Ganzrationale Funktionen

Summe von Potenzen

Streckt man die Potenzfunktionen $x^n$ mit $n=0,1,2,\dots$ mit je einer Zahl und addiert sie, entsteht eine ganzrationale Funktion:

$$f(x)=a_n{x}^n+\cdots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$$

Die Zahlen $a_i$ heißen Koeffizienten. Ganzrational sind zum Beispiel $x^3-2x+1$ und $7x^4$. Nicht ganzrational sind $\sqrt{x}$, $x^{-1}$ und $2^x$: Dort ist der Exponent keine Zahl 0, 1, 2, …, oder er enthält x. Der Summand ohne x, das Absolutglied, ist der Funktionswert $f(0)$: Dort schneidet der Graph die y-Achse. Die Bausteine im Bild zeigen ihre Rollen: a·x³ krümmt die Kurve, b·x neigt sie, und die Konstante verschiebt sie nur nach oben oder unten.

Grad und Koeffizienten

Der Grad ist der höchste Exponent, der wirklich vorkommt, gleich in welcher Reihenfolge die Summanden stehen: $6x^2-x^5+8x$ hat den Grad 5. Der Koeffizient dieses Summanden heißt Leitkoeffizient, hier $-1$, denn $-x^5=-1\cdot x^5$. Kommt eine Potenz nicht vor, ist ihr Koeffizient 0: In $x^4-3x+5$ steht bei $x^2$ die 0. Wird der Koeffizient der höchsten Potenz null, fällt der Summand weg, und der Grad sinkt. Grad 1 heißt linear, Grad 2 quadratisch, Grad 3 kubisch; eine konstante Funktion wie $f(x)=4$ hat den Grad 0.

Führender Term

Für große Beträge von x überholt eine höhere Potenz jede niedrigere, auch wenn deren Koeffizient viel größer ist. Bei $f(x)=x^3-5x^2$ ist $f(10)=500$, aber $10^3=1000$; bei $x=1000$ liegt f nur noch 0,5 % unter $x^3$. Die höchste Potenz, der führende Term $a_n{x}^n$, entscheidet also, wohin der Graph außen läuft.

Vier Fälle

Wie der Graph außen verläuft, sagen zwei Angaben: ob der Grad gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat. Wir schreiben $x\to -\infty$ für „sehr weit links“ und $x\to +\infty$ für „sehr weit rechts“. Bei geradem Grad zeigen beide Ränder in dieselbe Richtung, weil $(-x{)}^n=x^n$: nach oben bei positivem, nach unten bei negativem Leitkoeffizienten. Bei ungeradem Grad zeigen sie entgegengesetzt: Bei positivem Leitkoeffizienten läuft der Graph links nach unten und rechts nach oben, bei negativem umgekehrt.

Faktorisierte Form

Steht der Term als Produkt, muss man nicht ausmultiplizieren: Die Grade der Faktoren addieren sich, die Leitkoeffizienten multiplizieren sich. Die Funktion $f(x)=-2(x+1)(3x-6)$ hat den führenden Term $-2\cdot 1\cdot 3x^2=-6x^2$. Bei $(kx-1)(x+2)(x-2)$ ist er $k{x}^3$: Für $k=0$ fällt der Faktor mit x weg, und der Grad sinkt auf 2. In beiden Fällen sieht man das Verhalten am Rand, ohne die Klammern aufzulösen.

Nullstellen aus der Produktform

Eine Nullstelle ist ein x mit $f(x)=0$. Ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist; deshalb sucht man zuerst die Produktform. Bei $x^3-4x$ hilft Ausklammern: $x(x-2)(x+2)$ hat die Nullstellen 0, 2 und −2. Nie durch x teilen, sonst geht x = 0 verloren! Zu jeder Nullstelle $x_0$ gehört der Linearfaktor $(x-x_0)$; der Faktor $(x+3)$ gehört also zur Nullstelle $-3$, nicht zu 3. Jeder Linearfaktor liefert genau eine Nullstelle; deshalb hat eine Funktion vom Grad n höchstens n Nullstellen.

Vielfachheit

Kommt ein Faktor mehrfach vor, etwa $(x-1{)}^3$, hat die Nullstelle 1 die Vielfachheit 3, den Exponenten des Faktors. Die Vielfachheiten aller Nullstellen ergeben zusammen höchstens den Grad. Sie bestimmen das Bild an der Achse: Bei Vielfachheit 1 schneidet der Graph die x-Achse, bei Vielfachheit 2 (gerade) berührt er sie nur und kehrt um, bei Vielfachheit 3 schneidet er sie waagerecht (Sattel). Nur bei ungerader Vielfachheit wechselt das Vorzeichen. Ein Beispiel: $x^2(x-3)$ hat bei 0 die Vielfachheit 2 und bei 3 die Vielfachheit 1, zusammen 3, den Grad.

Substitution

Eine biquadratische Gleichung hat die Form $a{x}^4+b{x}^2+c=0$: nur $x^4$, $x^2$ und eine Konstante. Wegen $x^4=(x^2{)}^2$ ersetzt man $z=x^2$ und erhält eine quadratische Gleichung. Aus $x^4-5x^2+4=0$ wird $z^2-5z+4=0$ mit den Lösungen z = 1 und z = 4. Diese Gleichung löst man wie in der neunten Klasse, mit Faktorisieren oder der Lösungsformel.

Rücksubstitution

Die z-Lösung ist noch keine Nullstelle. Wegen $z=x^2$ folgt aus z = 4 sowohl x = 2 als auch x = −2, aus z = 1 entsprechend x = ±1. Jedes positive z gibt zwei x-Werte, z = 0 genau einen (x = 0), ein negatives z keinen, denn ein Quadrat ist nie negativ. So hat $x^4+x^2-6=0$ mit z = 2 und z = −3 nur die zwei Lösungen $\pm \sqrt{2}$. Möglich sind also 0 bis 4 Lösungen. Fehlt die Konstante, klammert man auch aus: $x^4-9x^2=x^2(x^2-9)=0$ gibt x = 0 und x = ±3, also drei Lösungen.

Gerade und ungerade Exponenten

Die Potenzfunktion $x^n$ hat eine Symmetrie, die vom Exponenten abhängt. Ist n gerade, gilt $(-x{)}^n=x^n$: Der Graph liegt spiegelbildlich zur y-Achse, er ist achsensymmetrisch. Ist n ungerade, gilt $(-x{)}^n=-x^n$: Eine Drehung um 180° um den Ursprung bildet den Graphen auf sich ab, er ist punktsymmetrisch. Für Summen heißt das: Nur gerade Exponenten ergeben Achsensymmetrie, nur ungerade Punktsymmetrie; ein Gemisch ergibt keine von beiden. So ist $x^4-3x^2+2$ achsensymmetrisch und $x^3-4x$ punktsymmetrisch.

f(−x) prüfen

Rechnerisch prüft man die Symmetrie mit $f(-x)$. Kommt $f(x)$ heraus, ist der Graph achsensymmetrisch; kommt $-f(x)$ heraus, punktsymmetrisch. Bei $f(x)=x^3+2x$ ist $f(-x)=-x^3-2x=-f(x)$. Achtung beim Einsetzen: $(-x{)}^3=-x^3$, aber $(-x{)}^2=x^2$. Der gestrichelte Graph im Bild gehört zu $f(-x)$; er fällt nur dann mit f zusammen, wenn f achsensymmetrisch ist.

Absolutglied und Symmetrie

Das Absolutglied ist ein Summand mit dem geraden Exponenten 0, denn $c=c\cdot x^0$. Es stört deshalb die Punktsymmetrie: $x^3-3x$ ist punktsymmetrisch zum Ursprung, $x^3-3x+2$ nicht. Für die Achsensymmetrie ist die Konstante harmlos. Gerader Grad allein genügt nie: $x^4+x$ enthält mit x einen ungeraden Exponenten und hat weder die eine noch die andere Symmetrie.

Fünf Schritte

Für die Skizze braucht man keinen Plotter, nur den Term. Beispiel: $f(x)=\frac{1}{2}(x+2)(x-1{)}^2(x-3)$. Erstens: Der führende Term ist $\frac{1}{2}{x}^4$, also gehen beide Ränder nach oben. Zweitens: Die Nullstellen −2, 1 (doppelt) und 3 eintragen. Drittens: den y-Achsenabschnitt $f(0)=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1\cdot (-3)=-3$ markieren. Viertens: die Symmetrie prüfen, hier ohne Ergebnis. Fünftens: die Kurve durch diese Punkte ziehen. Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein, aber Nullstellen, Vorzeichen und Ränder müssen stimmen.

Vorzeichen zwischen den Nullstellen

Zwischen zwei benachbarten Nullstellen ändert sich das Vorzeichen nicht, denn dazu müsste die Kurve die Achse durchqueren. Ein Kontrollwert genügt: $f(2)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 1\cdot (-1)=-2$, also liegt f zwischen 1 und 3 unter der Achse. An einer Nullstelle wechselt das Vorzeichen nur bei ungerader Vielfachheit; bei x = 1 (doppelt) bleibt f negativ, der Graph berührt die Achse nur.

Plotter-Kontrolle

Ein Funktionenplotter zeigt nur ein Fenster. Die Funktion $f(x)=(x-7)(x^2+1)/25$ hat bei x = 7 eine Nullstelle, im Fenster von −5 bis 5 sieht man sie nicht. Ein Bild ohne Nullstelle beweist also nichts. Man rechnet die Nullstellen selbst und nutzt den Plotter, um Nullstellen, Vorzeichen und Ränder zu kontrollieren, mit einem Fenster, das die berechneten Stellen einschließt.

Grad und Vorzeichen lesen

Aus einem Graphen erhält man für den Grad nur eine Untergrenze. Jede Nullstelle zählt mit ihrer Vielfachheit, ein Schnittpunkt mindestens 1, ein Berührpunkt mindestens 2; der Grad ist mindestens die Summe. Die Ränder liefern den Rest: Zeigen beide in dieselbe Richtung, ist der Grad gerade, sonst ungerade, und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten steht am rechten Rand (oben: positiv). Eine Funktion vom Grad 3 und eine vom Grad 5 können dieselben Nullstellen und Ränder haben; der Graph legt den Grad nur als Untergrenze fest. Ein Beispiel: Schneidet ein Graph die x-Achse einmal und berührt sie einmal, ist der Grad mindestens 1 + 2 = 3.

Ansatz

Sind die Nullstellen bekannt, schreibt man für jede einen Linearfaktor auf, für einen Berührpunkt mit dem Exponenten 2. Für die Nullstellen −3, 1 (Berührpunkt) und 2 lautet der Ansatz $f(x)=a(x+3)(x-1{)}^2(x-2)$. Den Faktor a legt ein weiterer Punkt fest: Geht der Graph durch $(0\mid 3)$, gilt $a\cdot 3\cdot 1\cdot (-2)=3$, also $a=-0,5$. Zur Kontrolle muss das Vorzeichen von a zu den Rändern passen: Bei Grad 4 und a < 0 zeigen beide nach unten. Ein zweiter Punkt prüft den Ansatz: Stimmt er nicht, war eine Vielfachheit falsch gewählt.