Ableitung von Sinus und Kosinus

Auf und ab

Die Sinuskurve kennst du aus der 10. Klasse. Jetzt fragen wir, wie steil sie in jedem Punkt ist, also nach der Steigung ihrer Tangente (aus der 11. Klasse: dem Grenzwert der Sekantensteigungen, der Ableitung an dieser Stelle). Ziehe den Punkt P über die Kurve: Solange sin x wächst, steigt auch die Tangente, ihre Steigung ist positiv. Wo die Kurve fällt, ist die Steigung negativ. Auf dem Hochpunkt bei $x=\frac{\pi }{2}$ und im Tiefpunkt bei $x=\frac{3\pi }{2}$ liegt die Tangente waagrecht, die Steigung ist 0.

Achte auf die beiden Zahlen unter der Figur. Die Höhe sagt, wo die Kurve liegt, die Steigung, wie sie dort verläuft. Beide können verschiedene Vorzeichen haben.

Steil ist nicht hoch

Wo ist die Kurve am steilsten? Viele tippen auf den Hochpunkt, denn dort ist die Höhe am größten. Doch Höhe und Steigung sind zwei verschiedene Größen: Am Hochpunkt ist die Steigung 0. Am steilsten verläuft die Kurve an den Nullstellen. Das Steigungsdreieck zeigt es: Von P geht es eine Einheit nach rechts, dann so weit hinauf oder hinab, wie die Tangente dort ansteigt. Bei $x=0$ ist das eine Einheit hinauf, die Steigung ist 1. Bei $x=\pi$ geht es eine Einheit hinab: die Steigung ist −1.

Fünf Werte zum Merken: Bei $x=0,\frac{\pi }{2},\pi ,\frac{3\pi }{2},2\pi$ hat die Sinuskurve die Steigung $1,0,-1,0,1$. Die Werte dazwischen fügt der nächste Abschnitt zu einer eigenen Kurve zusammen.

Die Steigungskurve entsteht

Aus den fünf Werten des letzten Abschnitts machen wir eine Kurve. Zu jedem x tragen wir die Steigung m der Sinuskurve als neuen Punkt Q(x | m) in dasselbe Koordinatensystem ein. Ziehe x₀ nach rechts: Bei $x=0$ liegt Q in der Höhe 1, bei $\frac{\pi }{2}$ in der Höhe 0, bei $\pi$ in der Höhe −1. Dazwischen füllen sich die grünen Punkte zu einer glatten Wellenkurve, die bei 1 startet, bei $\frac{3\pi }{2}$ wieder durch 0 geht und bei $2\pi$ zum Anfangswert 1 zurückkehrt.

Erst raten, dann nachsehen: Diese Kurve kennst du aus der 10. Klasse. Welche ist es?

Die Ableitung von sin

Es ist der Kosinus. Die Funktion, die jedem x die Steigung der Kurve zuordnet, heißt Ableitungsfunktion oder kurz Ableitung. Für den Sinus gilt

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$$

Das ist stimmig: Die Sinuskurve steigt bei 0 am stärksten, und der Kosinus hat dort sein Maximum 1. Sie hat ihren Hochpunkt bei $\frac{\pi }{2}$, und der Kosinus hat dort seine Nullstelle. Wo sie fällt, liegt der Kosinus unter der x-Achse.

Im Bild stimmen die Steigung von sin und der Wert $\cos x_0$ an jeder Stelle überein. Bei $x=\frac{\pi }{3}$ ist die Steigung $\cos \frac{\pi }{3}=0,5$. Achtung, Bogenmaß: Die Formel gilt nur, wenn x im Bogenmaß gemessen wird. Für die Steigung bei $x=1$ muss der Rechner auf RAD stehen und $\cos 1\approx 0,54$ zeigen; im Gradmodus würde er $\cos 1^{\circ }\approx 1,00$ liefern.

Die Steigung von cos

Jetzt dieselbe Methode beim Kosinus. Ziehe x₀ und beobachte die Kosinuskurve: Sie fällt von 1 bei $x=0$ bis −1 bei $x=\pi$, ihre Steigung ist dort negativ, am steilsten (−1) bei $\frac{\pi }{2}$. Am Hochpunkt bei 0 und am Tiefpunkt bei π ist sie 0. Danach steigt die Kurve bis $2\pi$, die Steigung ist positiv und bei $\frac{3\pi }{2}$ gleich 1.

Die grünen Punkte zeichnen die Steigungskurve: den an der x-Achse gespiegelten Sinus. Deshalb gilt

$$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$$

Das Minuszeichen ist kein Zufall. Zwischen 0 und π ist $\sin x$ positiv, die Kosinuskurve aber fällt: Ohne das Minus hätte die Ableitung das falsche Vorzeichen. Die Steigung ist übrigens nicht der Funktionswert: Bei $x=\frac{\pi }{2}$ ist $\cos \frac{\pi }{2}=0$, die Steigung aber −1.

Ein Kreislauf

Leitet man das Ergebnis erneut ab, entsteht eine Kette: $\sin x\to \cos x\to -\sin x\to -\cos x\to \sin x$. Nach vier Ableitungen ist man wieder am Anfang. Für $f(x)=\sin x$ heißt das

$$f^{\prime }(x)=\cos x,f^{\prime \prime }(x)=-\sin x,f^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos x$$

Die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }$ ist die Ableitung der Ableitung. Beim Sinus ist sie das Negative der Funktion selbst: $f^{\prime \prime }=-f$. Diese Eigenschaft steckt hinter jeder Schwingung; im letzten Abschnitt kommt sie beim Pendel wieder vor.

Der Faktor b

Bisher stand im Sinus nur x. Was ändert sich bei $\sin (bx)$, etwa bei $\sin (2x)$? Die Kurve wird waagrecht um den Faktor b gestaucht, ihre Periode ist $2\pi /b$. Gestaucht heißt: Sie steigt b-mal so steil. Bei $x=0$ hat $\sin (bx)$ die Steigung b, nicht 1.

Das ist die Kettenregel: Die innere Funktion $g(x)=bx$ hat die Ableitung $g^{\prime }(x)=b$, die äußere Funktion Sinus die Ableitung Kosinus. Also

$$(\sin (bx){)}^{\prime }=b\cdot \cos (bx),(\cos (bx){)}^{\prime }=-b\cdot \sin (bx)$$

Der häufigste Fehler ist, den Faktor b zu vergessen und $\cos (bx)$ stehen zu lassen. Zum Beispiel hat $\sin (2x)$ bei $x=\frac{\pi }{6}$ die Steigung $2\cos \frac{\pi }{3}=1$. Kontrolliere den Faktor an der Steigung im Bild.

Verschieben, strecken, anheben

Bei $\sin (x+c)$ ist die innere Funktion $x+c$ mit der Ableitung 1: Es entsteht kein Faktor, und die Verschiebung bleibt im Argument. Es gilt $(\sin (x+c){)}^{\prime }=\cos (x+c)$; die Ableitung ist wie die Funktion verschoben. Der Faktor a streckt die Kurve in y-Richtung, alle Steigungen werden a-mal so groß. Die Konstante d hebt die Kurve nur an und fällt beim Ableiten weg.

Alles zusammen: $f(x)=a\cdot \sin (bx+c)+d$ hat die Ableitung $f^{\prime }(x)=a\cdot b\cdot \cos (bx+c)$. Zum Beispiel ist für $f(x)=2\sin (3x)+5$ die Ableitung $f^{\prime }(x)=6\cos (3x)$. Weder die Verschiebung c noch die Konstante d taucht als Faktor auf.

Summen

Einfache Verknüpfungen entstehen durch Rechnen mit Funktionen. Bei $f(x)=x+\sin x$ setzt sich der Graph aus der Geraden $y=x$ und dem Sinus zusammen. Auch die Steigungen addieren sich, man leitet gliedweise ab:

$$(x+\sin x{)}^{\prime }=1+\cos x$$

Ein linearer Summand liefert nur seine Steigung: $(mx+\sin x{)}^{\prime }=m+\cos x$. Achte auf die Vorzeichen: Bei $2x-\cos x$ ist die Ableitung $2+\sin x$, denn $(-\cos x{)}^{\prime }=+\sin x$. Im Bild ist die Summenkurve nie fallend, denn ihre Steigung $1+\cos x$ ist nie negativ.

Produkte und die Regelwahl

Bei $f(x)=x\cdot \sin x$ steht ein Produkt. Nach der Produktregel gilt mit $u=x$ und $v=\sin x$:

$$(x\cdot \sin x{)}^{\prime }=1\cdot \sin x+x\cdot \cos x=\sin x+x\cos x$$

Ebenso gilt $(x\cos x{)}^{\prime }=\cos x-x\sin x$. Nicht $\cos x$ ist die Ableitung von $x\sin x$: Das wäre $u^{\prime }\cdot v^{\prime }$, die einfach multiplizierten Ableitungen. Bei $x=2,5$ liefert die Produktregel $-1,40$, der falsche Ansatz nur $-0,80$.

Wie wählt man die Regel? Frage dich: Welche Rechenart steht ganz außen? Bei $x+\sin x$ eine Summe, bei $x\cdot \sin x$ ein Produkt, bei $\sin (2x)$ eine Verkettung mit der Kettenregel.

Nullstellen der Ableitung

Wir untersuchen $f(x)=x+2\sin x$ auf $[0;2\pi ]$. Für einen Extrempunkt muss die Tangente waagrecht sein, also $f^{\prime }(x)=1+2\cos x=0$, das heißt $\cos x=-0,5$. Der Rechner (RAD) liefert ${\cos }^{-1}(-0,5)=\frac{2\pi }{3}\approx 2,09$ — aber nur eine Lösung. Die Kosinuskurve schneidet die Gerade $y=-0,5$ in $[0;2\pi ]$ zweimal; die zweite Lösung folgt aus der Symmetrie: $2\pi -\frac{2\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}\approx 4,19$.

Bei $\frac{2\pi }{3}$ wechselt $f^{\prime }$ von + nach −: Hochpunkt. Bei $\frac{4\pi }{3}$ wechselt sie von − nach +: Tiefpunkt. Dasselbe zeigt $f^{\prime \prime }(x)=-2\sin x$: Es ist $f^{\prime \prime }(\frac{2\pi }{3})=-\sqrt{3}<0$ und $f^{\prime \prime }(\frac{4\pi }{3})=+\sqrt{3}>0$.

Kein Extremum

$f^{\prime }(x)=0$ ist nur eine notwendige Bedingung. Bei $g(x)=x+\sin x$ ist $g^{\prime }(x)=1+\cos x$ nie negativ und bei $x=\pi$ gleich 0. Dort liegt die Tangente waagrecht, aber $g^{\prime }$ ist links und rechts von π positiv: Es gibt keinen Vorzeichenwechsel, die Kurve steigt weiter. Der Punkt $(\pi \mid \pi )$ ist ein Terrassenpunkt, kein Extrempunkt. Erst der Vorzeichenwechsel von $g^{\prime }$ entscheidet.

Wendestellen

Wendestellen sind Nullstellen von $f^{\prime \prime }$ mit Vorzeichenwechsel. Für $f(x)=\sin x$ ist $f^{\prime \prime }(x)=-\sin x$, im Intervall $(0;2\pi )$ also nur bei $x=\pi$ gleich 0. Dort geht die Kurve von der Rechtskurve ($f^{\prime \prime }<0$) in die Linkskurve ($f^{\prime \prime }>0$) über; die Wendetangente hat die Steigung −1. Extrem- und Wendestellen liegen bei der Sinuskurve an verschiedenen Stellen: Extrema bei $\frac{\pi }{2}+k\pi$, Wendestellen bei $k\pi$.

Auslenkung und Geschwindigkeit

Das Pendel aus dem Einstieg schwingt nach $s(t)=4\sin (3t)$ (s in cm, t in s). Wie schnell ist es zur Zeit t? Die Geschwindigkeit ist die momentane Änderungsrate der Auslenkung, also die Steigung der s-Kurve. Mit der Kettenregel gilt

$$v(t)=s^{\prime }(t)=4\cdot 3\cdot \cos (3t)=12\cos (3t)$$

Der Faktor 12 ist Amplitude mal ω. Im Umkehrpunkt (größte Auslenkung 4 cm bei $t=\frac{\pi }{6}\approx 0,52$ s) liegt die Tangente waagrecht: $v=0$, das Pendel steht einen Augenblick still. Am schnellsten ist es in der Gleichgewichtslage $s=0$, dort ist die Kurve am steilsten und $|v|=12$ cm/s. Nicht die größte Auslenkung, sondern der Nulldurchgang liefert also die größte Geschwindigkeit — wie schon beim Sinus: Höhe und Steigung sind verschieden.

Beschleunigung und Modell

Die Beschleunigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit, also die zweite Ableitung der Auslenkung: $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)=-36\sin (3t)=-9s(t)$. Allgemein gilt für $s(t)=A\sin (\omega t)$

$$v(t)=A\omega \cos (\omega t),a(t)=-A{\omega }^2\sin (\omega t)=-{\omega }^{2}s(t)$$

Das Minus zeigt: Die Beschleunigung ist der Auslenkung entgegengerichtet, sie zieht zur Gleichgewichtslage zurück. Ein größeres ω bei gleicher Amplitude macht die Schwingung schneller: Die Höchstgeschwindigkeit ist $v_{\max }=A\omega$. Grenze des Modells: Es schwingt ewig mit gleicher Amplitude; ein echtes Pendel wird durch Reibung gedämpft und kommt zur Ruhe. Das Modell taugt nur für kurze Zeit.