Quadratische Funktionen und Gleichungen

Die zweiten Differenzen

Die Faustformel der Fahrschule: Der Bremsweg in Metern ist $(v:10{)}^2$, dabei ist v die Geschwindigkeit in km/h. Bei 10, 20, 30, 40 und 50 km/h, also in gleichen Schritten von 10 km/h, sind das 1, 4, 9, 16 und 25 m. Der Weg wächst, aber nicht gleichmäßig: Die ersten Differenzen (der Zuwachs von Wert zu Wert) sind 3, 5, 7, 9 und wachsen selbst. Erst die zweiten Differenzen, die Zuwächse der Zuwächse, sind konstant: immer 2.

Genau das macht das quadratische Wachstum aus. Bei linearem Wachstum sind schon die ersten Differenzen gleich. Damit hat man ein Kennzeichen, das man in jeder Wertetabelle mit gleichen x-Schritten prüfen kann.

Doppelt so schnell, vierfacher Weg

Wer doppelt so schnell fährt, hat nicht den doppelten, sondern den vierfachen Bremsweg: Von 30 auf 60 km/h steigt der Weg von 9 m auf 36 m. Für jede Funktion $y=a\cdot x^2$ gilt: Verdoppelt man x, wird y viermal so groß, für jedes x und jedes a. Der Grund steckt im Quadrat: $(2x{)}^2=4x^2$. Wächst x auf das Dreifache, wächst y sogar auf das Neunfache. Der Gedanke „doppelte Geschwindigkeit, doppelter Weg“ fühlt sich richtig an und ist bei Quadraten doch falsch.

Die Symmetrie der Parabel

Trägt man die Punkte $(x\mid x^2)$ ein, entsteht die Normalparabel. Sie ist symmetrisch zur y-Achse: $(-3{)}^2=9=3^2$. Das Quadrat einer negativen Zahl ist also positiv, und x und −x haben denselben y-Wert. Ihr tiefster Punkt, der Scheitel, liegt im Ursprung, denn ein Quadrat ist nie negativ. Zum Punkt (3 | 9) gehört also immer auch der Spiegelpunkt (−3 | 9). Vorsicht bei der Schreibweise: $-3^2$ bedeutet $-(3^2)=-9$, nur $(-3{)}^2$ ist 9.

Der Faktor a

Die Normalparabel gehört zu $y=x^2$. Setzt man einen Faktor davor, $y=a\cdot x^2$, so wird sie gestreckt: Für $|a|>1$ wird sie schmaler, für $|a|<1$ breiter. Ist a negativ, öffnet sie sich nach unten, und der Scheitel ist dann der höchste statt der tiefste Punkt. Der Faktor a ändert die Form, nicht die Lage des Scheitels. Bei a = 2 ist zum Beispiel y(1) = 2 und y(2) = 8, bei a = 0,5 nur 0,5 und 2.

Die Verschiebung d und e

Verschiebungen beschreibt die Form $y=a(x+d{)}^2+e$. Der Summand e steht außerhalb der Klammer und verschiebt die Parabel um e nach oben, bei negativem e nach unten. Das d steht in der Klammer und wirkt vor dem Quadrieren: Bei $(x+2{)}^2$ ist die Klammer erst bei $x=-2$ null, also rutscht die Parabel um 2 nach links. Der Scheitel liegt bei $S(-d\mid e)$.

Nullstellen: keine, eine oder zwei

Eine Nullstelle ist ein x mit $f(x)=0$. Aus $a(x+d{)}^2+e=0$ folgt $(x+d{)}^2=-\frac{e}{a}$. Ein Quadrat ist nie negativ: Ist $-\frac{e}{a}$ negativ, gibt es keine Nullstelle, die Parabel schwebt über oder unter der Achse. Bei $e=0$ berührt sie die x-Achse nur im Scheitel: eine Nullstelle. Ist −e/a positiv, gibt es zwei, $x=-d\pm \sqrt{-e/a}$. Beispiel: $(x+1{)}^2-4=0$ hat die Lösungen $x=-3$ und $x=1$. So verraten schon die Vorzeichen von a und e, wie viele Nullstellen es gibt, ohne zu rechnen.

Das fehlende Quadrat

Wie liest man den Scheitel von $x^2+6x+4$ ab? Die Form $a(x+d{)}^2+e$ ist nicht zu sehen. Der Trick steckt in der ersten binomischen Formel, rückwärts gelesen. Legt man ein Quadrat der Seite x und zwei Streifen der Breite 3 zusammen, fehlt zum großen Quadrat noch ein Eckstück mit $3\cdot 3=9$. Also gilt $x^2+6x=(x+3{)}^2-9$. Das ist die quadratische Ergänzung: die Hälfte von 6 nehmen, quadrieren, ergänzen und gleich wieder abziehen. Häufige Fehler: die 6 nicht zu halbieren, also (x + 6)² zu schreiben, oder das Ergänzte nicht wieder abzuziehen. Ausmultipliziert ist $(x+3{)}^2=x^2+6x+9$, nicht $x^2+9$ und nicht $x^2+6x$.

Vom Term zum Scheitel

Damit wird aus $x^2+6x+4$ der Term $(x+3{)}^2-9+4=(x+3{)}^2-5$. Aus dieser Scheitelform liest man $S(-3\mid -5)$ ab. Steht vor dem x² ein Faktor, klammert man ihn zuerst aus den ersten beiden Summanden aus:

$$-x^2+4x+5=-(x^2-4x)+5=-((x-2{)}^2-4)+5=-(x-2{)}^2+9$$

Das Minus vor der großen Klammer dreht auch die −4 um, deshalb wird daraus +4. Der Scheitel ist $S(2\mid 9)$. Mit dem Scheitel lässt sich der Graph zeichnen: Scheitel eintragen, dann einige Punkte symmetrisch zu beiden Seiten.

Extremwert und Verlauf

Die Funktion $f(x)=-x^2+4x+5$ hat die Scheitelform $-(x-2{)}^2+9$. Wegen $a=-1$ öffnet die Parabel nach unten, der Scheitel $S(2\mid 9)$ ist ihr höchster Punkt. Der größte Funktionswert ist 9, einen kleinsten gibt es nicht. Die Wertemenge ist $W=\{y\mid y\le 9\}$. Beim Extremwert zählt die y-Koordinate: 9 ist der Wert, 2 die Stelle, an der er angenommen wird.

Auch der Verlauf hängt am Scheitel: Links davon steigt der Graph, rechts davon fällt er, bei $a>0$ ist es umgekehrt. Das nennt man das Monotonieverhalten.

Nullstellen, Vorzeichen, y-Achse

Die Nullstellen liest man dort ab, wo der Graph die x-Achse schneidet: bei $x=-1$ und $x=5$. Zwischen ihnen liegt die Parabel über der Achse, dort gilt $f(x)>0$, also für $-1<x<5$. Links von −1 und rechts von 5 ist $f(x)<0$. Den Schnittpunkt mit der y-Achse liefert $x=0$: $f(0)=5$, also (0 | 5). In der Form $a{x}^2+bx+c$ ist dieser y-Achsenabschnitt immer c. Vorsicht: Der Schnittpunkt ist (0 | c) und nicht (c | 0). Nullstellen sind x-Werte, der y-Achsenabschnitt ist ein y-Wert. Das Vorzeichen von f wechselt nur an den Nullstellen. Bei einer nach oben geöffneten Parabel ist es umgekehrt: Zwischen den Nullstellen liegt sie unter der Achse, dort ist $f(x)<0$.

Wurzelziehen und Ausklammern

Nicht jede quadratische Gleichung braucht die Lösungsformel. Steht links nur ein Quadrat und kein x-Term daneben, wie in $x^2=25$ oder $(x-1{)}^2=9$, zieht man die Wurzel und vergisst die zweite Lösung nicht: $x=5$ oder $x=-5$. Bei $x^2=-4$ gibt es keine Lösung. Fehlt das Absolutglied (die Zahl ohne x), wie in $x^2-7x=0$, klammert man x aus: $x(x-7)=0$. Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist, also $x=0$ oder $x=7$. Wer stattdessen durch x teilt, verliert die Lösung $x=0$. Die Probe dauert nur einen Schritt: Setzt man 5 und −5 in x² = 25 ein, stimmen beide.

Produktform und Methodenwahl

Steht die Gleichung schon als Produkt da, liest man die Lösungen sofort ab: $(x-3)(x+5)=0$ hat die Lösungen 3 und −5. Das gilt aber nur, wenn rechts null steht. Aus $(x-3)(x+5)=9$ folgt nicht $x-3=9$; dann multipliziert man aus und bringt alles auf eine Seite. Die Wahl in Kürze: nur ein Quadrat, Wurzel ziehen; kein Absolutglied, ausklammern; Produkt gleich null, Faktoren einzeln null setzen; sonst die Lösungsformel. Eine Skizze prüft das Ergebnis, denn die Lösungen sind die Nullstellen des Graphen. Ein Beispiel für die Wahl: 5x² − 20x = 0 klammert man aus, 3(x − 2)² = 12 löst man durch Wurzelziehen, und x² + 2x − 15 = 0 im Zweifel mit der Lösungsformel.

Die Lösungsformel

Für alle übrigen Fälle gibt es die Lösungsformel. Zuerst bringt man die Gleichung auf die Form $a{x}^2+bx+c=0$ und liest a, b und c mit Vorzeichen ab. Dann gilt

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Sie entsteht, wenn man $a{x}^2+bx+c=0$ quadratisch ergänzt. Beispiel: $2x^2+3x=5$ wird zu $2x^2+3x-5=0$ mit $a=2$, $b=3$, $c=-5$. Dann ist $x=\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{4}=\frac{-3\pm 7}{4}$, also $x_1=1$ und $x_2=-2,5$. Zwei Fehler kommen oft vor: das Vorzeichen von b vergessen (bei b = −6 ist −b = 6) und die 2a nur unter die Wurzel schreiben, dabei wird der ganze Zähler durch 2a geteilt.

Die Diskriminante

Der Term unter der Wurzel, $D=b^2-4ac$, entscheidet schon vor der weiteren Rechnung: Bei $D>0$ gibt es zwei Lösungen, bei $D=0$ genau eine, denn der Scheitel liegt dann auf der x-Achse, und bei $D<0$ keine, weil es aus einer negativen Zahl keine Wurzel gibt. Im Bild schneidet, berührt oder verfehlt die Parabel die x-Achse. So weiß man die Anzahl der Lösungen, bevor man rechnet. Beispiel: x² − 6x + 9 = 0 hat D = 36 − 36 = 0, also nur die Lösung x = 3; die Parabel berührt die Achse im Scheitel.

Drei Schreibweisen, ein Graph

Dieselbe Parabel lässt sich auf drei Arten aufschreiben. In der allgemeinen Form $f(x)=-x^2+4x+5$ ist die 5 der y-Achsenabschnitt. Die Scheitelpunktform $f(x)=-(x-2{)}^2+9$ zeigt den Scheitel $S(2\mid 9)$. Die Nullstellenform $f(x)=-(x+1)(x-5)$ zeigt die Nullstellen −1 und 5. Jede Form beantwortet eine Frage ohne Rechnung: Wo schneidet der Graph die y-Achse, wo liegt der Scheitel, wo liegen die Nullstellen? In der Nullstellenform sieht man auch die Öffnung: Der Vorfaktor −1 heißt nach unten.

Die passende Form wählen

Welche Form man braucht, sagt die Frage. Höchster Punkt gesucht: Scheitelpunktform. Wo trifft der Ball den Boden: Nullstellenform. Startwert bei $x=0$: allgemeine Form. Zwischen den Formen wechselt man mit bekannten Mitteln: Ausmultiplizieren führt zur allgemeinen Form, quadratische Ergänzung zur Scheitelpunktform, die Lösungsformel zu den Nullstellen. Man kann damit auch argumentieren: Wegen der Symmetrie liegt der Scheitel genau in der Mitte der Nullstellen, $x_S=\frac{x_1+x_2}{2}$. Bei −1 und 5 ist das $\frac{-1+5}{2}=2$. Für den Ball heißt das: Er landet bei x = 5; wie hoch er fliegt, sieht man erst in der Scheitelpunktform, nämlich 9.