Die Ableitungsfunktion

Höhe und Steigung

Der Kurs zu Sekanten endete mit einer Zahl. Die Sekanten durch einen Punkt P und einen Nachbarpunkt im Abstand $h$ nähern sich für $h\to 0$ der Tangente in P, und ihr Differenzenquotient nähert sich der Zahl $f^{\prime }(x_0)$, gesprochen „f Strich von x₀“. Bei $f(x)=x^2$ und $x_0=3$ lief die Rechnung so: $\frac{(3+h{)}^2-9}{h}=\frac{6h+h^2}{h}=6+h$, und für $h\to 0$ bleibt $f^{\prime }(3)=6$.

Bei $x_0=3$ zeigen die Chips $f(3)=9$ und $f^{\prime }(3)=6$. Die 9 ist die Höhe von P über der x-Achse, die 6 die Steigung der Tangente: Ein Schritt 1 nach rechts führt auf ihr 6 nach oben. Diese Zahl heißt lokale Änderungsrate: wie schnell der Graph von f genau an dieser Stelle steigt, so wie der Tacho die Geschwindigkeit genau jetzt zeigt.

Die beiden Zahlen zu verwechseln, ist der häufigste Fehler. Eine Gerade durch P mit der Steigung 9 statt 6 berührt die Parabel nicht: Sie schneidet sie ein zweites Mal, bei $x=6$. Am Punkt P zählen also drei Zahlen: die Stelle $x_0$ (wie weit rechts), die Höhe $f(x_0)$ (wie weit oben) und die Steigung $f^{\prime }(x_0)$ (wie geneigt die Tangente ist). Nur die dritte ist eine Ableitung.

Steigt oder fällt?

Links vom Scheitel zeigt der Chip negative Steigungen: bei $x_0=-1$ ist $f^{\prime }(-1)=-2$, obwohl die Höhe $f(-1)=1$ positiv ist. Ist $f^{\prime }(x_0)>0$, steigt der Graph an dieser Stelle, bei $f^{\prime }(x_0)<0$ fällt er, und bei $f^{\prime }(x_0)=0$ verläuft die Tangente waagerecht, wie im Scheitel (0 | 0) der Parabel. Ob der Graph über oder unter der x-Achse liegt, sagt $f(x_0)$, nicht $f^{\prime }(x_0)$.

Jede dieser Zahlen kostete bisher eine eigene h-Rechnung: eine bei 3, eine zweite bei −1. Der Tacho zeigt aber in jedem Augenblick einen Wert. Gibt es eine Regel, die zu jeder Stelle die Steigung liefert?

Die Spur der Steigungen

Die Zahl $f^{\prime }(x_0)$ hängt davon ab, wo P sitzt: bei 3 ist sie 6, bei −1 ist sie −2. Trage über jeder Stelle $x_0$ die Steigung $f^{\prime }(x_0)$ als Höhe ein. So entsteht ein zweiter Punkt Q senkrecht über oder unter P, mit den Koordinaten $(x_0\mid f^{\prime }(x_0))$. Beim Verschieben hinterlässt er eine Spur.

Die Spur ist eine Gerade durch den Ursprung. Die Chips liefern $f^{\prime }(-2)=-4$, $f^{\prime }(0)=0$, $f^{\prime }(1)=2$ und $f^{\prime }(2)=4$: jedes Mal das Doppelte der Stelle. Sitzt P im Scheitel, liegt Q auf der x-Achse; links davon fällt der Graph von f, und Q liegt unter der Achse.

Aus vielen einzelnen Zahlen ist damit eine Funktion geworden. Die Zuordnung $x\mapsto f^{\prime }(x)$, die jeder Stelle die Steigung von f dort zuordnet, heißt Ableitungsfunktion $f^{\prime }$, gesprochen „f Strich“. Für $f(x)=x^2$ ist $f^{\prime }(x)=2x$. Mit der Variablen x ist $f^{\prime }(x)$ eine Funktion; mit einer Zahl, etwa $f^{\prime }(3)=6$, ist es einer ihrer Werte. Der Graph von f′ ist nicht der Graph von f: Über der Stelle 3 liegt Q in der Höhe 6, P in der Höhe 9.

Die Rechnung an jeder Stelle

Abgelesen ist noch nicht gezeigt, denn die Chips springen in Schritten von 0,5. Die h-Rechnung vom Anfang liefert dieselbe Gerade, wenn statt 3 eine beliebige Stelle $x$ eingesetzt wird:

$$\begin{array}{rl}\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}& =\frac{2xh+h^2}{h}\\ & =2x+h⟶2x(h\to 0)\end{array}$$

Also ist $f^{\prime }(x)=2x$ an jeder Stelle, nicht nur an den abgelesenen. Probe bei $x=3$: $2\cdot 3=6$, die Zahl vom Anfang. Für $x^2$ gibt es damit einen Term für f′. Für eine Kurve wie $x^3-3x$ fehlt er noch. Lässt sich ihre Spur trotzdem zeichnen?

Vorzeichen und Nullstellen

Für $f(x)=x^3-3x$ gibt es noch keinen Term für f′. In der Figur geschieht trotzdem dasselbe wie bei der Parabel: Der Chip misst die Steigung der Tangente in P, und Q trägt sie als Höhe ein und hinterlässt die Spur der Ableitungsfunktion f′.

Q liegt über der x-Achse, solange der Graph von f steigt, und darunter, solange er fällt. Bei $x=-1$ liegt ein Hochpunkt, bei $x=1$ ein Tiefpunkt. Beide Male ist die Tangente waagerecht, der Chip zeigt $f^{\prime }(x_0)=0$, und Q sitzt auf der x-Achse: In einem Hoch- oder Tiefpunkt hat f′ eine Nullstelle.

Vorsicht: Bei $x=0,5$ liegt der Graph von f unter der x-Achse ($f(0,5)=-1,375$), aber entscheidend ist, dass er dort fällt: $f^{\prime }(0,5)=-2,25$. Die Nullstellen von f (bei 0 und $\pm \sqrt{3}$) sagen nichts über die von f′. Auf Papier gibt es keinen Chip. Wie entsteht die Spur ohne ihn?

Den Graphen skizzieren

Eine Skizze von f′ entsteht in drei Schritten, jeder mit einem Blick auf f: erst die Stellen mit waagerechter Tangente (dort hat f′ Nullstellen), dann das Vorzeichen (steigt oder fällt f?), zuletzt die Steilheit an einigen Stellen, abgelesen an einem Steigungsdreieck mit 1 nach rechts.

Nach Schritt 1 stehen zwei Punkte von f′ fest, $(-1\mid 0)$ und $(1\mid 0)$. Zwischen ihnen fällt f, also liegt f′ dort unter der Achse; links und rechts davon steigt f, also liegt f′ darüber. Die Dreiecke liefern die Steigung: Bei $x=0$ fällt f mit der Steigung −3, bei $x=-2$ steigt f mit der Steigung 9 und bei $x=2$ genauso. Die fünf Punkte ergeben eine Parabel.

Der Graph von f′ ist also keine verkleinerte Kopie von f. Eine Kopie hätte ihre Nullstellen bei 0 und $\pm \sqrt{3}$, wo f die Achse schneidet; f′ hat sie bei ±1, unter dem Hoch- und dem Tiefpunkt. Alle diese Kurven sind glatt. Hat jeder Graph an jeder Stelle eine Tangente?

Der Knick

Die Betragsfunktion $f(x)=|x|$ gibt den Abstand von 0 an: $|3|=3$ und $|-3|=3$, für negative x ist also $|x|=-x$. Ihr Graph hat im Ursprung einen Knick. Gibt es dort eine Tangente? Der Weg ist derselbe wie im Kurs zu Sekanten: eine Sekante durch P₀(0 | 0) und einen zweiten Punkt, dann den Abstand h verkleinern. Neu ist nur, dass der zweite Punkt rechts (P₊ bei h) oder links (P₋ bei −h) liegen kann. In der Figur sind beide Sekanten gezeichnet.

Die Chips bleiben stehen: m₊ = 1 und m₋ = −1, egal wie klein $h$ wird. Die Rechnung zeigt den Grund:

$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|}{h}=\{\begin{array}{ll}1& h>0\\ -1& h<0\end{array}$$

Die Sekanten von rechts haben immer die Steigung 1, die von links immer −1. Beide Seiten liefern einen anderen Grenzwert, also gibt es keinen gemeinsamen: $f^{\prime }(0)$ existiert nicht, f ist bei 0 nicht differenzierbar. Der Mittelwert 0 ist kein Ersatz. Überall sonst ist f differenzierbar, mit $f^{\prime }(x)=1$ für $x>0$ und $f^{\prime }(x)=-1$ für $x<0$.

Allgemein heißt differenzierbar an der Stelle $x_0$: Der Differenzenquotient hat von rechts und von links denselben Grenzwert. Nur dann gibt es eine Tangente, und nur dann kann man die Steigung dort angeben.

Sprung und Stetigkeit

Auch ein Sprung verhindert die Tangente. Die Funktion mit $f(x)=x$ für $x\le 1$ und $f(x)=x+1$ für $x>1$ hat auf beiden Ästen die Steigung 1, aber an der Stelle 1 reißt der Graph ab: $f(1)=1$ gehört zum linken Ast, der rechte beginnt eine Einheit höher. In der Figur geht es denselben Weg wie beim Knick, mit Sekanten von P₀(1 | 1) nach rechts und nach links.

Der Chip m₋ bleibt bei 1, aber m₊ wächst: bei $h=0,5$ ist er 3, bei $h=0,1$ schon 11. Die Rechnung zeigt den Grund: Von rechts ist der Differenzenquotient $\frac{(1+h+1)-1}{h}=\frac{1+h}{h}$, für $h=0,01$ also 101, und er wächst über jede Grenze. Es gibt keinen Grenzwert und keine Tangente, obwohl beide Äste gleich steil sind.

Stetig heißt, wie bei den abschnittsweise definierten Funktionen: Der Graph lässt sich ohne Absetzen zeichnen. Wo f einen Sprung hat, ist f nicht stetig und darum nicht differenzierbar. Umgekehrt genügt Stetigkeit nicht: $|x|$ hat keinen Sprung und ist bei 0 trotzdem nicht differenzierbar. Ein glatter Übergang dagegen ist erlaubt: $x^2$ für $x\le 1$, danach die Gerade $2x-1$, hat bei 1 auf beiden Seiten die Steigung 2.

Das Muster

Für $x^3-3x$ fehlt noch ein Term, und die h-Rechnung für jede neue Funktion von vorn zu beginnen, kostet jedes Mal eine Seite. Zuerst die Potenz allein. Bei der Parabel ergab der Differenzenquotient von $x^2$ den Term $2x+h$. Für $f(x)=x^3$ braucht man $(x+h{)}^3=(x+h{)}^2\cdot (x+h)$. Das Quadrat liefert die binomische Formel, $(x+h{)}^2=x^2+2xh+h^2$, und Ausmultiplizieren mit $(x+h)$ ergibt $(x+h{)}^3=x^3+3x^{2}h+3x{h}^2+h^3$. Probe mit $x=2$ und $h=1$: $3^3=27$ und $8+12+6+1=27$.

$$\begin{array}{rl}\frac{(x+h{)}^3-x^3}{h}& =\frac{3x^{2}h+3x{h}^2+h^3}{h}\\ & =3x^2+3xh+h^2⟶3x^2(h\to 0)\end{array}$$

Vorsicht: Es ist nicht $(x+h{)}^3=x^3+h^3$ (bei 2 und 1 wären das 9 statt 27); gerade die Mischglieder liefern die Ableitung. Für $x=2$ und $h=0,1$ hat der Quotient den Wert $12+0,6+0,01=12,61$, für $h\to 0$ bleibt $3\cdot 2^2=12$. Dieselbe Rechnung für $x^4$ ergibt:

In jeder Zeile wandert der Exponent als Faktor vor das x, und der neue Exponent ist um 1 kleiner. Das Muster heißt Potenzregel:

$$(x^n{)}^{\prime }=n\cdot x^{n-1}$$

x und Konstanten

Zwei Sonderfälle fehlen noch in der Tabelle: die Gerade $y=x$ und eine waagerechte Gerade wie $y=3$.

In der Figur zeigt der Chip auf $y=x$ überall die Steigung 1, auf der waagerechten Geraden überall 0. Die Regel sagt dasselbe: $f(x)=x=x^1$ gibt $(x{)}^{\prime }=1\cdot x^0=1$, denn jede Potenz mit dem Exponenten 0 ist 1 (wie $5^0=1$). Eine konstante Funktion wie $f(x)=3$ hat überall die Steigung 0: $(3{)}^{\prime }=0$, für jede Konstante. Beim Ableiten bleibt die Konstante nicht stehen, sie wird zu 0.

Damit lassen sich alle Potenzen mit ganzzahligen Exponenten ab 1 ableiten: $(x^{10}{)}^{\prime }=10x^9$, $(x^2{)}^{\prime }=2x$, $(x{)}^{\prime }=1$. Rückwärts gelesen: Welche Potenz hat die Ableitung $6x^5$? Der Exponent ist um 1 größer, also 6, und der Faktor 6 entsteht von selbst: $(x^6{)}^{\prime }=6x^5$, nicht $6x^6$. Eine Funktion wie $x^3-3x$ ist aber keine einzelne Potenz: Sie hat einen Faktor 3 und zwei Glieder.

Faktor und Summe

Die Funktion $x^3-3x$ ist keine einzelne Potenz: Vor dem x steht ein Faktor, und sie hat zwei Glieder. Zuerst der Faktor. Die Figur streckt $x^2$ mit einem Faktor c zu $c\cdot x^2$ und vergleicht die Tangenten an der Stelle 1.

Bei $c=2$ zeigt der Chip 4, bei $c=3$ zeigt er 6: immer c-mal die Steigung 2, die $x^2$ bei 1 hat. Der Differenzenquotient sagt, warum. Jede Höhe ist mit c gestreckt, also auch jeder Höhenunterschied: $\frac{c\cdot f(x+h)-c\cdot f(x)}{h}=c\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$, und für $h\to 0$ bleibt $c\cdot f^{\prime }(x)$. Das ist die Faktorregel: $(c\cdot f{)}^{\prime }=c\cdot f^{\prime }$. So ist $(3x^2{)}^{\prime }=3\cdot 2x=6x$.

Bei einer Summe teilt sich der Höhenunterschied genauso auf: Der Differenzenquotient von $f+g$ ist der von f plus der von g. Für $h\to 0$ folgt die Summenregel: $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, man leitet Glied für Glied ab. So ist $(x^3+4x{)}^{\prime }=3x^2+4$. Zusammen mit der Potenzregel lässt sich jede ganzrationale Funktion ableiten:

$$\begin{array}{rl}f(x)& =2x^3-3x^2+4x-7\\ f^{\prime }(x)& =6x^2-6x+4\end{array}$$

Term für Term wird $2x^3$ zu $6x^2$, $-3x^2$ zu $-6x$ und $4x$ zu 4; die Konstante −7 fällt weg. Damit lässt sich die kubische Funktion ableiten: $(x^3-3x{)}^{\prime }=3x^2-3$. Bei 2 gibt das $3\cdot 4-3=9$, bei 0 den Wert −3, bei ±1 den Wert 0: genau die Punkte, die dort an den Steigungsdreiecken abgelesen wurden. Auch die Kurve aus dem Kurs zu Sekanten, $f(x)=0,5(x^3-3x^2+2x+1)$, ausmultipliziert $0,5x^3-1,5x^2+x+0,5$, hat jetzt in einer Zeile $f^{\prime }(x)=1,5x^2-3x+1$ und $f^{\prime }(2)=6-6+1=1$, dieselbe Zahl, die dort der Grenzübergang lieferte.

Konstanten und Klammern

Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg: $(x^2+5{)}^{\prime }=2x$. Die 5 verschiebt den Graphen nur nach oben. Die Höhe ändert sich, die Steigung an jeder Stelle nicht.

Vorsicht bei Klammern: Für $f(x)=(x+1)(x-2)$ multiplizierst du zuerst aus, $f(x)=x^2-x-2$, und leitest dann Glied für Glied ab: $f^{\prime }(x)=2x-1$. Die Ableitungen der beiden Klammern einzeln zu multiplizieren, $1\cdot 1=1$, ist falsch: Bei $x=0$ fällt der Graph mit $f^{\prime }(0)=-1$, er steigt nicht mit 1.

Die Faktorregel gilt nur für Zahlen als Faktoren. Ein Produkt wie $x\cdot x^2$ fasst du erst zu $x^3$ zusammen und leitest dann ab: $3x^2$. Für $x^3-3x$ ist damit die Steigung an jeder Stelle bekannt, bei 2 zum Beispiel 9. Wie lautet die Gleichung der Tangente dort?

Die Tangente aufstellen

Die Regeln liefern für $f(x)=x^3-3x$ die Steigung an jeder Stelle, bei 2 zum Beispiel $f^{\prime }(2)=9$. Eine Tangente ist aber eine Gerade, und für ihre Gleichung $y=m\cdot x+t$ braucht es außer der Steigung einen Punkt. Aus einem Punkt und der Steigung bekommst du t wie im Kurs zu Sekanten: $t=y_0-m\cdot x_0$ (dort mit P₀(1 | 0,5) und m = 1,5: t = 0,5 − 1,5 · 1 = −1). Bei der Tangente ist der Punkt der Berührpunkt $(x_0\mid f(x_0))$, und die Steigung ist $m=f^{\prime }(x_0)$.

Bei $x_0=2$ ist $f(2)=8-6=2$ und $f^{\prime }(2)=3\cdot 4-3=9$. Dann ist $t=2-9\cdot 2=-16$, die Tangente lautet $y=9x-16$. Punktprobe: $9\cdot 2-16=2=f(2)$. Vorsicht: $y=9x+2$ wäre falsch, denn die Höhe 2 gehört zum Punkt bei x = 2 und nicht zur Stelle x = 0; in der Figur trifft die Tangente die y-Achse bei −16.

Setzt man $t=f(x_0)-f^{\prime }(x_0)\cdot x_0$ allgemein ein und klammert $f^{\prime }(x_0)$ aus, entsteht die Punkt-Steigungs-Form. Die Tangente selbst heißt dabei oft t; dann ist t ihr Name, nicht ihr y-Achsenabschnitt:

$$t(x)=f^{\prime }(x_0)\cdot (x-x_0)+f(x_0)$$

Im Beispiel: $t(x)=9(x-2)+2$, ausmultipliziert wieder $9x-16$.

Der Steigungswinkel

Der Steigungswinkel α einer Geraden ist der Winkel zwischen ihr und der x-Achse. Im Steigungsdreieck mit 1 nach rechts und m nach oben ist m die Gegenkathete von α und 1 die Ankathete. Der Tangens aus der Trigonometrie, Gegenkathete durch Ankathete, ergibt also $\tan \alpha =m:1=m$, und damit $\alpha ={\tan }^{-1}(m)$. Steigung 1 bedeutet 45°, Steigung 2 etwa 63,4°. Für die Tangente gilt $\alpha ={\tan }^{-1}(f^{\prime }(x_0))$; im Beispiel ist ${\tan }^{-1}(9)\approx 83,7°$: Die Tangente bei 2 steht fast senkrecht.

Vorsicht: Steigung und Winkel sind verschiedene Größen. Eine Steigung von 100 % (m = 1) entspricht 45°, nicht 100°.

Am Taschenrechner steht die Taste tan⁻¹ (Gradmodus). Eine Straße mit 8 % Steigung, also $m=0,08$, hat nur einen Winkel von etwa 4,6°.

Momentan und im Mittel

Das Auto vom Anfang, dasselbe wie im Kurs zu Sekanten, fährt nach $s(t)=20t^2+40t$ (t in Stunden, s in Kilometern). In 2 Stunden legt es 160 km zurück, die mittlere Änderungsrate ist $\frac{160}{2}=80$ km/h. Mit Faktor- und Summenregel ist die Ableitung $s^{\prime }(t)=40t+40$. Sie ist die lokale Änderungsrate, hier die Momentangeschwindigkeit, die der Tacho zeigt: $s^{\prime }(0)=40$, $s^{\prime }(1)=80$, $s^{\prime }(2)=120$ km/h.

Bei $t_0=1$ läuft die Tangente parallel zur gestrichelten Sekante durch (0 | 0) und (2 | 160): Beide Chips zeigen 80 km/h. Vorher fährt das Auto langsamer als im Schnitt, danach schneller. Der Durchschnitt von 80 km/h heißt also nicht, dass der Tacho die ganze Zeit 80 zeigte.

Die Einheit ist „Einheit von s pro Einheit von t“. Was $s^{\prime }(1)=80$ bedeutet: Nach 1 Stunde fährt das Auto gerade mit 80 km/h. Es bedeutet nicht, dass es 80 km zurückgelegt hat (das sind $s(1)=60$ km). Lies jede Zahl mit ihrer Einheit: 60 km ist eine Strecke, 60 km/h ist eine Rate.

Vorzeichen und Höhepunkt

Ein Ball wird senkrecht hochgeworfen: $h(t)=20t-5t^2$ (t in Sekunden, h in Metern), mit der Ableitung $h^{\prime }(t)=20-10t$ in m/s. In der Figur fliegt der Ball links neben der Achse, immer auf der Höhe von P.

Bis $t=2$ liegt Q über der Achse, und der Ball steigt: $h^{\prime }(1)=10$, er gewinnt in diesem Augenblick 10 m pro Sekunde. Bei $h^{\prime }(2)=0$ steht er für einen Augenblick im höchsten Punkt, 20 m hoch. Danach liegt Q unter der Achse: $h^{\prime }(3)=-10$, der Ball sinkt mit 10 m/s, obwohl er mit $h(3)=15$ m genauso hoch ist wie bei $t=1$. Ein negativer Wert ist kein Fehler: Die Größe nimmt ab.

Rückblick

Der Tacho vom Anfang ist jetzt eine Rechnung: $s^{\prime }(t)=40t+40$, für jeden Augenblick, aus zwei Regeln. Unter den Regeln liegen die Schritte des Kurses: Jede Ableitung ist ein Grenzwert von Sekantensteigungen, f′ ist eine eigene Funktion mit einem eigenen Graphen, und wo die Sekanten von links und von rechts nicht dasselbe liefern, gibt es keine Tangente.

Weggelassen hat der Kurs alles außer ganzrationalen Funktionen. Für Produkte wie $x\cdot \sin x$, für Brüche und für verkettete Funktionen wie $(2x+1{)}^5$ gibt es eigene Regeln (Produkt-, Quotienten- und Kettenregel), und $e^x$ und $\sin x$ haben eigene Ableitungen. Der nächste Kurs nutzt f′, um Graphen zu untersuchen: Wo f′ das Vorzeichen wechselt, hat f einen Hoch- oder Tiefpunkt, so wie $x^3-3x$ an den Stellen −1 und 1.