Teiler, Primzahlen und Zählen

Lege 24 Plättchen in gleich lange Reihen. Mit 4 Reihen zu je 6 geht es genau auf, mit 5 Reihen bleiben 4 Plättchen übrig. Die Zahl 4 ist also ein Teiler von 24, weil $24=4\cdot 6$ ohne Rest gilt. Man schreibt $4\mid 24$. Die Zahl 5 ist kein Teiler von 24, denn $24:5=4$ Rest 4. Ein Teiler teilt eine Zahl also restlos in gleich große Gruppen.

Teiler kommen paarweise. Jede Malaufgabe mit dem Ergebnis 24 liefert zwei: Aus $3\cdot 8=24$ werden 3 und 8. Alle Teiler von 24 bilden die Teilermenge $T_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}$. Die 1 und die Zahl selbst sind immer dabei, denn 1 · 24 gibt es immer. Ein Teiler ist nie größer als die Zahl.

Von der anderen Seite gesehen ist 24 ein Vielfaches von 4. Die Vielfachen von 4 findest du durch Weiterspringen in Viererschritten: $V_4=\{4,8,12,16,\dots \}$. Diese Reihe hört nie auf, und jede Zahl ist auch ein Vielfaches von sich selbst. Merke dir die Richtung: Der Teiler ist die kleinere Zahl, das Vielfache die größere.

Ob eine Zahl durch 2, 5 oder 10 teilbar ist, siehst du an ihrer letzten Ziffer. Das ist kein Zufall, es lässt sich begründen.

Nimm 375. Das sind 37 Zehner und 5 Einer: $375=10\cdot 37+5$. Eine Zehnerreihe hat 10 Punkte, nach fünf Punkten ist eine Lücke. Sie geht in Zweierpaare, in Fünferreihen und im Ganzen in Zehnerpakete auf, denn $10=2\cdot 5$. Viele volle Zehnerreihen gehen also immer auf, egal wie viele es sind. Einen Rest können nur die losen Einer lassen.

Daraus folgen die Regeln:

• Durch 2 teilbar: Endziffer 0, 2, 4, 6 oder 8.
• Durch 5 teilbar: Endziffer 0 oder 5.
• Durch 10 teilbar: Endziffer 0.

Bei 375 gehen die 5 Einer in Fünfer auf, aber nicht in Zweier. Also ist 375 durch 5 teilbar, nicht aber durch 2 oder 10. Ein zweites Beispiel: 1285 sind 128 Zehner und 5 Einer. Die 128 Zehner gehen auf, die 5 Einer bilden genau eine Fünferreihe. Also ist 1285 durch 5 teilbar, aber bei Zweierpaaren bliebe ein Einer übrig.

Nur die letzte Ziffer zählt. Die Zahl 5 462 351 hat viele gerade Ziffern, endet aber auf 1 und ist deshalb nicht durch 2 teilbar. Und eine Null am Ende gehört zu beiden Regeln: 3480 ist durch 5 und durch 10 teilbar.

Die Quersumme

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Bei 4827 ist sie $4+8+2+7=21$. Für die Teilbarkeit durch 3 gilt: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die 21 ist gleich $3\cdot 7$, also ist 4827 durch 3 teilbar. Die Endziffer hilft hier nicht: 2419 endet auf 9, hat aber die Quersumme 16 und ist nicht durch 3 teilbar. Ein zweites Beispiel: 7236 hat die Quersumme 18, also ist 7236 durch 3 teilbar.

Warum die Regel stimmt

Jeder Hunderter ist $100=99+1$ und jeder Zehner $10=9+1$. Die Zahlen 99 und 9 sind Vielfache von 3. Bei 348 gilt deshalb $348=(3\cdot 99+4\cdot 9)+(3+4+8)=333+15$. Der erste Teil geht immer durch 3 auf. Übrig bleibt je ein Punkt pro Hunderter, Zehner und Einer, und das ist die Quersumme. Genauso gilt es bei Tausendern, denn 1000 = 999 + 1.

Teilbarkeit durch 6

Wegen $6=2\cdot 3$ ist eine Zahl durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Man muss beides prüfen: 4810 ist gerade, hat aber die Quersumme 13. 4815 hat die Quersumme 18, ist aber ungerade. Erst 4812 erfüllt beide Regeln, und es gilt 4812 : 6 = 802. Auch 1236 ist gerade und hat die Quersumme 12, also ist 1236 durch 6 teilbar.

Nur ein Rechteck

13 Plättchen lassen sich nur auf eine Weise zu einem Rechteck legen: in einer Reihe zu 13. Jede andere Reihenzahl lässt Plättchen übrig. Die Zahl 13 hat genau zwei Teiler, $T_{13}=\{1,13\}$. Solche Zahlen heißen Primzahlen. Zahlen mit mehr als zwei Teilern heißen zusammengesetzt, zum Beispiel $12=3\cdot 4$ und $35=5\cdot 7$.

Die 1 hat nur einen Teiler und ist keine Primzahl. Die 2 ist die einzige gerade Primzahl, denn jede andere gerade Zahl hat den Teiler 2. Aber ungerade heißt nicht prim: $9=3\cdot 3$ und $15=3\cdot 5$. Primzahlen sind die Bausteine der Zahlen: Jede andere Zahl lässt sich aus ihnen zusammensetzen, wie du im nächsten Abschnitt siehst.

Das Sieb des Eratosthenes

Wie findest du alle Primzahlen bis 100? Schreibe die Zahlen von 1 bis 100 auf und streiche die 1. Kreise die 2 ein und streiche alle ihre Vielfachen. Die nächste Zahl, die nicht gestrichen ist, ist die 3: einkreisen, Vielfache streichen. So geht es mit 5 und 7 weiter. Mehr musst du nicht sieben: Wären beide Faktoren einer zusammengesetzten Zahl mindestens 11, wäre die Zahl mindestens $11\cdot 11=121$, also größer als 100. Jede zusammengesetzte Zahl bis 100 hat also einen Teiler aus 2, 3, 5 oder 7. Übrig bleiben die 25 Primzahlen bis 100. Es gibt unendlich viele Primzahlen, aber je größer die Zahlen, desto seltener trifft man im Schnitt auf eine.

Der Faktorbaum

Jede Zahl größer als 1 lässt sich in Primzahlen zerlegen. Dazu dient der Faktorbaum: Zerlege die Zahl in zwei Faktoren, dann jeden Faktor weiter, bis am Ende jedes Astes eine Primzahl steht. Bei 360 ist $360=36\cdot 10$ ein guter Anfang, dann folgen $36=6\cdot 6$ $6=2\cdot 3$ und $10=2\cdot 5$. Unten stehen 2, 3, 2, 3, 2 und 5. Kurz schreibst du das mit Potenzen: $360=2^3\cdot 3^2\cdot 5$. Der Exponent zählt, wie oft der Faktor vorkommt. Also ist 2³ gleich 2 · 2 · 2 = 8 und nicht 2 · 3.

Eine Zerlegung, viele Wege

Für 60 kannst du mit 6 · 10 oder mit 4 · 15 beginnen. Die Bäume sehen verschieden aus, aber unten stehen dieselben Primzahlen: $60=2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$. Das gilt immer: Die Primfaktorzerlegung ist eindeutig, nur die Reihenfolge der Faktoren kann wechseln. Deshalb ist die 1 keine Primzahl. Sonst wären 6 = 2 · 3 und 6 = 1 · 2 · 3 zwei verschiedene Zerlegungen, und man könnte beliebig viele Einsen anhängen.

Teilbarkeitsregeln nutzen

Wer die Teilbarkeitsregeln kennt, findet erste Faktoren ohne Probieren. Bei 420 sagt die Endziffer 0: durch 10 teilbar, also $420=10\cdot 42$ mit $10=2\cdot 5$. Die 42 ist gerade, also $42=2\cdot 21$. Die 21 hat die Quersumme 3 und ist durch 3 teilbar: $21=3\cdot 7$. Also gilt $420=2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 7$. Zur Probe multiplizierst du zurück: 4 · 3 · 5 · 7 = 420.

Die Kantine bietet 2 Vorspeisen (Suppe, Salat) und 3 Hauptgerichte (Nudeln, Pizza, Fisch) an. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich? Ein Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Jede Entscheidung ist eine Stufe: Zuerst die Vorspeise, dann an jedem Ast das Hauptgericht. Ein Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt ist genau ein Menü, zum Beispiel Suppe – Pizza.

Gezählt werden die Blätter, nicht die Äste. Zeichne den Baum Stufe für Stufe: Von jedem Knoten gehen alle Möglichkeiten der nächsten Stufe aus. Dann fehlt nichts, und nichts kommt doppelt vor. Beim Aufschreiben hilft eine feste Reihenfolge: erst alle Menüs mit Suppe, dann alle mit Salat. Statt der Wörter genügen Kürzel wie S und A.

Multiplizieren statt Zeichnen

Im Baumdiagramm hängen an jedem der $a$ Äste der ersten Stufe $b$ Äste der zweiten. Es gibt also $a\cdot b$ Blätter: 3 Trikotfarben und 4 Hosenfarben geben $3\cdot 4=12$ Möglichkeiten. Das ist das Zählprinzip: Wer nacheinander wählt, multipliziert die Zahl der Möglichkeiten jeder Stufe. Es gilt auch bei mehr als zwei Stufen. Ein Zahlenschloss mit 3 Rädchen, jedes mit den Ziffern 0 bis 9, hat $10\cdot 10\cdot 10=1000$ Einstellungen. Ein Baum dazu hätte 1000 Blätter. Jedes weitere Rädchen multipliziert mit 10. Deshalb sind längere Passwörter viel sicherer: Mit jedem Zeichen multipliziert sich die Zahl der Möglichkeiten mit der Zahl der Zeichen, aus denen man wählen kann.

Wann darf man multiplizieren?

Das Zählprinzip passt, wenn die Entscheidungen nacheinander fallen. Es kann sich aber ändern, wie viele Möglichkeiten eine Stufe hat: Drei Kinder A, B und C setzen sich nacheinander auf drei Stühle. Das erste hat 3 Stühle zur Wahl, das zweite noch 2, das dritte nur noch 1. Das sind $3\cdot 2\cdot 1=6$ Sitzordnungen, ohne dass ein Kind zweimal vorkommt.

Bei „entweder – oder“ wird dagegen nicht multipliziert. Wählt ein Kind einen von 3 Säften oder einen von 2 Tees, sind es $3+2=5$ Möglichkeiten.