Symmetrie und Grundkonstruktionen

Der Spiegelpunkt

Ein Schmetterling, ein Kirchenfenster, ein Ornament: Beide Hälften sind Spiegelbilder, und die Faltlinie dazwischen ist die Symmetrieachse g. Jeder Punkt P hat auf der anderen Seite seinen Spiegelpunkt P′, auch Bildpunkt genannt.

Zwei Regeln legen P′ fest. Erstens hat P′ von der Achse denselben Abstand wie P, nur auf der anderen Seite. Zweitens steht die Strecke PP′ senkrecht auf der Achse. Der Abstand wird also immer senkrecht zur Achse gemessen, in welche Richtung die Achse auch zeigt. Ein Punkt auf der Achse bleibt, wo er ist. So zeichnest du einen Spiegelpunkt: Fälle vom Punkt aus das Lot auf die Achse und trage denselben Abstand auf der anderen Seite noch einmal ab.

Achsensymmetrische Figuren

Eine Figur ist achsensymmetrisch, wenn die Spiegelung an einer Achse sie auf sich selbst abbildet: Jeder Punkt der Figur hat seinen Spiegelpunkt wieder in der Figur. Beim Falten decken sich dann die beiden Hälften, und die Faltlinie ist die Achse, auch wenn sie schräg liegt. Ein gleichseitiges Dreieck hat drei solche Achsen, ein Quadrat vier. Ein allgemeines Parallelogramm sieht ausgewogen aus, deckt sich aber bei keiner Spiegelung mit sich selbst.

Die Achse muss nicht senkrecht oder waagerecht sein. Beim Rechteck im Bild passt das Spiegelbild (rot) nur bei genau zwei Richtungen der Achse auf das Original (gelb); bei jeder anderen Richtung entsteht ein gedrehtes Rechteck.

Achse und Mitte

Vom Spiegelpunkt wissen wir: P und P′ haben denselben Abstand zur Achse g, und PP′ steht senkrecht auf g. Die Achse trifft die Strecke PP′ also genau in ihrer Mitte M, und zwar im rechten Winkel. Eine Gerade mit dieser Eigenschaft heißt Mittelsenkrechte der Strecke.

Beide Bedingungen gehören zusammen. Eine Senkrechte durch einen anderen Punkt der Strecke ist keine Mittelsenkrechte, und eine Gerade durch die Mitte, die schräg steht, ebenso wenig. Daher gilt: Die Symmetrieachse ist die Mittelsenkrechte von PP′. Liegen P und P′ etwa waagerecht nebeneinander, ist die Achse senkrecht und geht durch die Mitte dazwischen.

Gleicher Abstand

Nimm irgendeinen Punkt X auf der Achse. Bei der Spiegelung bleibt X, wo er ist, und P wandert nach P′. Die Spiegelung ändert keine Längen und keine Winkel, also ist XP = XP′. Jeder Punkt der Achse ist von P und P′ gleich weit entfernt – nicht nur die Mitte M. Auch umgekehrt: Auf der Seite von P ist jeder Punkt näher an P, auf der Seite von P′ näher an P′. Gleich weit entfernt ist nur, wer auf der Achse liegt.

Das hilft beim Suchen: Kennst du nur ein Punktpaar P, P′, findest du die Achse als Mittelsenkrechte von PP′. Ein zweites Paar derselben Figur dient dann nur zur Kontrolle.

Spiegeln an einem Punkt

Bei der Punktspiegelung gibt es statt einer Achse einen Punkt, das Zentrum Z. Der Spiegelpunkt P′ von P liegt auf der Geraden durch P und Z, auf der anderen Seite von Z, und hat denselben Abstand zu Z: ZP′ = ZP. Das Zentrum ist also die Mitte der Strecke PP′.

Das Bild ist um 180° um Z gedreht, wie der Zeiger einer Uhr nach einer halben Runde. Das unterscheidet die Punktspiegelung von der Achsenspiegelung: Dort wechselt P nur die Seite der Achse, hier dreht sich alles um Z. Viele Spielkarten und ein Windrad mit zwei Flügeln sehen nach einer halben Drehung genauso aus.

Punktsymmetrische Figuren

Eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn die Spiegelung an einem Zentrum Z sie auf sich abbildet. Nach einer halben Drehung um Z sieht sie genauso aus. Für jeden Punkt der Figur liegt Z dann in der Mitte zwischen ihm und seinem Bildpunkt, zum Beispiel zwischen gegenüberliegenden Ecken.

Ein Parallelogramm, das weder Rechteck noch Raute ist, ist punktsymmetrisch, hat aber keine Symmetrieachse. Sein Zentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Punkt- und Achsensymmetrie sind also verschiedene Eigenschaften. Das Rechteck hat beides. Ein gleichseitiges Dreieck hat nur Achsen: Nach einer halben Drehung steht seine Spitze unten.

Die Mittelsenkrechte

Konstruieren heißt: nur mit Zirkel und Lineal zeichnen, so wie es schon Euklid um 300 v. Chr. in seinen „Elementen“ tat. Die Mittelsenkrechte der Strecke AB entsteht in vier Schritten:

1. Stelle den Zirkel auf einen Radius r, der größer als die halbe Strecke AB ist. Er bleibt für beide Bögen gleich.
2. Zeichne einen Kreisbogen um A.
3. Zeichne mit demselben r einen Kreisbogen um B. Beide schneiden sich in S₁ und S₂.
4. Zeichne die Gerade durch S₁ und S₂.

Warum stimmt das? S₁ und S₂ sind von A und B je r entfernt, also gleich weit. Solche Punkte liegen auf der Mittelsenkrechten. Ist r kleiner als die halbe Strecke, treffen sich die Bögen gar nicht.

Das Lot fällen

Ein Lot auf eine Gerade g steht senkrecht auf g. Liegt der Punkt P nicht auf g, fällst du das Lot so: Zeichne einen Kreis um P, der g in zwei Punkten A und B schneidet, und konstruiere dann die Mittelsenkrechte von AB. Sie geht durch P, denn P ist von A und B gleich weit entfernt.

Der Schnittpunkt F mit g heißt Fußpunkt. Die Länge PF ist der Abstand von P zu g. Denn von allen Strecken, die P mit einem Punkt von g verbinden, ist das Lot die kürzeste. Deshalb misst man den Abstand eines Punktes zu einer Geraden immer entlang des Lots und nie schräg.

Das Lot errichten

Liegt P schon auf g, errichtest du das Lot in P: Ein Kreis um P mit beliebigem Radius schneidet g in A und B, und P ist die Mitte von AB, denn PA = PB. Die Mittelsenkrechte von AB steht senkrecht auf g und geht durch P. Die Bögen um A und B brauchen wieder einen Radius, der größer ist als die halbe Strecke AB, sonst treffen sie sich nicht.

Der Trick ist beide Male derselbe: Ein Lot ist die Mittelsenkrechte einer Strecke, die man sich zuerst mit einem Kreis erzeugt. Wer die Mittelsenkrechte beherrscht, beherrscht damit auch beide Lote.

Winkel halbieren

Ein Winkel α mit dem Scheitel S und den Schenkeln s₁ und s₂ ist achsensymmetrisch: Die Spiegelung an einer Geraden durch S bildet s₁ auf s₂ ab. Diese Achse ist die Winkelhalbierende. Sie teilt α in zwei gleich große Winkel, jeder misst α/2.

1. Zeichne einen Kreisbogen um S. Er schneidet s₁ in A und s₂ in B.
2. Zeichne um A und um B Bögen mit demselben Radius. Sie schneiden sich in C.
3. Zeichne die Gerade durch S und C.

Warum stimmt das? S und C sind beide von A und B gleich weit entfernt (SA = SB und CA = CB). Also liegen sie auf der Mittelsenkrechten von AB, und diese spiegelt A auf B, also s₁ auf s₂.

Gleicher Abstand zu den Schenkeln

Wähle einen Punkt P auf der Winkelhalbierenden und fälle die Lote auf beide Schenkel. Ihre Längen sind die Abstände von P zu s₁ und s₂, und sie sind gleich: Die Spiegelung an der Winkelhalbierenden lässt P fest und bildet s₁ auf s₂ ab, also auch das eine Lot auf das andere.

Abstand zu einer Geraden heißt immer die Länge des Lots, nicht der Weg zum Scheitel. Achtung: Im Dreieck teilt die Winkelhalbierende den Winkel, nicht die gegenüberliegende Seite in zwei gleiche Teile. Diese Verwechslung mit der Seitenhalbierenden ist häufig.

Ortslinien

Eine Ortslinie ist die Menge aller Punkte, die eine Abstandsbedingung erfüllen. Sind sie von einem Punkt M genau r entfernt, entsteht der Kreis um M – nur die Kreislinie, nicht die Fläche: Ein Hund an einer straff gespannten Leine läuft auf ihr, an einer lockeren Leine auch im Inneren. Sind sie von einer Geraden g genau r entfernt, entstehen zwei Parallelen zu g, eine auf jeder Seite.

Und wer von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten von AB, nicht nur in der Mitte der Strecke. Bei den beiden Schenkeln eines Winkels ist es die Winkelhalbierende.

Abstandsprobleme lösen

Zwei Ortslinien lösen ein Abstandsproblem, wenn man ihre Schnittpunkte sucht. Ein Brunnen soll von den Dörfern A, B und C gleich weit entfernt sein. Gleich weit von A und B: Mittelsenkrechte von AB. Gleich weit von B und C: Mittelsenkrechte von BC. Ihr Schnittpunkt O ist von allen drei Dörfern gleich weit entfernt. Der Kreis um O durch A, B und C heißt Umkreis.

Zuerst wird die Situation in ein Modell übersetzt (Punkte und Strecken), dann konstruiert, dann das Ergebnis am Sachproblem geprüft. Das Ergebnis gilt nur im Modell. Wir haben mit Punkten und Luftlinien gerechnet. In Wirklichkeit gibt es Wege, Hindernisse und Dörfer mit Ausdehnung: Der Brunnen könnte im See liegen, und der Fußweg ist nicht überall gleich lang.

Symmetrien der Vierecke

Das Quadrat hat vier Achsen: die beiden Diagonalen und die beiden Mittellinien durch die Seitenmitten. Beim Rechteck bleiben nur die beiden Mittellinien, die Diagonalen sind keine Achsen. Bei der Raute mit vier gleich langen Seiten ist es umgekehrt: Ihre Achsen sind die beiden Diagonalen. Der Drachen (keine Raute) hat eine Achse, die Diagonale zwischen den gleich langen Seitenpaaren. Das gleichschenklige Trapez (kein Rechteck) hat eine Achse durch die Mitten der beiden parallelen Seiten. Das Parallelogramm (weder Rechteck noch Raute) hat keine Achse.

Ein Zentrum haben Parallelogramm, Rechteck, Raute und Quadrat: Es ist der Schnittpunkt der Diagonalen. Drachen und gleichschenkliges Trapez sind im allgemeinen Fall nicht punktsymmetrisch.

Das Haus der Vierecke

Ordnet man die Vierecke nach ihren Eigenschaften, entsteht das Haus der Vierecke. Ein Viereck mit mehr Eigenschaften ist ein Spezialfall der Vierecke mit weniger: Das Quadrat hat alle Symmetrien von Raute und Rechteck und ist deshalb beides. Die Raute ist zugleich Parallelogramm und Drachen, das Rechteck ein Parallelogramm und ein gleichschenkliges Trapez.

„Ein Quadrat ist kein Rechteck“ ist ein häufiger Irrtum: Er verwechselt das Ordnen nach Eigenschaften mit dem Sortieren in getrennte Schubladen. Symmetrie ist auch ein Gestaltungsprinzip: Schmetterlingsflügel, Blüten, Kirchenfenster, Ornamente und Logos nutzen Achsen und Zentren.