Bruchterme und Bruchgleichungen

Null und negative Exponenten

Ganzzahlige Exponenten setzen ein Muster fort. In der Kette 8, 4, 2, … wird jedes Mal durch 2 geteilt, und der Exponent sinkt um 1. Der nächste Schritt liefert $2^0=1$. Das gilt für jede Basis außer 0: $a^0=1$. Es ist nicht 0, denn nach 2¹ = 2 kommt 2 : 2 = 1. Probiere es mit 5: 125, 25, 5, dann kommt 5 : 5 = 1.

Die Kette geht weiter: 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 2⁻³ = 1/8. Der Wert schrumpft, wird aber nie negativ. Das Minus im Exponenten bedeutet den Kehrwert: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Ein Beispiel aus dem Alltag: 10⁻² m ist ein hundertstel Meter, also 0,01 m, ein Zentimeter. Auch ein Bruchterm lässt sich so schreiben: 1/x² ist x⁻².

Potenzen verknüpfen

Was ist x³ · x⁴? Zähle die Faktoren: drei plus vier sind sieben, also $x^3\cdot x^4=x^7$. Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert, beim Dividieren subtrahiert: $x^7:x^2=x^5$. Das gilt auch für negative Exponenten, etwa $x^{-2}\cdot x^5=x^3$. Die Basen werden nie multipliziert: 2³ · 2⁴ = 2⁷, nicht 4⁷. Beim Dividieren gilt die Reihenfolge Zähler-Exponent minus Nenner-Exponent.

Nun zur Potenz einer Potenz: $(x^2{)}^3$ sind drei Gruppen zu je zwei Faktoren x, zusammen sechs: $(x^2{)}^3=x^{2\cdot 3}=x^6$. Hier werden die Exponenten multipliziert. Steht ein Produkt in der Klammer, gilt der Exponent für jeden Faktor: $(2x{)}^3=2^3{x}^3=8x^3$. Bei einer Summe gilt das nicht: (x + 2)² ist nicht x² + 4. Zähle nach: Drei Gruppen zu je zwei Faktoren sind sechs Faktoren, nicht fünf und nicht acht.

Der Bruchstrich klammert

Ein Bruchterm hat im Nenner eine Variable, zum Beispiel $\frac{x+3}{x}$. Der Bruchstrich wirkt wie eine Klammer: Zähler und Nenner werden für sich berechnet, dann wird geteilt. Bei x + 3/x wird dagegen nur die 3 durch x geteilt. Für x = 3 ist $\frac{x+3}{x}=\frac{6}{3}=2$, aber x + 3/x = 3 + 1 = 4. Den Termwert erhältst du, indem du x einsetzt und der Struktur folgst. Frage dich immer: Was steht im Zähler, was im Nenner?

Wo der Nenner null wird

Durch null darf man nicht teilen. In einem Bruchterm sind deshalb alle Zahlen verboten, die den Nenner null machen. Bei $\frac{6}{x-2}$ ist das x = 2, denn $x-2=0$. Die Definitionsmenge ist $D=\mathbb{Q}\setminus \{2\}$. Ein Zähler null ist erlaubt: $\frac{x-2}{x+5}$ hat bei x = 2 den Wert 0. Bei mehreren Nennerfaktoren, etwa 1/(x(x − 3)), fällt jede Nullstelle heraus: D = ℚ \ {0, 3}.

Erweitern wie bei Zahlen

Erweitern macht die Teile feiner, der Anteil bleibt: 2/3 ist dasselbe wie 4/6. Bei Bruchtermen multiplizierst du Zähler und Nenner mit demselben Term, den Nenner als Ganzes. Erweitert mit 3 wird $\frac{2}{x+1}$ zu $\frac{6}{3(x+1)}=\frac{6}{3x+3}$. 6/(x + 3) wäre ein anderer Term. Erweitern ändert nur die Schreibweise, nie den Wert. Du brauchst es später, um Nenner gleich zu machen.

Kürzen nur Faktoren

Kürzen ist die Umkehrung: Ein gemeinsamer Faktor in Zähler und Nenner wird gestrichen, zum Beispiel $\frac{6x}{9x^2}=\frac{3x\cdot 2}{3x\cdot 3x}=\frac{2}{3x}$. Aus einer Summe darfst du nicht streichen. In $\frac{x+3}{3}$ ist die 3 ein Summand; es gilt (x + 3)/3 = x/3 + 1 und nicht x + 1. Teste Verdächtiges mit einer Zahl: Für x = 3 ist (x + 3)/3 = 2, aber x + 1 = 4. Eine Zahlenprobe kann eine Regel widerlegen, aber nicht beweisen.

Erst faktorisieren

Steht im Zähler eine Summe, machst du sie mit dem Distributivgesetz zum Produkt: 3x + 6 = 3(x + 2), also $\frac{3x+6}{x+2}=3$. Bei $\frac{x^2-9}{x+3}$ hilft die dritte binomische Formel: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Dann kürzt du den Faktor (x + 3) und erhältst x − 3. Die Zahl −3 bleibt ausgeschlossen. Prüfe das Ergebnis mit einer Zahl: Für x = 2 ist (3 · 2 + 6)/(2 + 2) = 3.

Gleicher Nenner

Haben zwei Bruchterme denselben Nenner, addierst du nur die Zähler, der Nenner bleibt: $\frac{3}{x}+\frac{5}{x}=\frac{8}{x}$. Es ist wie bei 2/5 + 1/5 = 3/5: Fünftel bleiben Fünftel. Die Nenner werden nie mit addiert, 8/(2x) wäre falsch. Auch bei Differenzen bleibt der Nenner stehen: 9/(2x) − 3/(2x) = 6/(2x).

Der Hauptnenner

Bei verschiedenen Nennern erweiterst du beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner. Der Hauptnenner enthält jeden vorkommenden Faktor, hier x(x + 1). Jeder Bruch wird mit dem Faktor erweitert, der ihm fehlt: $\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}=\frac{x+1}{x(x+1)}+\frac{x}{x(x+1)}=\frac{2x+1}{x(x+1)}$. Wer Zähler und Nenner getrennt addiert, erhält 2/(2x + 1), einen anderen Term. Zur Probe setzt du x = 1 ein: 1 + 1/2 = 3/2, und (2 · 1 + 1)/(1 · 2) = 3/2.

Minus vor dem Bruch

Steht vor einem Bruch ein Minus, gilt es für den ganzen Zähler. Setze deshalb eine Klammer: $\frac{3}{x}-\frac{x-2}{x}=\frac{3-(x-2)}{x}=\frac{5-x}{x}$. Ohne Klammer entstünde 3 − x − 2 = 1 − x, und das Vorzeichen der 2 wäre falsch. Für x = 1 ist das 3 − (−1) = 4, und (5 − 1)/1 = 4.

Zähler mal Zähler

Bruchterme werden wie Brüche multipliziert: Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner. $\frac{2}{x}\cdot \frac{3}{y}=\frac{2\cdot 3}{x\cdot y}=\frac{6}{xy}$. Es wird nichts addiert; 6/(x + y) wäre falsch. Eine ganze Zahl multipliziert nur den Zähler: 4 · x/5 = 4x/5. Zur Zahlenprobe: (2/2) · (3/3) = 1 und 6/(2 · 3) = 1.

Erst kürzen

Vor dem Ausmultiplizieren kürzt du gemeinsame Faktoren zwischen oben und unten, auch über Kreuz: $\frac{x+1}{x}\cdot \frac{3x}{x+1}=3$. Summen zerlegst du vorher in Faktoren, etwa x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Der Term hat den konstanten Wert 3, wie viel sich die beiden Faktoren auch ändern. Das Kürzen vor dem Multiplizieren hält die Zahlen klein und spart Fehler.

Durch einen Bruch teilen

Wie oft passt 2/3 in 2? Dreimal: 2 : 2/3 = 3. Das ist 2 · 3/2, du multiplizierst also mit dem Kehrwert des Divisors: $\frac{3}{x}:\frac{6}{x^2}=\frac{3}{x}\cdot \frac{x^2}{6}=\frac{x}{2}$. Der Divisor darf nicht 0 sein, auch nicht durch seinen Zähler: Bei (x − 2)/(x + 1) ist x = 2 verboten. Die verbotenen Zahlen bleiben auch nach dem Kürzen verboten.

D und über Kreuz

Steht x im Nenner, bestimmst du vor dem Rechnen die Definitionsmenge. Bei $\frac{3}{x}=\frac{5}{x-2}$ sind x = 0 und x = 2 verboten: $D=\mathbb{Q}\setminus \{0,2\}$. Jede Lösung muss in D liegen. Zeichne die verbotenen Zahlen als hohle Punkte auf den Zahlenstrahl.

Steht links ein Bruch und rechts ein Bruch, multiplizierst du über Kreuz: Zähler links mal Nenner rechts, Zähler rechts mal Nenner links. Aus $\frac{3}{x}=\frac{6}{x+2}$ wird $3(x+2)=6x$, also 3x + 6 = 6x und x = 2. Die 2 liegt in D, die Lösung gilt. Auch 2/x = 6/9 löst du so: 2 · 9 = 6 · x, also x = 3.

Hauptnenner und Scheinlösungen

Stehen mehrere Summanden da, multiplizierst du die ganze Gleichung mit dem Hauptnenner, jeden Summanden. Bei $\frac{x}{2}+3=5$ mal 2 entsteht x + 6 = 10, nicht x + 3 = 10. Bei $\frac{1}{x}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$ mal 6x entsteht 6 + 2x = 3x und damit x = 6. Danach löst du wie eine lineare Gleichung.

Nach dem Lösen prüfst du, ob die Zahl in D liegt. Bei $\frac{x}{x-3}=\frac{3}{x-3}$ ergibt sich x = 3, aber 3 ist verboten: eine Scheinlösung, die Lösungsmenge ist leer. Die vier Schritte gelten immer: D bestimmen, mit dem Hauptnenner multiplizieren, lösen, prüfen. Die Probe in der Ausgangsgleichung bestätigt jede echte Lösung.

Lösung ablesen

Eine Gleichung wie $\frac{6}{x}=k$ hat ein Bild: Der Graph von y = 6/x wird von der Geraden y = k geschnitten. Die Lösung ist die x-Koordinate des Schnittpunkts, nicht sein y-Wert. Bei k = 2 liegt S bei (3 | 2), also x = 3. Die Zahl der Schnittpunkte ist die Zahl der Lösungen: Für jedes k ≠ 0 genau eine, für k = 0 keine. Für k = 6 etwa ist x = 1, denn 6/1 = 6.

Die Lücke

Ist der Nenner an einer Stelle null, fehlt dort ein Punkt im Graphen. $\frac{x^2-4}{x-2}$ ist die Gerade y = x + 2, doch bei x = 2 hat sie die Lücke (2 | 4), im Bild der rosa Punkt. Für (x² − 4)/(x − 2) = 4 folgt gekürzt x = 2, und genau dort fehlt der Punkt. Ein Schnitt in der Lücke zählt nicht: keine Lösung. Das ist derselbe Gedanke wie bei der Scheinlösung, nur als Bild.

Nach einer Größe auflösen

Eine Formel löst du wie eine Gleichung, die anderen Buchstaben sind wie Zahlen. Aus $v=\frac{s}{t}$ folgt mit mal t die gesuchte Größe $s=v\cdot t$. Steht sie im Nenner, multiplizierst du erst mit dem Nenner: v · t = s, dann durch v, also $t=\frac{s}{v}$. Nur den Bruch umzudrehen (t = v/s) ist falsch. Zur Probe: Für s = 120 und t = 3 ist v = 40, und 120/40 = 3.

Parallelschaltung

Zwei parallele Widerstände ergeben $\frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$, dieselbe Form wie bei den Pumpen. Rechts kommt der Hauptnenner: $\frac{1}{R}=\frac{R_1+R_2}{R_1{R}_2}$. Dann bildest du auf beiden Seiten den Kehrwert: $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$. Nicht $R=R_1+R_2$: Die Summanden werden nicht einzeln gekehrt. Für $R_1=3$ Ω und $R_2=6$ Ω ist R = 18/9 = 2 Ω, und 1/3 + 1/6 = 1/2.