Exponentielles Wachstum und Logarithmus

Zuwachs oder Faktor?

Anna und Ben legen je 100 € an. Anna bekommt jeden Monat 30 € dazu. Bens Guthaben wird jeden Monat mit 1,3 multipliziert, es wächst also um 30 %.

Bei Anna ist die Differenz benachbarter Werte immer 30: Das Wachstum ist linear. Bei Ben ist der Quotient benachbarter Werte immer gleich, denn $130:100=169:130=1,3$: Das Wachstum ist exponentiell, und 1,3 heißt Wachstumsfaktor $a$. Die Werte 100, 105, 115, 130 wachsen zwar auch, haben aber weder gleiche Differenzen noch gleiche Quotienten.

Ben nach n Monaten:

$$f(n)=b\cdot a^n=100\cdot {1,3}^n$$

b ist der Anfangswert bei n = 0. Nach 4 Monaten sind es $100\cdot 1,3^4=285,61$ €.

Verdoppeln unterschätzt man

Eine Zellkultur beginnt mit einer Zelle und verdoppelt sich jede Stunde: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Der Faktor ist 2, der Term $2^n$. Nach 10 Stunden sind es $2^{10}=1024$ Zellen, nach 20 Stunden $2^{20}=1048576$, mehr als eine Million.

Wer nur fortschreibt, was zuletzt dazukam, rechnet linear: In Stunde 6 kamen 32 Zellen dazu, das ergäbe für Stunde 10 nur $64+4\cdot 32=192$ statt 1024. Beim Faktor wächst nicht der Zuwachs mit, sondern der Bestand selbst wird in jedem Schritt größer, und mit ihm das, was dazukommt.

Damit löst sich das Rätsel vom Teich: Weil sich die Fläche jeden Tag verdoppelt, war er einen Tag vor dem Ende halb bedeckt, am 29. Tag und nicht am 15. Wer in gleichen Zuwächsen denkt, verschätzt sich um 14 Tage.

Vom Prozentsatz zum Faktor

Ein Guthaben von 100 € wächst um 5 %. Dann ist es 100 % + 5 % = 105 % des alten Werts, also $100\cdot 1,05=105$. Der Faktor ist 1,05.

Zunahme um p % heißt Faktor $a=1+\frac{p}{100}$, Abnahme um p % heißt $a=1-\frac{p}{100}$. Eine Abnahme um 20 % hat also den Faktor 0,8, denn 80 % bleiben übrig. Der Faktor 0,2 gehörte zu einer Abnahme um 80 %.

Zurück geht es mit $a-1$: Der Faktor 1,08 bedeutet +8 %, der Faktor 0,93 bedeutet −7 %, der Faktor 2 bedeutet +100 %. Nach n gleichen Schritten ist der Bestand $100\cdot a^n$.

Prozente hintereinander

Ein Preis von 100 € steigt zweimal um 10 %. Erst $100\cdot 1,1=110$, dann $110\cdot 1,1=121$. Insgesamt sind es 1,1 · 1,1 = 1,21, also +21 % und nicht +20 %: Der zweite Schritt geht vom schon größeren Wert aus. Die Faktoren werden multipliziert, die Prozentsätze nicht addiert.

Aus demselben Grund führt +20 % und danach −20 % nicht zum Start zurück: $1,2\cdot 0,8=0,96$, es sind 4 % weniger. Bei n Schritten mit +p % rechnet man $(1+\frac{p}{100}{)}^n$, wie beim Zinseszins.

Anfangswert und Steigen

Bisher zählte n ganze Schritte. Setzt man für x jede Zahl ein, liefert $f(x)=b\cdot a^x$ mit $b>0$ und $a>0$ eine glatte Kurve durch die Punkte der Schritte. Bei $x=0$ ist $a^0=1$, also $f(0)=b$: Der Graph schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b), ganz gleich, wie groß a ist.

Die Basis a bestimmt den Verlauf: Für $a>1$ steigt der Graph, für $0<a<1$ fällt er, für $a=1$ ist er die waagrechte Gerade $y=b$. Ob er steigt oder fällt, hängt also an a und nicht an b.

Die x-Achse als Asymptote

Wie sieht der Graph für negative x aus? Bei $a=2$ ist $2^{-1}=\frac{1}{2}$, $2^{-2}=\frac{1}{4}$ und $2^{-10}=\frac{1}{1024}$: Die Werte werden immer kleiner, bleiben aber positiv. Eine Potenz mit positiver Basis ist nie null und nie negativ, also gilt $b\cdot a^x>0$ für jedes x.

Der Graph nähert sich der x-Achse beliebig nah an, erreicht sie aber nie. Diese Gerade heißt waagrechte Asymptote $y=0$. Der Graph hat keine Nullstelle. Für $0<a<1$ liegt die Annäherung auf der rechten Seite.

b und a aus zwei Punkten

Ein Graph der Form $f(x)=b\cdot a^x$ geht durch $P(0\mid 3)$ und $Q(2\mid 12)$. Aus P folgt $b=3$. Q liefert $3\cdot a^2=12$, also $a^2=4$ und $a=2$, denn a muss positiv sein. Der Term ist $f(x)=3\cdot 2^x$. Liegen die beiden Punkte einen Schritt auseinander, ist a einfach der Quotient ihrer y-Werte. Geht ein Graph durch $(0\mid 4)$ und $(1\mid 10)$, ist $b=4$ und $a=10:4=2,5$. Die Differenz 6 ist nicht a, denn a wirkt als Faktor.

Der Zerfallsfaktor

Ein Wirkstoff im Blut nimmt stündlich um 20 % ab. Dann bleiben 80 % übrig: Der Zerfallsfaktor ist 0,8 und nicht 0,2. Von 100 mg bleiben nacheinander 100, 80, 64 und 51,2 mg.

Bei Abnahme um p % gilt $a=1-\frac{p}{100}$ mit $0<a<1$, und der Bestand nach t Stunden ist $f(t)=b\cdot a^t$. Er wird immer kleiner, aber nie null: Auch von einem winzigen Rest bleiben nach jedem Schritt noch 80 %. Die t-Achse ist die Asymptote des fallenden Graphen.

Halbwertszeit

Die Halbwertszeit T ist die Zeit, in der sich ein Bestand halbiert. Jod-131 hat $T=8$ Tage. Von 80 mg sind nach 8 Tagen noch 40 mg da, nach 16 Tagen 20 mg, nach 24 Tagen 10 mg. Jede Halbwertszeit multipliziert mit 0,5, ganz gleich, wie viel gerade da ist: Von 40 mg auf 20 mg dauert es wieder 8 Tage.

Nach zwei Halbwertszeiten ist darum nicht alles zerfallen, sondern ein Viertel übrig. Nach t Tagen sind es $t/8$ Halbwertszeiten:

$$f(t)=80\cdot {0,5}^{t/8}$$

Die Frage nach dem Exponenten

Eine Kultur verdoppelt sich jede Stunde. Wann sind es 8 Zellen? Gesucht ist der Exponent x mit $2^x=8$, und er ist 3. Diese Frage hat einen Namen: Der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist der Exponent, mit dem man 2 potenzieren muss, um 8 zu erhalten.

$${\log }_{2}8=3\text{weil}{2}^3=8$$ So ist ${\log }_{3}81=4$, denn $3^4=81$. Der Logarithmus ist keine Rechnung mit den Zahlen 2 und 8, er liefert einen Exponenten.

Sonderfälle und Einschachteln

Aus der Definition folgen Sonderfälle: ${\log }_{b}1=0$, weil $b^0=1$, und ${\log }_{b}b=1$, weil $b^1=b$. Auch ${\log }_2\frac{1}{4}=-2$ gilt, denn $2^{-2}=\frac{1}{4}$. Eine Potenz mit positiver Basis ist immer positiv, deshalb haben 0 und negative Zahlen keinen Logarithmus. Die Basis selbst ist immer positiv und ungleich 1.

Ist der Exponent keine ganze Zahl, hilft Einschachteln: Wegen $2^2=4<5<8=2^3$ liegt ${\log }_{2}5$ zwischen 2 und 3. Den genauen Wert liefert der Taschenrechner (Taste ${\log }_{\square }$): etwa 2,32.

Gleiche Basis

Wann ist $3\cdot 2^x=48$? Das ist eine Exponentialgleichung: Die Unbekannte steht im Exponenten. Im Graphen sucht man den Schnittpunkt von $f(x)=3\cdot 2^x$ mit der Geraden $y=48$.

Rechnerisch macht man den zuletzt gerechneten Schritt zuerst rückgängig; im Rechenbaum von $3\cdot 2^x$, der die Reihenfolge der Rechenschritte zeigt, steht das Malnehmen mit 3 oben. Die 3 ist ein Faktor vor der Potenz, keine Basis, also teilt man durch 3: $2^x=16$. Wegen $16=2^4$ ist $x=4$, denn bei gleicher Basis sind die Exponenten gleich. Die Umformung $(3\cdot 2{)}^x=6^x$ wäre falsch. Und $2^x=-5$ hat keine Lösung, weil eine Potenz mit positiver Basis nie negativ ist.

Logarithmieren

Ein Guthaben wächst jährlich um 5 %. Wann hat es sich verdoppelt? Gesucht ist x mit $1,05^x=2$. Die Zahl 2 ist keine Potenz von 1,05, also fragt man nach dem Exponenten: $x={\log }_{1,05}2$. Man kann auch beide Seiten logarithmieren. Die Regel

$${\log }_b(u^z)=z\cdot {\log }_b(u)$$

holt den Exponenten nach vorn. Zur Probe: ${\log }_2(8^2)={\log }_{2}64=6$ und $2\cdot {\log }_{2}8=2\cdot 3=6$. Warum sie gilt: Ist $k={\log }_{b}u$, also $u=b^k$, dann ist $u^z=b^{kz}$, und der zugehörige Exponent ist $k\cdot z$.

Mit dem dekadischen Logarithmus lg (Basis 10) folgt $x\cdot \lg 1,05=\lg 2$, also $x=\lg 2:\lg 1,05\approx 14,2$. Nach 14 Jahren sind es erst 1,98 mal so viel, nach 15 Jahren 2,08 mal.

Ein Modell aufstellen

Eine Stadt hat heute 12 000 Einwohner und wächst um 2,5 % pro Jahr. Die Modellannahme: Die Wachstumsrate bleibt gleich. Dann ist der Faktor 1,025, und nach t Jahren gilt

$$f(t)=12000\cdot {1,025}^t$$

Nach 10 Jahren sind es $12000\cdot 1,025^{10}\approx 15361$ Einwohner, gerundet auf ganze Menschen.

Wann sind es 20 000? Aus $12000\cdot 1,025^t=20000$ folgt $1,025^t=\frac{5}{3}$ und $t=\lg \frac{5}{3}:\lg 1,025\approx 20,7$ Jahre. Die Antwort nennt Einheit und Zeiteinheit: nach etwa 21 Jahren.

Grenzen des Modells

Nach 100 Jahren ergibt das Modell etwa 141 800 Einwohner, nach 200 Jahren rund 1,7 Millionen. Das ist nicht glaubwürdig: Das Modell setzt gleichbleibende 2,5 % voraus, aber Fläche, Wohnraum und Arbeitsplätze sind begrenzt. Bietet die Stadt Platz für höchstens 50 000 Menschen, überschreitet die Kurve diese Grenze nach etwa 58 Jahren. Danach passt das Modell nicht mehr zur Wirklichkeit.

Darum prüft man jedes Ergebnis im Sachzusammenhang und variiert das Modell bei Bedarf, etwa mit einer Kapazität. Auch fremde Rechnungen lassen sich so kommentieren: Wer $12000+10\cdot 300=15000$ rechnet, setzt einen gleichen Zuwachs statt eines gleichen Faktors an. Und bei einer Datenmenge, die sich alle zwei Jahre verdoppelt, gehören zu den Chancen auch die Risiken: Speicher und Energie müssen mitwachsen.