Zufall und Laplace-Wahrscheinlichkeit

Ergebnis und Ergebnismenge

Nimm einen Würfel und wirf ihn. Sag vor jedem Wurf voraus, welche Zahl kommt, und prüfe, wie oft du richtig liegst.

Einen einzelnen Wurf kann niemand vorhersagen, und doch läuft jeder Wurf unter denselben Bedingungen ab. Genau das macht den Würfel zu einem Zufallsexperiment.

Ein Zufallsexperiment lässt sich unter gleichen Bedingungen wiederholen, und sein Ausgang steht vorher nicht fest: Würfeln, eine Kugel ziehen, ein Glücksrad drehen. Ein deterministischer Vorgang hat einen festen Ausgang, etwa 12 cm Stoff um 5 cm kürzen. Nicht zu wissen, was herauskommt, macht einen Vorgang noch nicht zufällig: Die Hauptstadt von Australien zu raten ist kein Zufallsexperiment, die Antwort steht ja fest.

Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge $\Omega$, jedes Ergebnis kommt darin genau einmal vor. Beim Rad mit vier gleichen Feldern ist $\Omega =\{\text{Rot},\text{Blau},\text{Gru¨n},\text{Gelb}\}$. Was ein Ergebnis ist, hängt davon ab, was du notierst: die Farbe oder die Nummer des Feldes. Bei zwei Münzwürfen sind Kopf-dann-Zahl und Zahl-dann-Kopf zwei verschiedene Ergebnisse.

Das Ereignis

Oft zählt nicht ein einzelnes Ergebnis, sondern eine Gruppe von Ergebnissen. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Beim Würfeln ist „gerade Zahl“ das Ereignis $E=\{2,4,6\}$. Es tritt ein, sobald eines seiner Ergebnisse fällt – die 4 genügt.

Zwei Würfel haben 36 Ergebnisse, nämlich die Paare (1. Würfel | 2. Würfel). Das Ereignis „Augensumme s“ besteht aus allen Paaren mit dieser Summe. Stelle s ein: Die gefärbten Punkte sind die Ergebnisse des Ereignisses.

Manchmal ist es einfacher zu fragen, was nicht passieren soll. Das Gegenereignis $\overline{E}$ („E quer“) eines Ereignisses E enthält alle Ergebnisse von $\Omega$, die nicht in E liegen. Beide überschneiden sich nie, und zusammen ergeben sie ganz $\Omega$. Beim Würfel ist $E=\{5,6\}$ und $\overline{E}=\{1,2,3,4\}$. Wer weiß, was E enthält, kennt damit auch Ē – und umgekehrt.

Mit $|E|$ bezeichnen wir die Anzahl der Ergebnisse von E. Weil E und Ē zusammen genau Ω füllen, gilt (beim Würfel mit E = {5, 6}: 6 − 2 = 4)

$$|\overline{E}|=|\Omega |-|E|$$

Vorsicht bei Wörtern. Das Gegenereignis ist nicht das „Gegenteil-Wort“, sondern das, was bei E nicht eintritt – ohne die Grenze zu verlieren. Zu „mehr als 3“ gehört „höchstens 3“, nicht „weniger als 3“, sonst fiele die 3 heraus. Zu „mindestens einmal Kopf“ gehört „keinmal Kopf“, nicht „mindestens einmal Zahl“. Und oft ist Ē kürzer zu zählen: Zu „Augensumme mindestens 4“ gehören 33 Paare, zum Gegenereignis „höchstens 3“ nur drei.

Absolut und relativ

Wie oft fällt die Sechs? Wirf zehnmal, dann hundertmal, und beobachte die orange Linie. Sie zeigt nach jedem Wurf, welcher Anteil aller bisherigen Würfe eine Sechs war.

Die Linie zeigt einen Anteil: die Sechsen, geteilt durch alle Würfe. Für die Zahl der Sechsen und für diesen Anteil gibt es zwei Fachwörter.

Ein Zufallsexperiment wird n-mal wiederholt, das Ereignis E tritt dabei H-mal ein. Dann ist H die absolute Häufigkeit von E, und der Anteil

$$h(E)=\frac{H}{n}$$

ist die relative Häufigkeit. Sie liegt zwischen 0 und 1 und lässt sich als Prozentsatz schreiben. Julia trifft bei 12 Freiwürfen 7-mal, Ben bei 8 Würfen 5-mal. Julia hat mehr Treffer, doch ihre Serie ist länger. Serien verschiedener Länge vergleicht man mit der relativen Häufigkeit: 7/12 ≈ 0,58 gegen 5/8 = 0,625 – Ben ist besser. Jeder Versuch liefert genau ein Ergebnis, deshalb ergeben die relativen Häufigkeiten aller Ergebnisse zusammen 1, und es gilt $h(\overline{E})=1-h(E)$.

Die Tabelle rechnet mit

Eigene Versuche mit Würfel oder Rad – oder simulierte – trägt man in eine Tabellenkalkulation ein. In Spalte B stehen die absoluten Häufigkeiten von 60 Würfelwürfen, in B8 die Summe n = 60. Die Formel in C2 lautet =B2/$B$8. Beim Kopieren nach unten wandert der relative Zellbezug B2 mit (B3, B4, …), der absolute Zellbezug $B$8 bleibt stehen: Jede Zeile wird durch dieselbe Summe geteilt. Ohne Dollarzeichen wanderte auch der Nenner nach B9, B10, … – und dort ist nichts. Die Werte in Spalte C sind Anteile; sie ergeben zusammen 1.

Serien beruhigen sich

Zwei Kinder werfen je eine Münze und notieren nach jeweils 25 Würfen die relative Häufigkeit von Kopf: Serie A und Serie B. Bei wenigen Würfen springen die Werte, bei vielen liegen sie dicht bei 0,5. Das ist das empirische Gesetz der großen Zahlen: Mit wachsender Zahl der Versuche pendelt sich die relative Häufigkeit eines Ereignisses um einen festen Wert ein. Kurze Serien sagen wenig – 8-mal Kopf in 10 Würfen zeigt keine unfaire Münze.

Darum nimmt man die relative Häufigkeit einer langen Serie als Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit, wenn man sie nicht berechnen kann: Landet ein Reißnagel bei 1000 Würfen 575-mal mit der Spitze oben, schätzt man P ≈ 0,58. Zwei mögliche Lagen heißen nicht, dass jede die Wahrscheinlichkeit ½ hat. Bei n Versuchen erwartet man etwa n · P Treffer.

Kein Ausgleich

Nach 6-mal Kopf denken viele: „Jetzt ist Zahl fällig.“ Doch die Münze hat kein Gedächtnis, jeder Wurf ist neu. Das Gesetz sagt nur, dass der Anteil sich beruhigt, nicht dass der Unterschied verschwindet. In der Serie unten wächst der Unterschied zwischen Kopf- und Zahl-Anzahl auf 36 (268-mal Kopf, 232-mal Zahl), obwohl h mit 0,536 nahe an 0,5 liegt: Die Zahl der Würfe wächst schneller als der Unterschied.

Gleich wahrscheinlich?

Ein Zufallsexperiment ist ein Laplace-Experiment, wenn es endlich viele Ergebnisse hat und alle gleich wahrscheinlich sind. Das folgt aus Symmetrie: fairer Würfel, faire Münze, gleiche Kugeln in einer Urne, gleich große Felder auf dem Rad. Vier Ergebnisse allein genügen nicht. Dieses Rad hat vier Farben – dreh es oft und vergleiche die Zähler.

Gleichwahrscheinlichkeit wird geprüft, nicht angenommen. Bei einem Reißnagel, einem Fußballspiel (Sieg, Unentschieden, Niederlage) oder dem Wetter passt das Modell nicht: Drei Ausgänge heißen nicht ⅓ je Ausgang. Dort schätzt man die Wahrscheinlichkeiten mit den relativen Häufigkeiten langer Versuchsreihen.

Die richtige Ergebnismenge

Dasselbe Experiment lässt sich mit verschiedenen Ergebnismengen beschreiben, und nicht jede ist ein Laplace-Modell. Drei faire Münzen haben acht gleich wahrscheinliche Ergebnisse (KKK, KKZ, …, ZZZ). Notiert man nur die Anzahl Kopf, ergibt sich $\{0,1,2,3\}$ – vier Ergebnisse, aber nicht gleich wahrscheinlich: Genau einmal Kopf entsteht auf drei Wegen, keinmal Kopf nur auf einem.

Ebenso bei zwei Würfeln: Die Augensummen 2 bis 12 sind nicht gleich wahrscheinlich, die 36 Paare (1. Würfel | 2. Würfel) aber schon. Wähle die feinste Beschreibung, bei der alle Ergebnisse symmetrisch sind. Erst wenn beides stimmt (endlich viele Ergebnisse, alle gleich wahrscheinlich), darf man Wahrscheinlichkeiten ausrechnen; wie, zeigt der nächste Abschnitt.

Günstige durch mögliche

Bei einem Laplace-Experiment hat jedes der $|\Omega |$ Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit. Ein Ereignis E umfasst $|E|$ davon, die günstigen Ergebnisse. Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist der Anteil an allen möglichen Ergebnissen:

$$P(E)=\frac{|E|}{|\Omega |}=\frac{\text{gu¨nstige}}{\text{mo¨gliche}}$$

Bei einem fairen Würfel hat jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit 1/6, und für E = {2, 4, 6} sind 3 von 6 Ergebnissen günstig: $P(\text{gerade})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Kürzen ändert den Wert nicht. Ein Rad hat 12 gleich große Felder, 5 davon sind rot: $P(\text{Rot})=\frac{5}{12}$. Achtung: „5 rote, 7 andere“ ist ein Verhältnis von günstig zu ungünstig. Die Wahrscheinlichkeit teilt durch alle Ergebnisse, hier also nicht durch 7.

Skala und Gegenwahrscheinlichkeit

Jede Wahrscheinlichkeit liegt zwischen 0 und 1: 0 heißt unmöglich, 1 heißt sicher. Man schreibt sie als Bruch, Dezimalzahl oder Prozentsatz, zum Beispiel $\frac{1}{4}=0,25=25\%$. Werte über 1 gibt es nicht.

Weil E und sein Gegenereignis zusammen ganz Ω bilden, ergeben ihre Wahrscheinlichkeiten 1: $$P(\overline{E})=1-P(E)$$ Für die Sechs ist $P(\text{Sechs})=\frac{1}{6}$, also $P(\text{keine Sechs})=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.

Das Zählprinzip

Bei mehrstufigen Experimenten liegt Ω nicht fertig vor, man zählt es. Hat die erste Stufe m und die zweite n Möglichkeiten, gibt es m · n Ergebnisse: 3 Oberteile und 2 Hosen ergeben 6 Kombinationen. Man multipliziert, man addiert nicht (3 + 2 = 5 wäre falsch). Bei drei Stufen kommt ein dritter Faktor dazu.

Ohne Zurücklegen schrumpft die Zahl der Möglichkeiten: Zieht man aus 4 Kugeln nacheinander zwei, hat die erste Stufe 4, die zweite nur noch 3 Möglichkeiten – das sind 4 · 3 = 12 Ergebnisse, nicht 4 · 4.

Das Baumdiagramm

Ein Baumdiagramm zeichnet jede Stufe als Ebene von Ästen. Jeder Pfad von der Wurzel bis zu einem Ende ist ein Ergebnis. In der Urne liegen drei Kugeln R, B und G; zwei werden ohne Zurücklegen gezogen. Es gibt 3 · 2 = 6 Pfade, und weil jede Kugel gleich wahrscheinlich gezogen wird, sind alle sechs Pfade gleich wahrscheinlich. Ein Ereignis liest man ab, indem man seine Pfade zählt: „R zuerst“ (rot markiert) hat 2 von 6 Pfaden, also $P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

Mindestens einmal

„Mindestens eine Sechs bei zwei Würfen“ umfasst viele Fälle. Zählt man stattdessen das Gegenereignis keine Sechs, ist es eine einzige Rechnung: 5 · 5 = 25 der 36 Paare. Also ist $$P(\text{mindestens eine Sechs})=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$$ Bei „mindestens einmal“ lohnt sich fast immer der Weg über das Gegenereignis „keinmal“.