=100\text{cm},1\text{dm}=10\text{cm},1\text{cm}=10\text{mm}$$

Nicht jede Stufe ist „mal 10“: Von km zu m sind es 1000, von m zu cm 100, von cm zu mm 10. Beim Umrechnen fragt man, wie viele Stücke der neuen Einheit hineinpassen. Von einer großen in eine kleine Einheit braucht man mehr Stücke, also malnehmen: 4 km = 4 · 1000 m = 4000 m. Von einer kleinen in eine große Einheit braucht man weniger, also teilen: 350 cm : 100 = 3,5 m.

Das Komma in der Tafel

In der Einheitentafel steht jede Ziffer in einer Spalte. Bei 2 m 74 cm steht die 2 in der Spalte m, die 7 in dm und die 4 in cm. Will man in Metern ablesen, setzt man das Komma hinter die Einer-Stelle der Spalte m: 2,74 m. Das Komma trennt nicht zwei Zahlen: 2,7 m sind 2 m 70 cm, nicht 2 m 7 cm. Bleibt eine Spalte leer, steht dort eine 0: 4 m 8 cm sind 4,08 m, weil die dm-Spalte leer bleibt.

Liest man dieselbe Länge in cm ab, wandert das Komma hinter die Spalte cm: 2,74 m = 274 cm.

Masse und Geld

Für den Wandertag packt Jule den Rucksack: Brotzeit, Wasser und 5 € Taschengeld. Bei der Masse gilt: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g und 1 g = 1000 mg. Jede Stufe ist mal 1000. Die Einheitentafel hat deshalb für jede Einheit drei Spalten: 3 kg 40 g werden zu 3,040 kg = 3,04 kg. Auch hier wandert das Komma mit der Einheit: 2,5 t = 2500 kg.

Beim Geld sind es 1 € = 100 ct, also nur zwei Stellen hinter dem Komma. 12 € 5 ct sind 12,05 €, nicht 12,5 €. Euro und Cent bilden eine einzige Zahl: 470 ct = 4 € 70 ct = 4,70 €.

Zeit ist anders

Bei der Zeit gibt es kein „mal 10“ oder „mal 100“: 1 h = 60 min und 1 min = 60 s. Also 2 h = 2 · 60 min = 120 min und 3 min = 3 · 60 s = 180 s. Der Bus fährt um 7:50 Uhr ab und ist um 9:20 Uhr da: bis 8:00 Uhr sind es 10 min, bis 9:00 Uhr 1 h, dazu 20 min, zusammen 1 h 30 min.

Achtung: 1 h 30 min sind 60 min + 30 min = 90 min, aber nicht 1,30 h. Hinter der Stunde steht die Anzahl der Minuten, keine Dezimalzahl. Als Dezimalzahl sind es 1,5 h, denn 30 min sind eine halbe Stunde.

Addieren und Vervielfachen

Für die Fahne am Wandertag hat Jule 2 m Schnur und bekommt 35 cm dazu. Größen addiert man nur mit gleicher Einheit: erst gleichnamig machen, 200 cm + 35 cm = 235 cm. Die Maßzahlen werden addiert, die Einheit bleibt: 3 m + 4 m = (3 + 4) m = 7 m. Beim Subtrahieren ist es genauso. Bei Zeitspannen rechnet man am sichersten in Minuten: 1 h 20 min + 50 min = 80 min + 50 min = 130 min = 2 h 10 min.

Beim Vervielfachen wird die Maßzahl mit einer Zahl multipliziert und die Einheit bleibt: 4 Stücke zu je 35 cm sind 4 · 35 cm = 140 cm. Es entsteht keine neue Einheit wie m².

Teilen und Enthalten

Teilt man eine Größe durch eine Zahl, kommt wieder eine Größe heraus: Ein 3 m langes Band in 4 gleiche Stücke geteilt, gibt 300 cm : 4 = 75 cm. Man wandelt in die kleinere Einheit um, damit die Division aufgeht. Bei Geld ebenso: 3,60 € : 4 = 360 ct : 4 = 90 ct.

Fragt man dagegen, wie oft eine Größe in einer anderen enthalten ist, teilt man Größe durch Größe: 200 cm : 25 cm = 8. Die Einheit kürzt sich weg, das Ergebnis ist eine Zahl: 25 cm passt 8-mal in 2 m. Vorher müssen beide Größen dieselbe Einheit haben. Die Probe zeigt es: 8 · 25 cm = 200 cm.

Bezugsgrößen kennen

Wie hoch ist der Kirchturm im Dorf? Schätzen heißt nicht raten, sondern mit etwas Bekanntem vergleichen. Solche Bezugsgrößen (Stützpunkte) kennt jeder aus dem Alltag: Eine Zimmertür ist etwa 2 m hoch, ein Stockwerk etwa 3 m, ein Schritt etwa 60 cm. Eine Zuckerpackung wiegt 1 kg, eine Schulstunde dauert 45 min. Ein Hühnerei wiegt etwa 60 g, ein Kasten Wasser etwa 15 kg, und ein Fußballfeld ist etwa 100 m lang.

Eine Zahl allein ist keine Schätzung: Zu jeder Schätzung gehört die Einheit. „Der Turm ist 40“ hilft nicht, „etwa 40 m“ schon.

Schätzen und prüfen

Ist die Bezugsgröße bekannt, zählt man, wie oft sie hineinpasst, und multipliziert: Ist der Turm so hoch wie 8 Menschen übereinander (jeder etwa 1,80 m), dann ist er etwa 8 · 1,80 m ≈ 14 m hoch. Die Anzahl ist keine Höhe: Wer „8 m“ schreibt, hat die Bezugsgröße vergessen.

Vor der Antwort prüft man das Ergebnis mit einem Überschlag. 25 Kinder trinken je 0,3 l Wasser. Wegen 25 · 0,3 l ≈ 30 · 0,3 l = 9 l, also knapp 10 l, wären 75 l viel zu viel: Das Komma ist verrutscht. Schreibe auf, womit du gerechnet hast, damit andere es nachvollziehen können. Bei Zweifeln kann man die Bezugsgröße nachschlagen.

Die Verhältnistabelle

Die 5b kauft Saft für den Wandertag: 2 l kosten 3 €. Was kosten 10 l? Man schreibt Menge und Preis in eine Verhältnistabelle untereinander. 10 l sind das 5-Fache von 2 l. Also nimmt man in beiden Zeilen mit demselben Faktor mal: 3 € · 5 = 15 €. Ebenso beim Teilen.

Nie addiert man in beiden Zeilen dieselbe Zahl: Aus 2 l + 8 l = 10 l folgt nicht 3 € + 8 € = 11 €.

Über die Einheit

Manchmal führt kein einfacher Faktor zum Ziel. Dann geht man über die Einheit: 4 Eintrittskarten kosten 10 €. Erst auf 1 Karte schließen (teilen), 10 € : 4 = 2,50 €, dann auf die gesuchte Menge (malnehmen): 7 Karten kosten 7 · 2,50 € = 17,50 €. Das darf man, weil jede Karte gleich viel kostet. Diese drei Schritte (gegeben, auf 1, gesucht) heißen Dreisatz.

Proportional?

Die Tabelle darf man nur benutzen, wenn doppelt so viel Menge auch doppelt so viel Preis ergibt, wenn also der Preis für 1 kg gleich bleibt. Bei Nüssen zu 3 € je kg stimmt das: 1 kg kostet 3 €, 2 kg kosten 6 €, 3 kg kosten 9 €. Teilt man den Preis durch die Menge, kommt jedes Mal 3 € heraus. Beim Wachsen dagegen nicht: Ein Kirschbaum ist mit 3 Jahren 2 m hoch, mit 30 Jahren aber nicht 20 m.

Den Maßstab lesen

Auf der Wanderkarte des Wandertags steht der Maßstab 1 : 10 000. Das heißt: 1 cm auf der Karte entspricht 10 000 cm in Wirklichkeit, also 100 m. Vor dem Doppelpunkt steht die Zeichnung, dahinter die Wirklichkeit, und auf beiden Seiten ist es dieselbe Einheit. Je größer die Zahl hinter dem Doppelpunkt, desto stärker ist verkleinert: Bei 1 : 200 wird eine Wand zehnmal so lang gezeichnet wie bei 1 : 2000.

Vergrößerungen schreibt man umgekehrt: Bei 5 : 1 ist die Zeichnung 5-mal so groß wie das Original. Eine Maßstabsleiste zeigt den Maßstab auch als Strecke.

Karte und Wirklichkeit

Von der Karte in die Wirklichkeit rechnet man mal n, dann wandelt man in eine passende Einheit um. Bei 1 : 20 000 sind 4 cm auf der Karte 4 cm · 20 000 = 80 000 cm = 800 m in Wirklichkeit. Umgekehrt rechnet man durch n: 600 m = 60 000 cm, und 60 000 cm : 20 000 = 3 cm auf der Karte.

Der Maßstab ist eine Verhältnistabelle mit der ersten Spalte 1 cm | n cm. Man wählt die Einheit, die zur Aufgabe passt: cm auf der Karte, m oder km in Wirklichkeit.