Große Zahlen und ganze Zahlen

Die Stellenwerttafel

Die Erde hat rund 8 100 000 000 Einwohner. Solche Zahlen liest man nicht Ziffer für Ziffer: Man gliedert sie von rechts in Dreierblöcke. Die Blöcke haben Namen — Einer, Tausender, Millionen, Milliarden, Billionen — und in jedem stehen höchstens drei Ziffern: Hunderter (H), Zehner (Z) und Einer (E) dieses Blocks.

Wir lesen jeden Block wie eine Zahl bis 999 und hängen seinen Namen an: 8 Milliarden 100 Millionen. Ein Block aus lauter Nullen wird nicht gesprochen. Von Block zu Block wird der Wert 1000-mal so groß: 1000 Millionen sind eine Milliarde.

Zahlwort und Zahl

Vom Zahlwort zur Zahl: Schreibe jeden genannten Block in sein Feld und fülle alle Blöcke, die nicht genannt werden, mit 000. „Eine Million dreihundert“ nennt den Millionen-Block (1) und den Einer-Block (300). Der Tausender-Block fehlt, er ist 000. Also gilt 1 000 300 — nicht 1 300 und nicht 1 000 000 300.

Achtung bei den Namen: Die Billion ist nicht die Milliarde, sondern noch einmal 1000-mal so groß (1 000 000 000 000). Das englische „billion“ ist unsere Milliarde.

Kein Ende in Sicht

Zu jeder Zahl gehört ein Nachfolger: Man addiert 1. Nach 999 999 999 kommt 1 000 000 000, danach die nächste Zahl, und so fort. Gäbe es eine größte Zahl g, wäre ihr Nachfolger g + 1 noch größer — ein Widerspruch. Die natürlichen Zahlen ℕ = {1, 2, 3, …} haben also kein größtes Element; kommt die 0 dazu, schreibt man ℕ₀. Namen wie Billiarde oder Trillion gibt es nur, damit wir noch größere Zahlen aussprechen können.

Zehn werden eins

Unser Zehnersystem bündelt: Zehn Einer werden zu einem Zehner, zehn Zehner zu einem Hunderter, zehn Hunderter zu einem Tausender — und so fort. Deshalb ist jede Stelle zehnmal so viel wert wie die Stelle rechts daneben. Der Wert einer Ziffer ist die Ziffer mal ihr Stellenwert: In 347 ist die 4 vierzig wert, in 437 vierhundert. Ein System, in dem die Stelle den Wert bestimmt, heißt Stellenwertsystem.

Die Null hält die Stelle frei

In 307 gibt es keinen Zehner zu bündeln. Damit die 3 trotzdem an der Hunderterstelle bleibt, schreiben wir dort eine 0. Lässt man sie weg, wird aus 307 die Zahl 37: Die 3 rutscht auf die Zehnerstelle und ist nur noch dreißig wert. Die Null ist also kein „Nichts“, sondern ein Platzhalter.

Römische Zahlen

Die Römer schrieben anders. Sie hatten feste Zeichen I, V, X, L, C, D, M mit festen Werten. Ein kleineres Zeichen hinter einem größeren wird addiert (XV = 15), ein kleineres davor wird abgezogen (IX = 9, XL = 40). Ein X ist überall 10, gleichgültig, wo es steht: Eine Stelle mit eigenem Wert gibt es nicht, und eine Null auch nicht. Dafür werden große Zahlen lang: 3888 ist MMMDCCCLXXXVIII. Im Zehnersystem genügen zehn Ziffern für jede Zahl, weil die Stelle mitzählt.

Einteilung bestimmen und ablesen

Ein Zahlenstrahl hat gleich große Abstände: Gleiche Strecken bedeuten gleiche Unterschiede, und die Zahlen wachsen nach rechts. Beschriftet sind meist nur einige Marken. Die Schrittweite findest du so: Unterschied zweier beschrifteter Marken, geteilt durch die Zahl der Teile dazwischen. Von 300 bis 350 liegen 5 Teile, also ist ein Schritt 50 : 5 = 10. Gezählt werden die Teile, nicht die Striche.

Zum Ablesen gehst du von der nächsten beschrifteten Marke aus Schritt für Schritt vor. Liegt ein Punkt zwischen zwei Strichen, kannst du ihn nur schätzen — etwa „in der Mitte“ zwischen 360 und 370, also bei 365.

Eine Skala wählen

Sollst du Zahlen selbst einzeichnen, wählst du die Skala: Anfang, Ende und Schrittweite. Sie beginnt nicht immer bei 0. Zwei Fragen helfen: Passen alle Zahlen auf den Strahl? Und sind die Striche fein genug, dass man die Punkte noch trennt? Die Zahlen 4250, 4380 und 4610 drängen sich auf dem oberen Strahl (0 bis 10 000, Schritt 1000) zusammen. Auf dem unteren (4000 bis 5000, Schritt 100) liegen sie klar getrennt.

Bei jeder Skala bleiben die Abstände zwischen den Marken gleich groß — auch dann, wenn ein Stück der Zahlen (etwa alles unter 4000) weggelassen wird.

Runden auf eine Stelle

Runden ersetzt eine Zahl durch die nächstgelegene Zahl mit Nullen. Zuerst legst du die Rundungsstelle fest, etwa die Zehner. Dann schaust du nur auf die Ziffer rechts daneben: bei 0 bis 4 wird abgerundet, bei 5 bis 9 aufgerundet. Alle Stellen rechts der Rundungsstelle werden zu 0. So wird 4372 auf Hunderter zu 4400. Am Zahlenstrahl ist es die nächste Marke — liegt die Zahl genau in der Mitte, rundet man auf.

Achte auf eine Falle: Es zählt nur die eine Nachbarziffer. Wer 2449 zuerst auf 2450 und dann auf 2500 rundet, macht einen Fehler — richtig ist 2400. Alle Zahlen von 4450 bis 4549 haben auf Hunderter gerundet denselben Wert 4500.

Sinnvoll runden

Im Sachzusammenhang entscheidet die Situation, nicht nur die Regel. 130 Personen fahren mit Bussen zu je 40 Plätzen: 130 : 40 = 3,25. Auf 3 abzurunden hieße, dass 10 Personen stehen bleiben. Man braucht 4 Busse und rundet auf. Bei Verpackungen und Plätzen wird meist aufgerundet, bei „Wie viele Kisten sind ganz voll?“ abgerundet.

Auch die Genauigkeit passt sich an: Eine Stadt mit 12 486 Einwohnern nennt die Zeitung „rund 12 500“, eine Entfernung von 298 km heißt „etwa 300 km“. Gerundet wird so, dass die Angabe zur Sache passt.

Unter dem Nullpunkt

Wenn das Thermometer unter den Gefrierpunkt fällt, wenn ein Konto überzogen ist oder ein Fahrstuhl in den Keller fährt, reichen die Zahlen 0, 1, 2, … nicht mehr. Wir brauchen Zahlen unter dem Nullpunkt: −3 °C heißt „drei Grad unter null“, −40 € heißt „40 Euro Schulden“, −2 an der Fahrstuhltafel „zweites Untergeschoss“. Das Minuszeichen vor der Zahl ist ihr Vorzeichen, es gehört zur Zahl.

Der Strahl geht links weiter

Auf dem Zahlenstrahl steht die 0 in der Mitte, rechts wachsen die positiven Zahlen. Nach links geht der Strahl weiter: Dort liegen −1, −2, −3, … im gleichen Abstand. −4 liegt vier Schritte links der 0. Die Rechnung 3 − 5 hat in den natürlichen Zahlen kein Ergebnis, denn links der 0 endete der Strahl. Deshalb erweitert man ihn zu den ganzen Zahlen …, −2, −1, 0, 1, 2, …; die natürlichen Zahlen stecken darin, und 3 − 5 = −2 hat nun einen Platz.

Weiter links heißt kleiner

Von zwei ganzen Zahlen ist die kleinere diejenige, die auf dem Zahlenstrahl weiter links liegt. Darum gilt −5 < −2, denn −5 liegt links von −2, und −2 < 0 < 3. Jede negative Zahl ist kleiner als jede positive; die 0 liegt dazwischen. Bei den negativen Zahlen kehrt sich die Ordnung gegenüber den Ziffern um: 5 ist mehr als 2, aber −5 ist weniger als −2 — kälter, mehr Schulden.

Betrag und Gegenzahl

Der Betrag |a| einer Zahl ist ihr Abstand zur 0: |−4| = 4 und |3| = 3. Ein Abstand ist nie negativ. Die Gegenzahl von a liegt auf der anderen Seite der 0 im gleichen Abstand: Die Gegenzahl von 4 ist −4, die von −4 ist 4, die von 0 ist 0. Eine Zahl und ihre Gegenzahl haben also denselben Betrag.

Eine Zahl mit größerem Betrag ist deshalb nicht immer größer: |−8| = 8 ist größer als |3| = 3, aber −8 ist kleiner als 3.

Eine Aussage prüfen

Jemand behauptet: „Von zwei ganzen Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.“ Wir testen: 5 und 2 — |5| > |2| und 5 > 2. 7 und 4 — stimmt. 10 und 6 — stimmt. Drei Beispiele passen. Beweist das die Aussage? Nein: Sie spricht über alle Zahlen, wir haben nur drei angesehen. Schon ein Blick auf negative Zahlen zeigt, worauf man achten muss.

Gegenbeispiele

Das Paar −5 und 3 ist so ein Fall: Der Betrag von −5 ist 5 und damit größer als der von 3, aber −5 liegt links von 3 und ist die kleinere Zahl. Ein solcher Fall heißt Gegenbeispiel. Ein einziges Gegenbeispiel widerlegt die Aussage — dagegen kann man sie durch noch so viele passende Beispiele nie beweisen.

Oft kann man eine falsche Aussage retten, indem man sie einschränkt: „Von zwei positiven Zahlen ist diejenige größer, die den größeren Betrag hat.“ Das stimmt, weil bei positiven Zahlen Betrag und Zahl übereinstimmen.