Skalarprodukt und Vektorprodukt

Die Rechenvorschrift

Zwei Vektoren lassen sich zu einer Zahl verrechnen. Das Skalarprodukt multipliziert die Komponenten paarweise und addiert die drei Produkte:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3$$

Für $\vec{a}=(1;2;3)$ und $\vec{b}=(4;-1;2)$ ist $\vec{a}\cdot \vec{b}=4-2+6=8$. Das Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor: Die Produkte bleiben nicht als Spalte stehen, sondern werden addiert. Auch negative Komponenten sind erlaubt: $(3;2;-1)\cdot (2;-4;1)=6-8-1=-3$. Das Ergebnis darf positiv, null oder negativ sein. In der Physik ist es die Arbeit $W=\vec{F}\cdot \vec{s}$; was die Zahl geometrisch aussagt, klärt der nächste Abschnitt.

Länge und Rechengesetze

Multipliziert man einen Vektor mit sich selbst, entstehen lauter Quadrate: $\vec{a}\cdot \vec{a}=a_1^2+a_2^2+a_3^2=|\vec{a}{|}^2$. Das Skalarprodukt mit sich selbst ist das Quadrat der Länge, also $|\vec{a}|=\sqrt{\vec{a}\cdot \vec{a}}$. Für $(1;2;2)$ ist $\vec{a}\cdot \vec{a}=9$ und die Länge 3. Das ist derselbe Betrag wie im vorigen Kurs, jetzt als Wurzel aus einem Skalarprodukt geschrieben.

Für Skalarprodukte gelten die vertrauten Gesetze: $\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{b}\cdot \vec{a}$, $\vec{a}\cdot (\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}$ und $(s\vec{a})\cdot \vec{b}=s(\vec{a}\cdot \vec{b})$. Daraus folgt $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$: Die Länge einer Summe hat ein Mischglied. Ein Assoziativgesetz gibt es nicht, denn $\vec{b}\cdot \vec{c}$ ist schon eine Zahl. Zur Probe: Für $(1;0;0)$ und $(0;1;0)$ ist $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=2$, nicht $(1+1{)}^2=4$.

Die Winkelformel

Zwei Vektoren, die im selben Punkt beginnen, spannen eine Ebene auf. In dieser Ebene schließen sie einen Winkel φ zwischen 0° und 180° ein, und dort sieht man ihn in wahrer Größe. Das Skalarprodukt misst, wie stark die beiden Vektoren in dieselbe Richtung zeigen:

$$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \phi ⟺\cos \phi =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$$

Für $\vec{a}=(1;1;0)$ und $\vec{b}=(0;1;1)$ ist $\vec{a}\cdot \vec{b}=1$ und $|\vec{a}||\vec{b}|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, also $\cos \phi =\frac{1}{2}$ und $\phi =60°$. Im Nenner steht das Produkt der Längen, nicht ihre Summe. Warum die Formel stimmt, zeigt der Kosinussatz im Dreieck aus a, b und b − a: $|\vec{b}-\vec{a}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2|\vec{a}||\vec{b}|\cos \phi$. Nach den Rechengesetzen ist die linke Seite $|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$; der Vergleich liefert die Formel.

Weil die Längen positiv sind, hat $\cos \phi$ das Vorzeichen von $\vec{a}\cdot \vec{b}$: Bei positivem Skalarprodukt ist der Winkel spitz, bei 0 ein rechter, bei negativem stumpf. Den Winkel selbst liefert die Taste ${\cos }^{-1}$; ihr Ergebnis liegt immer zwischen 0° und 180°.

Winkel im Dreieck

Im Dreieck ABC liegt der Winkel β bei B zwischen den Vektoren $\overrightarrow{BA}$ und $\overrightarrow{BC}$, denn beide beginnen in B. Für $A(5\mid 1\mid 0)$, $B(1\mid 1\mid 0)$ und $C(4\mid 4\mid 0)$ ist $\overrightarrow{BA}=(4;0;0)$ und $\overrightarrow{BC}=(3;3;0)$, also $\cos \beta =\frac{12}{4\sqrt{18}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ und $\beta =45°$.

Wer $\overrightarrow{AB}$ statt $\overrightarrow{BA}$ nimmt, misst den Nebenwinkel $180°-\beta =135°$: Die beiden Vektoren müssen am Eckpunkt zusammenstoßen. Und wann ist $\beta$ genau 90°? Dann ist $\cos \beta =0$ – davon handelt der nächste Abschnitt.

Der Orthogonalitätstest

Bei $\phi =90°$ ist $\cos \phi =0$, also muss der Zähler der Winkelformel null sein. Für Vektoren, die nicht der Nullvektor sind, gilt deshalb:

$$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\vec{a}\cdot \vec{b}=0$$

Für $\vec{a}=(2;1;-2)$ und $\vec{b}=(1;2;2)$ ist $\vec{a}\cdot \vec{b}=2+2-4=0$: Die Vektoren sind orthogonal. Im Schrägbild sieht man das nicht, denn rechte Winkel werden verzerrt gezeichnet. Entscheiden kann nur die Rechnung. Anschaulich heißt $\vec{a}\cdot \vec{b}=0$: Keiner der beiden Vektoren hat einen Anteil in Richtung des anderen.

Vorsicht: Bei Zahlen folgt aus $a\cdot b=0$, dass ein Faktor null ist. Bei Vektoren nicht: $(1;0;0)\cdot (0;1;0)=0$, und keiner ist der Nullvektor. Nur der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

Parameter und rechte Winkel

Oft steckt ein Parameter im Vektor. Für $\vec{b}(t)=(t;2;3)$ ist $\vec{a}\cdot \vec{b}(t)=2t+2-6=2t-4$. Man setzt die Summe gleich null und löst: $t=2$. Die einzelnen Produkte gleich null zu setzen wäre falsch. Steht der Parameter im Quadrat, etwa $t^2-16=0$, gibt es zwei Lösungen, $t=\pm 4$, und beide gehören dazu.

So prüft man auch Figuren: Ein rechter Winkel bei B im Dreieck ABC bedeutet $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=0$. Beim Dreieck PQR unten liegt er bei Q, denn $\overrightarrow{QP}\cdot \overrightarrow{QR}=2+2-4=0$ – im Bild ist er nicht zu erkennen. Auch in einer Raute stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander.

Der senkrechte Vektor

Zu zwei Vektoren, die nicht parallel sind, gibt es einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht. Das leistet das Vektorprodukt:

$$\vec{a}\times \vec{b}=\left(\begin{array}{c}{a}_2{b}_3-a_3{b}_2\\ a_3{b}_1-a_1{b}_3\\ a_1{b}_2-a_2{b}_1\end{array}\right)$$

Jede Komponente ist eine Differenz zweier Produkte, und die Indizes laufen zyklisch weiter (1, 2, 3, 1, 2). Für $\vec{a}=(1;1;0)$ und $\vec{b}=(0;1;2)$ ist $\vec{a}\times \vec{b}=(2;-2;1)$. Anders als das Skalarprodukt ist das Ergebnis ein Vektor. Die Probe macht das Skalarprodukt: $(2;-2;1)\cdot (1;1;0)=0$ und $(2;-2;1)\cdot (0;1;2)=0$. Das gilt immer: Setzt man a × b in $\vec{a}\cdot (\vec{a}\times \vec{b})$ ein, heben sich die sechs Produkte paarweise auf.

Reihenfolge und Parallelität

Die Reihenfolge zählt: $\vec{b}\times \vec{a}=-(\vec{a}\times \vec{b})$. Der Vektor klappt in die Gegenrichtung, seine Länge bleibt; ein Kommutativgesetz gibt es nicht. Die Richtung gibt die Rechte-Hand-Regel an: Zeigt der Daumen in Richtung a und der Zeigefinger in Richtung b, zeigt der Mittelfinger in Richtung a × b.

Sind a und b parallel, ist das Vektorprodukt der Nullvektor: $(1;1;0)\times (2;2;0)=(0;0;0)$. Umgekehrt zeigt $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{o}$ nur Parallelität an, nicht, dass ein Vektor der Nullvektor ist. Jedes Vielfache von $\vec{a}\times \vec{b}$ steht ebenfalls senkrecht auf beiden – man darf also kürzen.

Parallelogramm und Sinus

Zwei Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm auf. Sein Flächeninhalt ist die Länge des Vektorprodukts:

$$A=|\vec{a}\times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}|\sin \phi$$

Für $\vec{a}=(1;1;0)$ und $\vec{b}=(0;1;2)$ ist $\vec{a}\times \vec{b}=(2;-2;1)$ und $|\vec{a}\times \vec{b}|=\sqrt{4+4+1}=3$. Der zweite Ausdruck erklärt die Formel: $h=|\vec{b}|\sin \phi$ ist die Höhe über der Grundseite a, und $|\vec{a}|\cdot h$ ist „Grundseite mal Höhe“. Bei $\phi =90°$ ist die Fläche am größten, ein Rechteck mit $|\vec{a}||\vec{b}|$; bei 0° oder 180° ist sie 0, die Vektoren sind parallel, wie bei $\vec{a}\times \vec{b}=\vec{o}$.

Das Dreieck

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm: $A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$. Beide Vektoren müssen im selben Eckpunkt beginnen. Für $A(1\mid 0\mid 0)$, $B(3\mid 1\mid 2)$ und $C(2\mid 3\mid 1)$ ist $\overrightarrow{AB}=(2;1;2)$, $\overrightarrow{AC}=(1;3;1)$ und $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-5;0;5)$. Die Länge ist $5\sqrt{2}$, das Dreieck hat also $A=\frac{5}{2}\sqrt{2}\approx 3,54$. Welche zwei der drei Seitenvektoren man nimmt, ist gleichgültig, solange sie sich in einem Eckpunkt treffen.

Die Ortsvektoren OB und OC gehören dagegen zum Dreieck OBC, nicht zu ABC. Und es ist dieselbe Fläche wie in der Mittelstufe: $\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}|\sin \gamma$ – nur braucht das Vektorprodukt weder eine Höhe noch einen Winkel.

Der Spat

Drei Vektoren a, b und c, die nicht in einer Ebene liegen, spannen einen Spat auf. Seine Grundfläche ist das Parallelogramm aus a und b mit dem Flächeninhalt $|\vec{a}\times \vec{b}|$. Die Höhe misst c in Richtung des senkrechten Vektors $\vec{a}\times \vec{b}$, und das steckt im Skalarprodukt: $h=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|/|\vec{a}\times \vec{b}|$. Also:

$$V=|\vec{a}\times \vec{b}|\cdot h=|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$$

Die Zahl $(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}$ heißt Spatprodukt: erst das Vektorprodukt, dann das Skalarprodukt. Für $\vec{a}=(1;1;0)$, $\vec{b}=(0;1;2)$ und $\vec{c}=(1;0;4)$ ist $(2;-2;1)\cdot (1;0;4)=6$, das Volumen also 6. Das Spatprodukt kann negativ sein, ein Volumen nicht – deshalb der Betrag. Vertauscht man a und b, wechselt das Spatprodukt sein Vorzeichen, das Volumen bleibt. Schiebt man c parallel zur Ebene von a und b, ändert sich das Volumen nicht: Nur die Höhe zählt.

Pyramide und Tetraeder

Eine Pyramide hat das Volumen $\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$. Steht sie auf dem Parallelogramm aus a und b und liegt ihre Spitze am Ende von c, haben Pyramide und Spat dieselbe Grundfläche und Höhe: $V=\frac{1}{3}|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$, im Beispiel von oben 2. Ein Tetraeder steht nur auf dem halben Parallelogramm, dem Dreieck: $V=\frac{1}{6}|(\vec{a}\times \vec{b})\cdot \vec{c}|$, dort 1.

Ist das Spatprodukt 0, liegen a, b und c in einer Ebene: Der Spat ist flach, sein Volumen 0.

Winkel an Körpern

Legt man einen Körper in ein Koordinatensystem, wird jede Kante zum Vektor. Beim Würfel mit der Kante a ist $\overrightarrow{AB}=(a;0;0)$ und die Raumdiagonale $\overrightarrow{AG}=(a;a;a)$. Für den Winkel φ zwischen beiden gilt $\cos \phi =\frac{a^2}{a\cdot a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, also $\phi \approx 54,7°$ – für jede Kantenlänge.

Die Mittelstufe kommt zum selben Ergebnis: Das Dreieck ABG ist bei B rechtwinklig, mit AB = a und AG = a·√3 ist $\cos \phi =a/(a\sqrt{3})$. Zwei Wege, ein Ergebnis: Wer beide kennt, kontrolliert den einen mit dem anderen und wählt den kürzeren. Winkel im Schrägbild abzumessen führt dagegen in die Irre.

Figuren und Volumen

Auch Figuren weist man mit Vektoren nach: Ein Viereck ABCD ist ein Rechteck, wenn $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (Parallelogramm) und $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0$ (rechter Winkel) gilt. Für das Zelt ABCDS mit $A(0\mid 0\mid 0)$, $B(4\mid 0\mid 0)$, $C(4\mid 4\mid 0)$, $D(0\mid 4\mid 0)$ und $S(2\mid 2\mid 3)$ liefert das Spatprodukt $V=\frac{1}{3}|(\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD})\cdot \overrightarrow{AS}|=\frac{1}{3}\cdot 48=16$. Die Mittelstufe gibt $\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 3=16$, dieselbe Zahl.

Auch eine Dachseite rechnet man doppelt: $\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}|=\frac{1}{2}\sqrt{208}\approx 7,21$ und mit der Seitenhöhe $\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{13}\approx 7,21$. Stimmen beide Wege überein, ist die Rechnung verlässlich. Welcher Weg kürzer ist, hängt von der Lage ab: Liegt die Grundfläche in einer Koordinatenebene, ist $\frac{1}{3}Gh$ kürzer; liegt der Körper schief, das Spatprodukt. Wer den Lösungsweg begründet und den zweiten zur Kontrolle nutzt, rechnet sicherer.