Thaleskreis und Dreieckskonstruktionen

Drei Mittelsenkrechten, ein Punkt

Drei Dörfer liegen in A, B und C. Wo muss der Brunnen O stehen, damit er von allen dreien gleich weit entfernt ist? Gleich weit von A und B heißt: O liegt auf der Mittelsenkrechten von AB. Gleich weit von B und C heißt: O liegt auf der Mittelsenkrechten von BC. Beide Geraden schneiden sich in genau einem Punkt, das ist O. Die dritte Mittelsenkrechte geht dann ebenfalls durch O, denn aus $OA=OB$ und $OB=OC$ folgt $OA=OC$.

Der Kreis um O durch A, B und C heißt Umkreis des Dreiecks. Sein Radius ist der Abstand von O zu einer Ecke.

Wo liegt der Mittelpunkt?

Senke im Bild die Ecke C mit dem Regler nach unten. Solange alle Winkel spitz sind, liegt O im Dreieck. Wird der Winkel $\gamma$ bei C ein rechter, wandert O genau in die Mitte der Seite AB, die dem rechten Winkel gegenüberliegt. Diese Seite heißt Hypotenuse. Bei einem stumpfen Winkel liegt O außerhalb des Dreiecks.

Der Umkreismittelpunkt kann also überall liegen, und die drei Mittelsenkrechten treffen sich trotzdem immer. Nur wenn A, B und C auf einer Geraden liegen, gibt es keinen Umkreis, denn die Mittelsenkrechten sind dann parallel. Der rechte Winkel wird uns gleich wieder begegnen.

Drei Winkelhalbierende, ein Punkt

Ein Kiosk soll von den drei Straßen eines Dreiecks gleich weit entfernt stehen. Der Abstand zu einer Geraden wird senkrecht gemessen. Punkte, die von beiden Schenkeln eines Winkels gleich weit entfernt sind, liegen auf seiner Winkelhalbierenden. Der Kiosk I liegt also auf der Winkelhalbierenden bei A und auf der bei B. Diese beiden schneiden sich in I, und die dritte Winkelhalbierende geht ebenfalls durch I. Der Kreis um I, der alle drei Seiten von innen berührt, heißt Inkreis.

Der Radius steht senkrecht

Der Radius $\rho$ des Inkreises ist der Abstand von I zu einer Seite: Man fällt das Lot von I auf die Seite, sein Fußpunkt ist der Berührpunkt. Die Strecke von I zu einer Ecke ist länger und kein Radius. Der Inkreismittelpunkt liegt immer im Dreieck, auch bei einem stumpfen Winkel.

Merke dir den Unterschied. Beim Umkreis ist der Punkt von den Ecken gleich weit entfernt und liegt auf den Mittelsenkrechten. Beim Inkreis ist der Punkt von den Seiten gleich weit entfernt und liegt auf den Winkelhalbierenden.

Ein Halbkreis-Versuch

Zeichne eine Strecke AB. Ihre Mitte M findest du mit der Mittelsenkrechten. Der Kreis um M durch A und B hat AB als Durchmesser und heißt Thaleskreis über AB; sein Radius ist AB : 2. Wähle einen Punkt C auf dem Kreis und verbinde ihn mit A und B. Bewege C mit dem Regler und beobachte den Winkel $\gamma$ bei C: Er ist immer 90°.

Das ist der Satz des Thales, der Thales von Milet zugeschrieben wird: Liegt C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB, dann ist der Winkel bei C ein rechter. Messen zeigt aber nur einzelne Fälle. Ob es immer stimmt, klärt erst ein Beweis.

Der Beweis

Verbinde C mit dem Mittelpunkt M. Die Strecken MA, MB und MC sind Radien und gleich lang. Das Dreieck AMC ist deshalb gleichschenklig, seine Basiswinkel bei A und bei C sind gleich; nenne sie α. Das Dreieck MBC ist ebenfalls gleichschenklig, seine Basiswinkel bei B und bei C heißen β. Für die Winkelsumme im Dreieck ABC gilt:

$$\alpha +\beta +(\alpha +\beta )=180°$$

Also ist $\alpha +\beta =90°$, und das ist genau der Winkel bei C. Der Beweis gilt für jede Lage von C, nicht nur für gemessene.

Nur mit dem Durchmesser

Der Beweis lebt von MA = MB = MC. Das gilt nur, wenn AB ein Durchmesser ist und C auf dem Kreis liegt. Liegt C innerhalb des Kreises, ist γ größer als 90°, liegt C außerhalb, ist γ kleiner. Und eine Sehne AB, die nicht durch M geht, hat keinen Thaleskreis: Für sie ist der Winkel bei C nicht 90°.

Die Umkehrung

Der Satz des Thales sagt: Wenn C auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann ist $\gamma =90°$. Tauscht man Voraussetzung und Behauptung, entsteht die Umkehrung: Wenn $\gamma =90°$ ist, dann liegt C auf dem Thaleskreis über AB.

Ob eine Umkehrung wahr ist, muss man extra beweisen. Aus „Wenn es regnet, ist die Straße nass“ folgt nicht „Wenn die Straße nass ist, regnet es“. Beim Satz des Thales ist die Umkehrung aber wahr. Die Seite gegenüber dem rechten Winkel ist also Durchmesser des Umkreises, und ihre Mitte M ist der Umkreismittelpunkt: $MC=AB:2$.

Beweis mit einem Rechteck

Gegeben ist ein Dreieck mit rechtem Winkel bei C. Spiegle C am Mittelpunkt M von AB; der Spiegelpunkt heißt C′. M halbiert AB und CC′, also ist ACBC′ ein Parallelogramm. Es hat bei C einen rechten Winkel, und benachbarte Winkel im Parallelogramm ergänzen sich zu 180°: Alle vier Winkel sind 90°, es ist ein Rechteck.

Seine Diagonalen sind gleich lang und halbieren sich, also gilt MA = MB = MC = MC′. Damit liegt C auf dem Kreis um M durch A und B. Satz und Umkehrung zusammen: C liegt auf dem Thaleskreis über AB genau dann, wenn $\gamma =90°$ ist.

Tangente und Berührradius

Eine Gerade kann einen Kreis auf drei Arten treffen: Eine Passante trifft ihn gar nicht, eine Sekante schneidet ihn in zwei Punkten, eine Tangente berührt ihn in genau einem Punkt T. Die Strecke MT heißt Berührradius. Bewege T mit dem Regler: Die Tangente steht immer senkrecht auf MT, und ihr Abstand von M ist der Radius. Darum errichtet man die Tangente in einem Punkt T des Kreises einfach als Lot auf MT.

Tangenten von einem Punkt aus

Gegeben sind ein Kreis k um M und ein Punkt P außerhalb. Gesucht sind die Tangenten durch P. Ein Berührpunkt T muss $\angle MTP=90°$ erfüllen. Nach dem Satz des Thales und seiner Umkehrung liegen genau die Punkte mit diesem Winkel auf dem Thaleskreis über MP. So geht die Konstruktion:

1. Die Mitte N von MP mit der Mittelsenkrechten bestimmen.
2. Den Kreis um N durch M und P zeichnen.
3. Die Schnittpunkte T₁ und T₂ mit k markieren.
4. Die Geraden PT₁ und PT₂ zeichnen.

Begründung: T₁ liegt auf dem Thaleskreis, also ist $\angle M{T}_{1}P=90°$, und PT₁ steht senkrecht auf dem Berührradius. Von einem Punkt außerhalb gibt es zwei Tangenten. Liegt P auf dem Kreis, gibt es genau eine, im Inneren keine.

Die Planfigur

Bevor du zeichnest, skizzierst du eine Planfigur: ein Dreieck aus freier Hand mit beschrifteten Ecken und den gegebenen Stücken. Beispiel: c = 7 cm, b = 5 cm und h_c = 4 cm. Die Planfigur muss nicht maßstabsgetreu sein (schalte um), aber die Angaben müssen an der richtigen Stelle stehen. Sie zeigt, welche Ecke noch fehlt, und damit die Reihenfolge: Mit AB = c beginnst du, weil dort zwei Ecken feststehen. Gesucht ist die Ecke C.

Die Höhe ist ein Abstand

Die Höhe h_c ist der Abstand der Ecke C von der Geraden AB. Alle Punkte mit dem Abstand 4 cm von AB liegen auf zwei Parallelen zu AB, eine auf jeder Seite; wähle die obere. Außerdem ist AC = b = 5 cm, also liegt C auf dem Kreis um A mit dem Radius 5 cm. C ist ein Schnittpunkt von Parallele und Kreis. Es können zwei sein, dann gibt es zwei verschiedene Dreiecke. Bei h_c = 5 cm ist es einer. Ist die Höhe größer als b, gibt es keinen, denn C kann nicht weiter von AB entfernt sein als von A.

Beschreibung und Thaleskreis

Die Konstruktionsbeschreibung hält jeden Schritt in Worten fest, in der Reihenfolge des Zeichnens. Beispiel: ein rechtwinkliges Dreieck mit $\gamma =90°$, c = 10 cm und h_c = 4,8 cm.

1. Zeichne AB = 10 cm.
2. Zeichne die Parallele p zu AB im Abstand 4,8 cm.
3. Zeichne den Thaleskreis über AB.
4. Die Schnittpunkte von p und Thaleskreis sind C₁ und C₂.
5. Zeichne das Dreieck ABC₁.

Warum der Thaleskreis? Ein rechter Winkel bei C bedeutet nach der Umkehrung des Thalessatzes: C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Die beiden Lösungen sind Spiegelbilder, also kongruent; die Seiten sind 6 cm und 8 cm lang.

Vom Text zur Zeichnung

Wie breit ist ein Fluss? Am Ufer ist die Strecke AB = 60 m abgesteckt. Ein Baum C am anderen Ufer wird von A unter α = 50° und von B unter β = 70° angepeilt. Modellieren heißt: Ufer und Baum werden Punkte, die Situation wird ein Dreieck. Nach der Planfigur zeichnest du es im Maßstab 1 : 1000. Dann entspricht 1 cm in der Zeichnung 1000 cm = 10 m in Wirklichkeit, und AB ist 6 cm lang.

Die Flussbreite ist die Höhe von C über AB. Gemessen sind etwa 5,0 cm, das sind rund 50 m. Diese Rückübersetzung mit einem Antwortsatz gehört zur Lösung. Die Genauigkeit ist begrenzt: Ein Fehler von 1 mm in der Zeichnung wären schon 1 m in Wirklichkeit.

Welches Modell passt?

Viele Aufgaben lassen sich auf eine Konstruktion zurückführen. Ein Brunnen soll von drei Orten gleich weit entfernt sein: Gleicher Abstand zu Punkten führt auf die Mittelsenkrechten, der Brunnen ist der Umkreismittelpunkt. Ein Kiosk soll von drei Straßen gleich weit entfernt sein: Gleicher Abstand zu Geraden führt auf die Winkelhalbierenden, der Kiosk ist der Inkreismittelpunkt. Und ein rechter Blickwinkel auf eine Strecke AB führt auf den Thaleskreis.

Prüfe am Ende das Ergebnis: Passt die Einheit? Liegt der Ort sinnvoll? Der Umkreismittelpunkt kann außerhalb des Dreiecks liegen, der Brunnen dann im Nachbarfeld, und Dörfer sind in Wirklichkeit keine Punkte.