Ganze Zahlen multiplizieren und dividieren

Teilprodukte nach Stellenwert

Eine Turnhalle hat 23 Reihen mit je 46 Stühlen. Du zerlegst den zweiten Faktor nach dem Stellenwert: 23 = 20 + 3. Die Einerzeile ist $46\cdot 3=138$, die Zehnerzeile ist $46\cdot 20=920$. Beim schriftlichen Rechnen schreibst du 46 · 2 = 92 eine Stelle weiter links, denn die Zehnerziffer steht für Zehner; die Null am Ende denkst du dir dazu. Die Summe $138+920=1058$ ist das Ergebnis.

Ein häufiger Fehler ist, die Zehnerzeile unverschoben zu lassen. Dann rechnest du nur 46 · 2 = 92 statt 46 · 20 = 920; der Faktor 10 fehlt.

Nullen und Überschlag

Auch eine Null im zweiten Faktor gehört zur Rechnung. Bei $346\cdot 207$ liefert die Hunderterziffer 2 die Hunderterzeile 346 · 2 = 692, die zwei Stellen nach links rutscht. Die Zehnerziffer 0 gibt die Nullzeile 346 · 0 = 0. Lässt du sie weg, musst du die Hunderterzeile trotzdem um zwei Stellen verschieben. Die Summe ist 71 622.

Ob das stimmt, prüfst du zuerst mit einem Überschlag: Runde jeden Faktor auf seine größte Stelle und rechne im Kopf. $346\cdot 207\approx 300\cdot 200=60000$. Das Ergebnis muss in der Nähe von 60 000 liegen und fünf Stellen haben; 7162 oder 716 220 wären sofort entlarvt.

Wie oft passt der Divisor?

Beim schriftlichen Dividieren fragst du immer wieder: Wie oft passt der Divisor in den Teildividenden? Nimm 174 : 23. Ein Überschlag hilft: 174 ist etwa 180 und 23 etwa 20, also 180 : 20 = 9. Probiere: 9 · 23 = 207 ist zu groß, 8 · 23 = 184 ebenfalls, aber 7 · 23 = 161 passt. Die 7 ist der Teilquotient. Der Rest ist 174 − 161 = 13. Er muss kleiner sein als der Divisor 23; wäre er größer, passte der Divisor noch einmal hinein und der Teilquotient war zu klein.

Ziffer für Ziffer und die Probe

Bei 1748 : 23 beginnst du links. Die 1 ist kleiner als 23, auch 17 reicht nicht; erst 174 enthält den Divisor. Du schreibst 7 in den Quotienten, ziehst 161 ab und erhältst den Rest 13. Dann holst du die nächste Ziffer 8 herunter: 138. Darin passt 23 genau 6-mal, der Rest ist 0. Das Ergebnis ist 76.

Die Probe geht rückwärts: Quotient mal Divisor plus Rest ergibt den Dividenden. $76\cdot 23=1748$ stimmt. Bleibt ein Rest, addierst du ihn: 1750 : 23 = 76 Rest 2, denn $76\cdot 23+2=1750$.

Wenn der Divisor nicht passt

Nimm 4872 : 12. Zuerst ist 48 : 12 = 4, der Rest ist 0. Du holst die 7 herunter, aber 7 ist kleiner als 12: Der Divisor passt 0-mal. Dann schreibst du eine 0 in den Quotienten und holst die 2 herunter. Jetzt ist 72 : 12 = 6. Das Ergebnis ist 406. Wer die 0 auslässt, erhält 46; der Überschlag 4800 : 12 = 400 verrät den Fehler sofort.

Beim Malnehmen darfst du die Faktoren vertauschen: $a\cdot b=b\cdot a$. Im Punktefeld siehst du es: 4 Reihen zu je 7 Punkten sind gedreht 7 Reihen zu je 4 Punkten. Mit mehr als zwei Faktoren darfst du außerdem beliebig zusammenfassen: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Das macht Kopfrechnen leicht. Bei $25\cdot 7\cdot 4$ suchst du zuerst ein Paar mit runder Zahl: 25 · 4 = 100, dann 100 · 7 = 700. Solche Paare sind 25 · 4, 50 · 2 und 125 · 8. Der Rechenbaum zeigt, wie die Aufgabe dabei in zwei Schritten zerfällt.

Aber Vorsicht: Das gilt nur fürs Malnehmen. Beim Teilen ändern Vertauschen und Klammern das Ergebnis. 24 : 6 ist 4, aber 6 : 24 ist keine natürliche Zahl. Und 120 : 6 : 2 rechnest du von links nach rechts (20 : 2 = 10), während 120 : (6 : 2) = 120 : 3 = 40 ergibt.

Das Muster geht weiter

3 · (−4) bedeutet dreimal −4, also wiederholte Addition: (−4) + (−4) + (−4) = −12. Bei $(-3)\cdot (-4)$ hilft das nicht mehr, denn man kann nicht „minus dreimal“ addieren. Ein Muster hilft: Halte −4 fest und lass den ersten Faktor sinken. $3\cdot (-4)=-12$, $2\cdot (-4)=-8$, $1\cdot (-4)=-4$, $0\cdot (-4)=0$. Das Ergebnis wächst bei jedem Schritt um 4. Ein Alltagsbeispiel: Wird dein Konto fünfmal mit je 3 Euro belastet, ändert sich der Stand um $5\cdot (-3)=-15$ Euro.

Führst du das Muster fort, folgt $(-1)\cdot (-4)=4$, dann 8 und 12. Man legt es so fest, weil dann die Rechengesetze weiter gelten (Permanenzprinzip). Das Ergebnis von $(-3)\cdot (-4)$ ist also +12.

Schulden erlassen

Auch ein Bild macht es plausibel. Du hast 4 Schuldscheine über je 4 Euro, dein Konto steht bei −16 Euro; jeder Schein ist −4 Euro auf deinem Konto. Werden dir drei davon erlassen, nimmst du dreimal −4 Euro weg. Du wirst um 12 Euro reicher: $(-3)\cdot (-4)=+12$.

Die beiden Vorzeichen haben zwei Rollen. Das erste sagt „wegnehmen“ statt „dazubekommen“, das zweite „Schuld“ statt „Guthaben“. Kehrst du beides um, kommt Plus heraus. Beide Wege, das Muster und das Schuldenbild, liefern +12; das ist kein Zufall, sondern das, was die Rechengesetze verlangen.

Die Regel für Produkte

Bei zwei Faktoren rechnest du zuerst mit den Beträgen (den Zahlen ohne Vorzeichen) und setzt dann das Vorzeichen: Gleiche Vorzeichen ergeben Plus, verschiedene Vorzeichen ergeben Minus. Bei $(-6)\cdot 7$ ist 6 · 7 = 42, die Vorzeichen sind verschieden, also −42. Bei $(-6)\cdot (-7)$ sind sie gleich: +42. Merke: erst die Beträge multiplizieren, dann das Vorzeichen setzen. So ist (−5) · (−8) = +40 und (−5) · 8 = −40.

Achte auf die Klammern: $(-6)\cdot (-7)$ ist ein Produkt, $-6-7=-13$ dagegen eine Differenz. Und $0\cdot (-5)=0$ hat kein Vorzeichen.

Quotienten und mehrere Faktoren

Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation, deshalb gelten dieselben Regeln. $(-12):3=-4$, denn $(-4)\cdot 3=-12$. $(-12):(-3)=4$, denn $4\cdot (-3)=-12$. Ein Beispiel mit gleichen Vorzeichen: (−72) : (−9) = 8, denn 8 · (−9) = −72. Durch 0 darfst du nie teilen.

Bei mehr als zwei Faktoren zählst du die Minusfaktoren: Eine gerade Anzahl gibt Plus, eine ungerade Minus. $(-2)\cdot (-3)\cdot (-4)$ hat drei Minusfaktoren, also ist das Produkt −24.

Gleiche Faktoren

Kommt derselbe Faktor mehrmals vor, schreibst du kurz eine Potenz: $2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^5=32$. Die Basis 2 sagt, welcher Faktor wiederholt wird, der Exponent 5, wie oft. 2⁵ ist nicht 2 · 5 = 10. Potenzen wachsen schnell: Verdoppelt sich eine Zellzahl jede Stunde, sind es nach 8 Stunden 2⁸ = 256 Zellen.

Eine negative Basis schreibst du in Klammern. $(-2{)}^3=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)=-8$, aber $(-2{)}^4=16$: Eine gerade Anzahl Minusfaktoren gibt Plus, eine ungerade Minus. Ohne Klammer, −2⁴, gehört der Exponent nur zur 2, und das Ergebnis ist −16.

Quadratzahlen

Eine Potenz mit dem Exponenten 2 heißt Quadrat: $n^2=n\cdot n$. Im Punktefeld ist n² ein Quadrat aus n Reihen zu je n Punkten. Die Quadratzahlen bis 20² = 400 kannst du bald auswendig: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400. Achtung: n² ist nicht 2n.

Zehnerpotenzen

Potenzen von 10 sind besonders einfach: 10ⁿ ist eine 1 mit n Nullen, zum Beispiel $10^3=1000$ und $10^6=1000000$. Mit ihnen schreibst du große Zahlen kurz: $3\cdot 10^5=300000$, die 3 bekommt fünf Nullen. Der Mond ist etwa 384 · 10³ km entfernt, das sind 384 000 km. Vorsicht: 3 · 10⁴ = 30 000, aber 3⁴ = 81.

Umkehraufgabe und Probe

In $4\cdot x=36$ fehlt ein Faktor. Du kannst systematisch probieren: x = 6 gibt 24, das ist zu klein; x = 10 gibt 40, das ist zu groß; x = 9 gibt genau 36. Schneller geht die Umkehraufgabe: Malnehmen und Teilen machen einander rückgängig, also $x=36:4=9$.

Danach kommt immer die Probe: Setze 9 für x ein, $4\cdot 9=36$ stimmt. Die Probe fängt Fehler sofort: Mit x = 36 · 4 = 144 wäre 4 · 144 = 576, und das ist nicht 36. Auch bei großen Zahlen klappt das: Bei 23 · x = 1748 rechnest du schriftlich 1748 : 23 = 76.

Systematisch probieren geht auch bei großen Zahlen, wenn du zuerst mit glatten Zehnerzahlen eingrenzt: Bei $16\cdot x=368$ ist 16 · 20 = 320 zu klein und 16 · 30 = 480 zu groß, also liegt x zwischen 20 und 30. Dann probierst du weiter: 16 · 23 = 368 trifft. Bei $a:x=b$ ist es umgekehrt: Je größer x, desto kleiner das Ergebnis.

Wenn geteilt wird

Bei $x:5=8$ wurde x durch 5 geteilt und 8 kam heraus. Rückwärts multiplizierst du: $x=8\cdot 5=40$. Probe: 40 : 5 = 8.

Bei $24:x=6$ steht x hinten: 24 wird auf x Gruppen verteilt, 6 je Gruppe. Die Umkehraufgabe ist wieder eine Teilung: $x=24:6=4$, nicht 24 · 6 = 144. Probe: 24 : 4 = 6. Merke: Steht x hinter dem Geteiltzeichen, bleibt es beim Teilen.