Die natürliche Logarithmusfunktion

Der fehlende Exponent

Die Gleichung $e^x=5$ fragt nach dem Exponenten, mit dem e zur Zahl 5 wird. Diesen Exponenten nennt man den natürlichen Logarithmus von 5 und schreibt ln 5. Allgemein gilt für positive Zahlen z:

$$y=\ln z⟺e^y=z(z>0)$$

Es ist $\ln 5\approx 1,61$, denn $e^{1,61}\approx 5$. Im Graphen liest man ln z als die x-Stelle ab, an der eˣ die Höhe z erreicht. Vorsicht: ln ist kein Kehrwert. ln 5 ist nicht 1/5, auch wenn das Zeichen an ⁻¹ erinnert.

Aus der Einleitung: $N(t)=100\cdot e^t$ erreicht 500, wenn eᵗ = 5 ist, also nach t = ln 5 ≈ 1,61 Zeiteinheiten. Für z < 1 ist der Exponent negativ: ln 0,5 ≈ −0,69, weil e^(−0,69) ≈ 0,5 ist.

Sonderwerte und Aufheben

Aus $e^0=1$ folgt $\ln 1=0$, aus $e^1=e$ folgt $\ln e=1$, und allgemein ist $\ln (e^k)=k$. So ist ln(e³) = 3 und $\ln (1/e)=\ln (e^{-1})=-1$. ln und e-Potenz heben einander auf:

$$\ln (e^x)=x\text{fu¨r alle }x,e^{\ln z}=z\text{fu¨r }z>0$$

Deshalb löst man $\ln x=c$ durch Potenzieren: $x=e^c$. Aus ln x = 2 folgt $x=e^2\approx 7,39$, aus ln x = −1 folgt $x=1/e\approx 0,37$. Zu jeder Zahl c gibt es genau ein x, auch für negatives c. Nur ln(−3) oder ln 0 gibt es nicht, denn eˣ ist nie null und nie negativ.

Spiegelung an y = x

Was eˣ tut, macht ln rückgängig. Liegt der Punkt $(a\mid b)$ auf dem Graphen von eˣ, so gilt $e^a=b$, also $\ln b=a$: Der Punkt $(b\mid a)$ liegt auf dem Graphen von ln. Vertauschte Koordinaten bedeuten eine Spiegelung an der Geraden y = x. Der Graph von ln entsteht also aus dem von eˣ durch Spiegelung an y = x, nicht an einer Achse: (0 | 1) wird zu (1 | 0) und (1 | e) zu (e | 1). Beide Achsen müssen gleich skaliert sein, sonst wirkt das Spiegelbild verzerrt. Zur Probe: Aus (2 | 7,39) auf eˣ wird (7,39 | 2), und tatsächlich ist ln 7,39 ≈ 2.

Definitionsmenge, Nullstelle und Verlauf

Der Graph von eˣ liegt ganz über der x-Achse und kommt ihr links beliebig nahe. Gespiegelt heißt das: ln ist nur für x > 0 definiert, $D=]0;\infty [$, und die y-Achse ist senkrechte Asymptote. Weil eˣ jeden positiven Wert annimmt, ist $W=\mathbb{R}$. Die Nullstelle liegt bei x = 1, denn ln 1 = 0. Für 0 < x < 1 ist ln x negativ, für x > 1 positiv. Die Funktion steigt streng monoton, aber immer flacher: ln 10 ≈ 2,30, ln 100 ≈ 4,61, ln 1000 ≈ 6,91. Flach heißt nicht beschränkt, denn ln(e¹⁰⁰) = 100. Für ln x = 10 muss man bis x ≈ 22 026 gehen.

Steigungen im Spiegelbild

Beim Spiegeln an y = x vertauschen Δx und Δy ihre Rollen. Aus der Steigung $m=\Delta y/\Delta x$ wird deshalb die Steigung 1/m. Im Punkt $(t\mid e^t)$ hat eˣ die Steigung eᵗ. Im Spiegelpunkt $(e^t\mid t)$ hat ln also die Steigung 1/eᵗ. Mit x = eᵗ heißt das: Die Steigung von ln an der Stelle x ist 1/x. Für t = 1: In (1 | e) hat eˣ die Steigung e ≈ 2,72, in (e | 1) hat ln die Steigung 1/e ≈ 0,37. Auch für negatives t klappt es: In (−1 | 1/e) hat eˣ die Steigung 1/e ≈ 0,37, und in (1/e | −1) hat ln die Steigung e ≈ 2,72.

Herleitung mit der Kettenregel

Rechnerisch geht es mit $e^{\ln x}=x$ für x > 0. Beide Seiten werden abgeleitet: links mit der Kettenregel (äußere Ableitung e^(ln x), mal innere Ableitung (ln x)′), rechts ist x′ = 1.

$$e^{\ln x}\cdot (\ln x{)}^{\prime }=1\Rightarrow x\cdot (\ln x{)}^{\prime }=1\Rightarrow (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}(x>0)$$

Die Ableitung ist positiv, ln steigt also überall; sie wird mit wachsendem x kleiner, der Graph wird flacher. Die Tangente bei x₀ ist $y=\ln x_0+\frac{1}{x_0}(x-x_0)$, bei x₀ = 1 also y = x − 1. Vorsicht: Erst ableiten, dann einsetzen. Es gilt (ln 5)′ = 0, denn ln 5 ist eine feste Zahl, aber (ln x)′ an der Stelle 5 ist 1/5.

Produkte werden Summen

Von den Potenzen kennst du $e^a\cdot e^b=e^{a+b}$. Setzt man u = eᵃ und v = eᵇ, so ist ln u = a, ln v = b und u · v = e^(a+b), also ln(u · v) = a + b. Damit gilt:

$$\ln (u\cdot v)=\ln u+\ln v,\ln \frac{u}{v}=\ln u-\ln v$$

Beispiel: $\ln 6=\ln 2+\ln 3\approx 0,69+1,10=1,79$. Aus u = 1 folgt $\ln (1/v)=-\ln v$, etwa ln(1/5) = −ln 5 ≈ −1,61. Das Produkt im Argument wird zur Summe, der Quotient zur Differenz. Beispiel: ln(8/2) = ln 8 − ln 2 ≈ 2,08 − 0,69 = 1,39, und das ist ln 4. Alle Regeln gelten nur für positive u und v.

Potenzen, und was nicht geht

Aus u = eᵗ folgt uʳ = e^(t · r), also $\ln (u^r)=r\cdot \ln u$ für u > 0. So ist $\ln (x^3)=3\ln x$ und $\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$ für x > 0; auch ln 8 = ln(2³) = 3 · ln 2 ≈ 2,08. Für negative x ist x² positiv, ln x aber nicht definiert: $\ln (x^2)=2\ln |x|$ gilt für alle x ≠ 0. Für Summen im Argument gibt es keine Regel, und ein Quotient oder eine Potenz von Logarithmen ist etwas anderes als der Logarithmus eines Quotienten oder einer Potenz: $\ln (2+3)\ne \ln 2+\ln 3$, $\frac{\ln 100}{\ln 10}\ne \ln 10$, $(\ln x{)}^2\ne \ln (x^2)$.

Verkettung: ln(g(x))

Aus $(\ln x{)}^{\prime }=1/x$ wird mit der Kettenregel für einen Term g(x) im ln:

$${\left(\ln g(x)\right)}^{\prime }=\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}(g(x)>0)$$

Die innere Ableitung steht im Zähler. Beispiel: $(\ln (3x+1){)}^{\prime }=\frac{3}{3x+1}$ für x > −1/3. Für g(x) = x − c ist g′(x) = 1, also $(\ln (x-c){)}^{\prime }=\frac{1}{x-c}$: Der Graph ist der von ln, um c nach rechts verschoben, mit der senkrechten Asymptote x = c. Häufiger Fehler: nur 1/g(x) hinzuschreiben und die innere Ableitung zu vergessen. Auch eine negative innere Ableitung ist möglich: $(\ln (5-x){)}^{\prime }=\frac{-1}{5-x}$ für x < 5. Ein weiteres Beispiel: $(\ln (x^2+1){)}^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$; der Nenner ist immer positiv, deshalb ist die Funktion für alle x definiert.

Erst vereinfachen, dann ableiten

Mit den Logarithmenregeln geht es oft einfacher. Aus $\ln (5x)=\ln 5+\ln x$ und der Konstanten ln 5 folgt $(\ln (5x){)}^{\prime }=1/x$, genau wie bei ln x: Die Graphen sind nur gegeneinander verschoben. Ebenso ist $\ln (x^3)=3\ln x$ mit der Ableitung 3/x und $\ln \sqrt{x}=\frac{1}{2}\ln x$ mit der Ableitung 1/(2x). Vereinfachen ändert den Term, kann aber die Definitionsmenge ändern: ln(x²) = 2 · ln|x| gilt für alle x ≠ 0. Steht ln in einem Produkt, gilt die Produktregel:

$$(x\cdot \ln x{)}^{\prime }=1\cdot \ln x+x\cdot \frac{1}{x}=\ln x+1$$

Diese Ableitung ist null für ln x = −1, also bei x = 1/e; dort hat der Graph von x · ln x eine waagerechte Tangente.

Definitionsmenge und Nullstelle

Bei $f(x)=\ln (g(x))$ muss g(x) > 0 gelten. Für ln(x − 3) folgt x > 3, also $D=]3;\infty [$; bei x = 3 liegt die senkrechte Asymptote, denn der Graph von ln ist um 3 nach rechts geschoben, nicht nach links. Für ln(4 − 2x) muss 4 − 2x > 0 sein, also x < 2. Die Nullstelle folgt aus $\ln g=0⟺g=1$: ln(x − 3) = 0 ⇒ x − 3 = 1 ⇒ x = 4. Bei $\ln (x-c)+d$ ist sie $x=c+e^{-d}$. Vorsicht bei Produkten: x · ln x = 0 gilt nur für x = 1, denn x = 0 liegt nicht in D.

Extremstellen

Wie bei jeder Funktion: f′(x) = 0 lösen, die Lösung auf D prüfen, die Art mit f″ bestimmen. Beispiel $f(x)=\ln x-x$: $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=0$ liefert x = 1, und $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$. Bei (1 | −1) liegt ein Hochpunkt. Weil −1 der größte Wert von f ist, gilt ln x ≤ x − 1 < x für alle x > 0: Der Graph von ln liegt überall unter der Geraden y = x. Lösungen außerhalb von D werden verworfen; bei x − 2 · ln x ergibt f′(x) = 1 − 2/x = 0 die Stelle x = 2.

ln wächst, aber langsam

ln x wird für x → ∞ beliebig groß, aber sehr langsam: ln 1000 ≈ 6,91 und ln 10⁶ ≈ 13,8. Jede Potenz xⁿ mit n > 0 wächst schneller:

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^n}=0(n>0)$$

Begründung: Mit x = eᵗ (t → ∞) ist ln x / xⁿ = t / e^(nt), und e^(nt) wächst schneller als jede Potenz von t, wie im Kurs über die e-Funktion. Beispiel: Bei x = 10⁶ ist ln x ≈ 13,8, aber √x = 1000; der Quotient beträgt nur 0,014. Selbst x^(1/4) überholt ln x erst bei x ≈ 5500. Flach heißt nicht beschränkt: ln x strebt weiter gegen ∞, nur langsamer als jede Potenz.

Nahe bei null

Für x → 0⁺ geht $\ln x\to -\infty$, aber der Faktor xⁿ drückt gegen null, und er gewinnt:

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^n\cdot \ln x=0(n>0)$$

Mit x = 1/u (u → ∞) wird daraus xⁿ · ln x = −(ln u)/uⁿ, und das strebt nach dem ersten Grenzwert gegen 0. Beispiel: Bei x = 0,001 ist x · ln x ≈ −0,0069. Der Graph von x · ln x kommt aus dem Ursprung, fällt bis zum Tiefpunkt bei x = 1/e mit dem Wert −1/e ≈ −0,37 und steigt dann; bei x = 0 ist f nicht definiert, aber der Graph endet dort im Punkt (0 | 0).