Die Normalverteilung: von Messwerten zur Glockenkurve

Zählen: diskret

Beim Würfeln ist die Augenzahl X eine Zufallsgröße mit den Werten 1 bis 6. Alle Werte lassen sich einzeln aufzählen; zwischen 3 und 4 liegt kein weiterer. Eine solche Zufallsgröße heißt diskret. Sie entsteht durch Zählen: Augenzahl, Trefferzahl, Zahl der Geschwister. Für jeden Wert k ist $P(X=k)$ sinnvoll, und in einem Säulendiagramm gibt die Höhe der Säule genau diese Wahrscheinlichkeit an. Alle Säulen zusammen ergeben 1.

Messen: stetig

Die Körpergröße ist anders. Zwischen 1,70 m und 1,71 m liegen weitere mögliche Werte, zwischen diesen wieder welche, und so fort. Eine Zufallsgröße, die jeden Wert eines Intervalls annehmen kann, heißt stetig. Sie entsteht durch Messen: Länge, Zeit, Masse. Dass ein Messgerät rundet, ändert daran nichts, denn es rundet nur die Anzeige.

Darum passt zu einer stetigen Größe eine andere Frage: nicht „genau 172 cm?“, sondern „zwischen 170 cm und 175 cm?“, also ein Intervall $P(a\le X\le b)$.

Auf dem Raster unten kann man die Punkte beliebig verdichten, und doch bleibt zwischen zwei Punkten immer eine Lücke, in die noch ein Wert passt. Bei der Augenzahl ist die Lücke zwischen 3 und 4 dagegen leer und bleibt es. Auch sehr viele gezählte Werte machen eine Größe nicht stetig: Die Einwohnerzahl einer Stadt bleibt diskret.

Die Fläche zählt

Ein Histogramm zeigt, wie sich gemessene Werte auf Klassen verteilen. Sind die Klassen verschieden breit, darf nicht die Höhe die Häufigkeit anzeigen, denn breite Klassen sähen sonst zu groß aus. Man zeichnet deshalb über jede Klasse eine Säule mit

$$\text{Ho¨he}=\frac{\text{relative Ha¨ufigkeit}}{\text{Klassenbreite}}$$

Die Fläche der Säule ist dann die relative Häufigkeit. Die Klasse 180 bis 190 cm im Bild ist 10 cm breit und 0,012 hoch: Fläche $10\cdot 0,012=0,12$, also 12 % der Messwerte. Alle Flächen zusammen ergeben 1.

Klassen feiner machen

Jetzt zu 10 000 gemessenen Körpergrößen. Bei 8 cm Klassenbreite zeigt das Histogramm nur grob, wie sich die Werte verteilen. Verkleinere die Klassenbreite: Der Rand der Säulen verliert seine Treppen und schmiegt sich an eine glatte Kurve, die Glockenkurve. Die Gesamtfläche bleibt 1, denn jeder Messwert liegt in irgendeiner Klasse. Mit noch mehr Messwerten würde der Umriss noch glatter.

Warum eine Glocke?

Die Körpergröße hängt von vielen kleinen Einflüssen ab, die sich addieren. Ein Modell dafür ist die Summe von n Würfeln. Ein einzelner Würfel liefert lauter gleich hohe Säulen, doch schon bei drei Würfeln liegen die Summen am häufigsten in der Mitte, und die Säulen bilden eine Glocke. Wo sich viele kleine, unabhängige Einflüsse addieren, entstehen oft glockenförmige Histogramme, etwa bei Körpergrößen oder Werkstücklängen. Nicht immer: Einkommen und Wartezeiten sind schief, weil wenige sehr große Werte den Rand lang ziehen.

Wahrscheinlichkeit ist Fläche

Die Glockenkurve aus dem letzten Abschnitt ist die Dichtefunktion $f$ der Körpergröße X in cm. Die Wahrscheinlichkeit, dass X in einem Intervall liegt, ist die Fläche unter dem Graphen von f über diesem Intervall:

$$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Die Gesamtfläche unter dem Graphen ist 1, denn X nimmt irgendeinen Wert an, und es gilt $f(x)\ge 0$. Das ist dieselbe Idee wie beim Histogramm: Dort war die Fläche einer Säule die relative Häufigkeit, hier ist die Fläche unter der Kurve die Wahrscheinlichkeit, und die Kurve ist die Grenzform der Säulen. Für die Glocke gibt es keine einfache Stammfunktion; die Flächen liefern Tabellen oder Software, und das Bild rechnet mit.

Ein Wert hat keine Fläche

Ziehe die Grenzen zusammen: Die Fläche schrumpft gegen 0. Ein einzelner Wert ist ein Intervall der Länge 0 und hat keine Fläche, also $P(X=a)=0$. Daraus folgt $P(X\le a)=P(X<a)$: Randpunkte spielen keine Rolle. „Null“ heißt aber nicht „unmöglich“, denn jede Messung liefert irgendeinen Wert. Bei stetigen Größen zählen nur Intervalle.

Auch der Dichtewert $f(172)\approx 0,05$ ist keine Wahrscheinlichkeit, sondern die Höhe der Kurve („Wahrscheinlichkeit pro cm“). Er kann größer als 1 sein: In Metern gemessen ist die Kurve schmaler und daher höher, $f(1,72)\approx 4,99$.

Die Fläche links von x

Oft fragt man nicht nach einem Intervall, sondern: Wie viele sind höchstens so groß wie x? Die Antwort gibt die Verteilungsfunktion $F(x)=P(X\le x)$. An der Dichtefunktion $f$ ist sie die Fläche links von x:

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

Schiebst du x nach rechts, kommt Fläche dazu, und F(x) wächst. Genau in der Mitte ist die Hälfte erreicht: $F(172)=0,5$. Bei 164 sind es erst $F(164)\approx 0,1587$, also etwa 16 % der Jugendlichen. F beantwortet damit Fragen wie „Wie viel Prozent sind höchstens 164 cm groß?“ mit einer einzigen Zahl.

Der Graph von F

Trägt man F(x) über x auf, entsteht eine S-Kurve: $F$ steigt von 0 auf 1 und fällt nie, weil Fläche nur dazukommt. Am steilsten ist der Graph in der Mitte, wo die Dichte am höchsten ist. Das ist kein Zufall: Die Steigung von F ist die Dichte, $F^{\prime }(x)=f(x)$. Bei einer diskreten Zufallsgröße wächst F treppenförmig; bei einer stetigen gibt es keine Sprünge, weil kein einzelner Wert Wahrscheinlichkeit trägt.

Intervalle mit F

Für ein Intervall zieht man ab: Die Fläche bis b enthält die Fläche bis a, also

$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$$

Mit $F(180)\approx 0,8413$ und $F(164)\approx 0,1587$ ist $P(164\le X\le 180)\approx 0,6826$. „Mindestens a“ geht über das Gegenereignis: $P(X\ge a)=1-F(a)$.

Die Mitte μ

Die Dichte der Normalverteilung ist symmetrisch zu einer senkrechten Achse. Auf dieser Achse liegt der Gipfel, und ihre Stelle ist der Erwartungswert μ. Verschiebt man μ, wandert die ganze Kurve nach links oder rechts, ohne ihre Form zu ändern. μ ist also die Lage des Gipfels, nicht seine Höhe. Zwei Kurven mit gleichem σ sind gleich geformt, die eine ist nur verschoben.

Die Streuung σ

Die Breite bestimmt σ. Bei $\mu \pm \sigma$ liegen die Wendestellen der Kurve, dort wechselt sie von nach oben gekrümmt zu nach unten gekrümmt; das Bild markiert sie. Ein größeres σ macht die Kurve breiter und niedriger, die Fläche bleibt 1. Der Gipfel hat die Höhe $\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\approx \frac{0,399}{\sigma }$. Merke die Rollen: μ sagt, wo die Kurve liegt, σ sagt, wie breit sie ist.

Aus dem Term

Die Dichte hat den Term

$$f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

Man liest ab: μ ist die Zahl in $(x-\mu )$, bei $(x+3)$ also $\mu =-3$. Im Nenner steht $2{\sigma }^2$, nicht σ: Bei $(x-5{)}^2/18$ ist ${\sigma }^2=9$, also σ = 3, und der Vorfaktor $1/(3\sqrt{2\pi })$ bestätigt es. Der Vorfaktor sorgt dafür, dass die Fläche 1 bleibt: Wird σ größer, muss er kleiner werden.

Auf z umrechnen

Für jedes Paar μ, σ bräuchte man eine eigene Tabelle. Deshalb rechnet man auf die Standardnormalverteilung (μ = 0, σ = 1) um. Der z-Wert sagt, wie viele σ ein Wert x von μ entfernt liegt:

$$z=\frac{x-\mu }{\sigma }$$

Für die Körpergröße (μ = 172, σ = 8) ist $z(180)=1$ und $z(164)=-1$. Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung heißt Φ, und es gilt $F(x)=\Phi (z)$. Ihre Werte liefern Tabellen oder Software, etwa $\Phi (1)\approx 0,8413$; in den Aufgaben sind sie gegeben. Ein Jugendlicher mit 188 cm liegt 2σ über dem Mittel, einer mit 160 cm liegt 1,5σ darunter, $z=-1,5$.

Intervalle mit Φ

Ein Intervall ist eine Differenz, wie schon bei F. Man rechnet beide Grenzen um:

$$P(a\le X\le b)=\Phi (z_b)-\Phi (z_a)$$

$$z_a=\frac{a-\mu }{\sigma },z_b=\frac{b-\mu }{\sigma }$$

Für $P(168\le X\le 188)$ ist $z_a=-0,5$ und $z_b=2$, die Fläche also $\Phi (2)-\Phi (-0,5)$. Setzt man 168 und 188 direkt in Φ ein, rechnet man für eine andere Verteilung.

Negative z und „mindestens“

Tabellen enthalten oft nur positive z. Die Kurve ist symmetrisch, also sind die Ränder links von −z und rechts von z gleich groß: $\Phi (-z)=1-\Phi (z)$. Aus $\Phi (1)\approx 0,8413$ folgt $\Phi (-1)\approx 0,1587$. „Mindestens b“ ist das Gegenereignis: $P(X\ge b)=1-\Phi (z_b)$. Die Eingangsfrage: Wegen $z(188)=2$ und $\Phi (2)\approx 0,9772$ ist $P(X\ge 188)=1-0,9772=0,0228$, also sind etwa 2,3 % der Jugendlichen größer als 188 cm.

Die Sigma-Regeln

Bei jeder Normalverteilung hängt die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall um μ nur davon ab, wie viele σ breit es ist. Für die Sigma-Regeln gilt:

$$P(\mu -\sigma \le X\le \mu +\sigma )\approx 0,683$$

$$P(\mu -2\sigma \le X\le \mu +2\sigma )\approx 0,954$$

$$P(\mu -3\sigma \le X\le \mu +3\sigma )\approx 0,997$$

Für die Körpergröße heißt das: 68,3 % liegen in [164; 180], 95,4 % in [156; 188], 99,7 % in [148; 196]. Außerhalb von μ ± 2σ liegen nur etwa 4,6 %, außerhalb von μ ± 3σ etwa 0,3 %. Solche Werte sind ungewöhnlich, aber nicht unmöglich: 200 cm, also 3,5σ über μ, kommt selten vor. Die Prozente gelten für beide Seiten zusammen: Zwischen μ und μ + σ liegt nur die Hälfte von 68,3 %, also etwa 34,1 %.

Von der Wahrscheinlichkeit zum Intervall

Oft ist umgekehrt die Wahrscheinlichkeit P vorgegeben, und das um μ symmetrische Intervall wird gesucht. Die Restfläche 1 − P teilt sich auf beide Ränder, je $(1-P)/2$. Links der oberen Grenze liegt dann $\Phi (z)=\frac{1+P}{2}$.

Für P = 0,95 ist $\Phi (z)=0,975$, also $z=1,96$, und das Intervall lautet $[172-1,96\cdot 8;172+1,96\cdot 8]\approx [156,3;187,7]$. Ähnlich gehören 1,64σ zu 90 % und 2,58σ zu 99 %. Wer $\Phi (z)=0,95$ ansetzt, erhält nur ein 90-%-Intervall, weil links und rechts je 5 % übrig bleiben.