Prozentrechnung

In der 6a fahren 11 von 25 Kindern mit dem Rad, in der 6b 9 von 20. Welche Klasse hat den größeren Anteil? Mit Stückzahlen lässt sich das schlecht vergleichen, denn die Klassen sind verschieden groß. Man braucht ein gemeinsames Maß: Prozent kommt vom lateinischen „pro centum“ und heißt „von Hundert“ – ein Ganzes, egal wie groß, wird auf 100 Teile gebracht.

Das Hundertfeld zeigt das: Es hat 100 gleich große Kästchen, jedes Kästchen ist 1 %. Sind 42 Kästchen gefärbt, sind es 42 %. Die übrigen 58 Kästchen sind der Rest, und beide zusammen ergeben immer 100 %.

Hat das Ganze nicht 100 Teile, rechnet man auf 100 um: Teile und Ganzes werden mit demselben Faktor multipliziert. In der 6b ist 20 · 5 = 100, also werden aus 9 Kindern 9 · 5 = 45 von 100: 45 %. In der 6a ist 25 · 4 = 100 und 11 · 4 = 44: nur 44 %. Die 6b hat den größeren Anteil, obwohl dort weniger Kinder radeln.

Am leichtesten geht das Umrechnen, wenn das Ganze 100 teilt: Bei 5 Teilen ist jedes Teil 20 %, bei 10 Teilen 10 %, bei 20 Teilen 5 %, bei 25 Teilen 4 %, bei 50 Teilen 2 %. Bei anderen Ganzen, etwa 7 Teilen, kommen keine glatten Zahlen heraus; dann rundet man das Ergebnis. Und 100 % ist immer das ganze Ganze: alle Kästchen, alle Kinder, der ganze Preis.

Vorsicht: 45 % heißt nicht „45 Kinder“. Die Prozentzahl sagt, wie viele von hundert gemeint sind – nicht, wie viele es wirklich gibt.

Zurück zu Lenas Satz. Der Pullover kostet 50 €, das Fahrrad 200 €, beide bekommen 20 % Rabatt. Beim Pullover sind 20 % ein Fünftel von 50 €, das sind 10 €. Beim Fahrrad sind es 40 €. Derselbe Prozentsatz, aber ein anderer Betrag – weil sich die Prozente auf verschiedene Ganze beziehen. Man muss deshalb immer fragen: Prozent wovon?

Dieses Ganze heißt Grundwert G und entspricht 100 %. Der Teil davon ist der Prozentwert W, die Prozentzahl der Prozentsatz p.

Im Text erkennt man den Grundwert oft an dem Wort „von“: „Von 60 kg Äpfeln sind 15 % faul.“ Grundwert sind die 60 kg, der Prozentsatz ist 15 %, der Prozentwert ist die faule Menge. Bei einer Preisänderung ist der alte Preis der Grundwert.

Ein zweites Beispiel: An einer Schule mit 400 Kindern und an einer mit 250 Kindern fahren jeweils 20 % mit dem Zug. Trotzdem sind es an der ersten Schule 80 und an der zweiten nur 50 Kinder. Ein Prozentsatz beschreibt einen Anteil, keine Anzahl.

Heikel wird es bei Änderungen: „Der Preis wurde um 50 € gesenkt, das sind 20 %.“ Die 20 % beziehen sich auf den alten Preis, denn 50 € sind ein Fünftel von 250 €. Vom neuen Preis, 200 €, wären 50 € schon 25 %.

Wie viel sind 35 % von 80 €? Der Streifen zeigt den Weg in zwei Schritten. Erst bestimmt man 1 %, das ist ein Hundertstel des Grundwerts: 80 € : 100 = 0,80 €. Dann nimmt man das Ergebnis mit dem Prozentsatz mal: 35 · 0,80 € = 28 €. Das ist die Schlussrechnung über 1 %.

In einer Zeile heißt das:

$$W=G:100\cdot p$$

Das ist die Grundgleichung der Prozentrechnung. Die Prozentzahl 35 ist dabei kein Betrag: 35 % von 80 € sind nicht 35 €.

Noch ein Beispiel: Wie viel sind 12 % von 250 €? Es gilt 1 % = 250 € : 100 = 2,50 € und 12 · 2,50 € = 30 €. Zur Kontrolle hilft eine Schätzung: 10 % wären 25 €, 12 % müssen ein wenig mehr sein. Und bei einem Prozentsatz unter 100 % ist der Prozentwert immer kleiner als der Grundwert.

Im Kopf geht es oft schneller mit Stützwerten: 10 % sind ein Zehntel, 50 % die Hälfte. Andere Sätze setzt man daraus zusammen. 5 % ist die Hälfte von 10 %, also sind 15 % von 80 € gleich 8 € + 4 € = 12 €.

Nicht immer ist der Prozentwert gesucht. Prozentsatz gesucht: Wie viel Prozent sind 12 von 48? Der Anteil ist 12 : 48 = 0,25, mit 100 malgenommen sind das 25 %. Als Formel:

$$p=W:G\cdot 100\%$$

Der Prozentwert steht im Zähler, der Grundwert im Nenner – und das „· 100 %“ darf nicht fehlen.

Grundwert gesucht: 20 % eines Preises sind 30 €. Wie teuer war das Rad? Rückwärts über 1 %: 20 % sind 30 €, also ist 1 % gleich 30 € : 20 = 1,50 €, und 100 % sind 100 · 1,50 € = 150 €. Nicht 30 € : 100 · 20 = 6 €: Der Grundwert ist das Ganze und muss größer sein als sein Teil.

Jede Rückwärtsaufgabe lässt sich durch eine Probe prüfen: Bei G = 150 € sind 20 % gleich 150 € : 100 · 20 = 30 € – das passt zur Aufgabe. Ein zweites Beispiel für den Prozentsatz: Jonas erreicht 42 von 60 Punkten, das sind 42 : 60 = 0,7, also 70 %.

Bevor man rechnet, benennt man deshalb, was gegeben und was gesucht ist: G, W oder p? Erst danach wählt man den Weg.

Rabatt. Ein Fahrrad kostet 240 €, es gibt 15 % Rabatt. Der Rabatt ist der Prozentwert: 15 % von 240 € = 36 €. Der neue Preis ist Preis minus Rabatt: 240 € − 36 € = 204 €. Der Rabatt ist also der abgezogene Betrag, nicht der neue Preis. Kürzer geht es so: Bei 15 % Rabatt bezahlt man noch 85 % des Preises, und 85 % von 240 € sind wieder 204 €.

Zins. Wer Geld anlegt, bekommt Zinsen. Das Kapital ist der Grundwert, der Zinssatz der Prozentsatz, die Zinsen sind der Prozentwert – für ein Jahr. Bei 800 € und 2,5 % sind das 800 € : 100 · 2,5 = 20 €. Nach einem Jahr liegen 800 € + 20 € = 820 € auf dem Konto – die Zinsen sind die 20 €, nicht die 820 €.

Zwei Rabatte. Erst 20 % Rabatt, dann noch 10 % auf den neuen Preis: Sind das 30 %? Bei 100 € sinkt der Preis erst auf 80 €. Der zweite Rabatt gilt für 80 €, nicht für 100 €: 10 % von 80 € sind 8 €, der Endpreis ist 72 €. Insgesamt sind es 28 %, denn der zweite Rabatt hat einen neuen Grundwert.

Bei einer Schulumfrage lag die Beteiligung im ersten Jahr bei 50 %, im zweiten bei 60 %. Um wie viel ist sie gestiegen? Der Abstand zweier Prozentsätze heißt Prozentpunkte: 60 % − 50 % = 10 Prozentpunkte.

Fragt man dagegen „um wie viel Prozent?“, bezieht man die Änderung auf den alten Wert: Er ist der Grundwert. 10 von 50 sind 10 : 50 = 0,2, also 20 %. Derselbe Anstieg sind also 10 Prozentpunkte und 20 %.

In Zeitungstexten kommt es auf das genaue Wort an: Steigt ein Zinssatz von 2 % auf 3 %, ist das ein Anstieg um 1 Prozentpunkt, aber um 50 % des alten Zinssatzes. „Ein Prozent mehr“ ist deshalb mehrdeutig. Prozentpunkte rechnet man durch Subtraktion, eine Änderung in Prozent mit der Grundgleichung.

Ein zweites Beispiel: Eine Partei fällt von 24 % auf 20 %. Die Zeitung schreibt „minus 4 Prozentpunkte“ – das stimmt. „Minus 4 Prozent“ wäre falsch, denn 4 von 24 sind etwa 16,7 %. Wer nur das Wort „Prozent“ liest, versteht den Text falsch. Achte deshalb auf die Wörter „Punkte“ und „Prozent“.

Zeitungen schreiben selten „14,3 %“, sondern „jeder Siebte“ oder „drei von fünf“. „Jeder Siebte“ heißt: eine von je 7 Personen, also der Bruch 1/7. Auf 100 gebracht sind das 100 : 7 ≈ 14 %.

Achtung: „Jeder Siebte“ sind nicht 7 %. Der Nenner 7 zählt die Personen, nicht die Prozent.

Bei „drei von fünf“ erweitert man auf 100: 5 · 20 = 100, also 3 · 20 = 60 – das sind 60 %, nicht 35 %. Bei „jeder Vierte“ sind es 25 %, bei „jeder Fünfte“ 20 %. Weitere Umformungen: „jeder Zweite“ ist die Hälfte (50 %), „jeder Zehnte“ sind 10 %, und „zwei von drei“ sind 2/3 ≈ 67 %.

Solche Angaben kann man nachprüfen. „Von 40 Befragten sagen 15 ja – das sind 35 %“: Man rechnet den Prozentsatz selbst aus, 15 : 40 = 0,375 = 37,5 %. Die Angabe im Text stimmt also nicht. Dieses Nachrechnen lohnt sich immer, wenn eine Prozentzahl auffällig klingt: Hat man Grundwert und Teil, ist der Prozentsatz schnell ausgerechnet.