Bruchteile und Bruchzahlen

Ein Blechkuchen soll gerecht geteilt werden. Bevor wir etwas aufschreiben, schneide selbst: Der eine Regler bestimmt, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerfällt, der andere, wie viele davon gefärbt sind.

Was du eingestellt hast, hat einen Namen. Der Blechkuchen ist das Ganze. Man schneidet ihn in 8 gleich große Teile, und Mia nimmt 3 davon. Ihr Anteil ist ein Bruch:

$$\frac{3}{8}$$

Der Nenner 8 zählt alle gleich großen Teile, in die das Ganze zerlegt ist. Der Zähler 3 zählt die Teile, die gemeint sind. Der Nenner gibt den Teilen auch ihren Namen: 2 gleiche Teile heißen Hälften, 3 Drittel, 4 Viertel, 8 Achtel. Bens Torte hat 12 Sektoren, er hat $\frac{4}{12}$ gegessen.

Auf das Wort gleich kommt es an: Drei Teile verschiedener Größe ergeben keine Drittel. Ob das Ganze ein Rechteck oder ein Kreis ist und welche Teile gefärbt sind, spielt dagegen keine Rolle – 3 von 8 gleichen Teilen sind immer $\frac{3}{8}$.

Auch eine Menge kann das Ganze sein. Von 8 Stücken hat Mia 3 gegessen: Ihr Anteil ist $\frac{3}{8}$, nicht $\frac{3}{5}$. Zwar sind 5 Stücke übrig, aber der Nenner zählt das ganze Ganze – also alle 8 Stücke.

Den Bruchteil berechnen

Der Blechkuchen wiegt 1200 g, Mia isst $\frac{3}{8}$. Wie viel ist das? Der Nenner sagt, in wie viele gleiche Teile man das Ganze teilt, der Zähler, wie viele Teile man nimmt:

$$1200\text{g}:8=150\text{g},150\text{g}\cdot 3=450\text{g}$$

Erst teilen, dann malnehmen: Zuerst fragt man, wie schwer ein Achtel ist, dann nimmt man 3 davon. Zur Kontrolle hilft ein Blick auf den Bruch: $\frac{3}{8}$ ist weniger als die Hälfte, und 450 g sind weniger als 600 g. Der Zwischenschritt über ein einziges Achtel zeigt, was der Bruch bedeutet: $\frac{3}{8}$ heißt dreimal so viel wie $\frac{1}{8}$.

Das Ganze bestimmen

Umgekehrt: Ein Stück, das $\frac{3}{8}$ einer Torte ist, wiegt 450 g. Jetzt ist der Bruchteil bekannt und das Ganze gesucht. Man geht den Weg zurück: erst durch den Zähler teilen, dann mit dem Nenner malnehmen. Es ist also nicht dieselbe Rechnung wie vorher. Die Streifenskizze zeigt es: Drei Teile wiegen 450 g, also wiegt ein Teil 150 g und alle acht zusammen 1200 g.

$$450\text{g}:3=150\text{g},150\text{g}\cdot 8=1200\text{g}$$

Achte auf das Ganze: Derselbe Bruch meint nicht immer dieselbe Menge. $\frac{1}{2}$ von 600 g sind 300 g, $\frac{1}{2}$ von 1000 g sind 500 g. Bruchteile lassen sich nur vergleichen, wenn sie zum selben Ganzen gehören – darum sind Mias Blech und Bens Torte als gleich groß angenommen.

Bens Torte liegt schon in Stücken da, ein Teil davon ist gegessen. Schneide jedes Stück noch einmal durch, dann noch feiner, und beobachte dabei den gefärbten Teil.

Mehr Stücke, gleich viel Kuchen. Das ist schon die ganze Idee, jetzt in Zahlen. Ben hat 4 von 12 Tortenstücken gegessen: $\frac{4}{12}$. Schneidet man jedes Stück noch einmal in gleich große kleinere Teile, sind es mehr Teile – aber der gegessene Kuchen bleibt gleich groß. Das heißt Erweitern: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert. Erweitern ändert nur den Namen des Anteils, nicht seine Größe – Mias $\frac{3}{8}$ und $\frac{9}{24}$ sind derselbe Anteil.

$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6}$$

Kürzen

Der Weg zurück heißt Kürzen: Zähler und Nenner werden durch denselben Teiler dividiert, mehrere kleine Teile werden zu einem großen zusammengefasst. Bens $\frac{4}{12}$ lässt sich durch 4 kürzen:

$$\frac{4}{12}=\frac{4:4}{12:4}=\frac{1}{3}$$

Ben hat also ein Drittel der Torte gegessen. Kürzt man so lange, bis Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler mehr haben, ist der Bruch vollständig gekürzt.

Der Wert bleibt, wenn man mit derselben Zahl malnimmt oder durch dieselbe Zahl teilt. Addiert oder subtrahiert man dagegen, entsteht ein anderer Bruch: $\frac{1}{2}$ und $\frac{1+2}{2+2}=\frac{3}{4}$ sind verschieden groß.

Gleicher Nenner, gleicher Zähler

Mia hat $\frac{3}{8}$ des Blechs gegessen, Ben $\frac{4}{12}$ der Torte. Wer hat mehr? Bevor man rechnet, prüft man, ob sich die Brüche leicht vergleichen lassen – zwei Fälle sind besonders einfach. Bei gleichem Nenner sind die Teile gleich groß, und der größere Zähler gehört zum größeren Bruch: $\frac{3}{8}<\frac{5}{8}$. Bei gleichem Zähler zählt man gleich viele Teile, aber Viertel sind größer als Achtel: $\frac{3}{4}>\frac{3}{8}$. Ein größerer Nenner macht den Bruch kleiner. Wer nur auf die größere Zahl 8 schaut, hält $\frac{3}{8}$ oft für größer – aber der Nenner sagt, wie klein die Teile sind, nicht wie groß der Bruch ist.

Bezugsbrüche

Oft hilft ein Bezugsbruch. Liegt $\frac{4}{9}$ vor oder hinter $\frac{5}{8}$? Die Hälfte von 9 ist 4,5, also liegt $\frac{4}{9}$ unter $\frac{1}{2}$; die Hälfte von 8 ist 4, also liegt $\frac{5}{8}$ darüber. Auch das Ergänzen zum Ganzen hilft: Bei $\frac{7}{8}$ fehlt ein Achtel bis 1, bei $\frac{8}{9}$ nur ein Neuntel – das kleinere Fehlstück gehört zum größeren Bruch. Die Fehlstücke vergleicht man mit der Regel für gleiche Zähler: $\frac{1}{9}<\frac{1}{8}$, also $\frac{7}{8}<\frac{8}{9}$. Beide Wege ersparen das Erweitern, wenn die Brüche nicht zu dicht beieinander liegen: Bei Nenner 13 ist die Hälfte 6,5, also liegt $\frac{7}{13}$ schon über $\frac{1}{2}$.

Wenn nichts passt

Mias $\frac{3}{8}$ und Bens $\frac{1}{3}$ (gekürzt aus 4/12) haben verschiedene Nenner und Zähler, und beide liegen unter $\frac{1}{2}$. Dann bleibt der sichere Weg: auf einen gemeinsamen Nenner erweitern. Multipliziert man die Nenner, klappt es immer: 8 · 3 = 24. Das Produkt der Nenner ist ein sicherer gemeinsamer Nenner, aber oft nicht der kleinste – den kleinsten findet die nächste Station. Bens $\frac{4}{12}$ kürzt man vorher zu $\frac{1}{3}$, dann sind die Zahlen kleiner. Nach dem Erweitern bestehen beide Streifen aus gleich großen Teilen, den Vierundzwanzigsteln, und man vergleicht nur noch die Zahl der gefärbten Teile.

$$\frac{3}{8}=\frac{9}{24},\frac{1}{3}=\frac{8}{24}$$

Für Mia und Ben genügte der gemeinsame Nenner 24. Oft geht es kleiner: Der kleinste gemeinsame Nenner heißt Hauptnenner. Er ist das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Nenner. Beispiel $\frac{3}{4}$ und $\frac{5}{6}$: Man schreibt die Vielfachen der Nenner auf.

Die erste gemeinsame Zahl ist 12, der Hauptnenner. Das Produkt 4 · 6 = 24 ist zwar auch ein gemeinsamer Nenner, aber nicht der kleinste. Zur Kontrolle müssen beide Nenner in den Hauptnenner aufgehen: 12 : 4 = 3 und 12 : 6 = 2.

Bei großen Nennern hilft die Primfaktorzerlegung. Mit 12 = 2 · 2 · 3 und 18 = 2 · 3 · 3 nimmt man jeden Primfaktor so oft, wie er in einer der beiden Zahlen am häufigsten vorkommt: die 2 zweimal, die 3 zweimal.

$$\text{kgV}(12,18)=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=36$$

Zum Schluss erweitert man jeden Bruch auf den Hauptnenner. Der Erweiterungsfaktor ist Hauptnenner : alter Nenner, und der Zähler bekommt denselben Faktor: $\frac{3}{4}=\frac{9}{12}$, $\frac{5}{6}=\frac{10}{12}$. Also ist $\frac{3}{4}<\frac{5}{6}$.

Auf Preisschildern steht selten ein Bruch, oft aber „25 % Rabatt“. Prozent heißt „von Hundert“: Das Ganze wird in 100 gleiche Teile geteilt, und p % sind p Teile davon.

$$p\%=\frac{p}{100}$$

Prozent ist also nur eine andere Schreibweise für einen Bruch mit dem Nenner 100. Am Hundertfeld sieht man das: 35 gefärbte Kästchen von 100 sind $\frac{35}{100}$ = 35 %.

Mit Kürzen wechselt man zum einfachen Bruch: $25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$, ebenso 50 % = $\frac{1}{2}$, 75 % = $\frac{3}{4}$, 20 % = $\frac{1}{5}$ und 10 % = $\frac{1}{10}$. Umgekehrt erweitert man auf den Nenner 100: $\frac{1}{5}=\frac{20}{100}=20\%$. Besonders wichtig: 100 % sind das ganze Ganze, $\frac{100}{100}=1$, und 1 % ist ein Hundertstel.

Damit lassen sich Alltagsfragen lösen. Eine Jacke kostet 60 €, es gibt 25 % Rabatt: 25 % sind $\frac{1}{4}$, und ein Viertel von 60 € sind 15 €. Aber die Prozentzahl allein sagt nichts über den Betrag – 25 % von 200 € sind 50 €.

Ein Bruch ist eine Zahl und hat einen festen Platz auf der Zahlengeraden. Um $\frac{3}{4}$ einzutragen, teilt man die Einheitsstrecke von 0 bis 1 in 4 gleiche Teile und geht 3 Teile von 0 aus nach rechts. $\frac{3}{4}$ liegt also zwischen 0 und 1 – nicht „zwischen 3 und 4“, ein Bruch sind nicht zwei Zahlen. Auch Brüche über 1 haben ihren Platz: $\frac{7}{4}$ sind 7 Viertel und liegen hinter der 1. Die Zahlengerade arbeitet wie ein Lineal: Der Abstand vom Nullpunkt zeigt, wie groß die Zahl ist.

Beim Ablesen zählt man die Abstände, nicht die Striche: Vier Striche zwischen 0 und 1 teilen die Strecke in 5 gleiche Abstände, der zweite Strich ist also $\frac{2}{5}$.

Links von der 0 liegen die negativen Bruchzahlen. $-\frac{3}{4}$ liegt spiegelbildlich zu $\frac{3}{4}$, im gleichen Abstand von 0. Wie bei den ganzen Zahlen gilt: Weiter rechts heißt größer. Deshalb ist $-\frac{1}{2}>-\frac{3}{4}$: Von zwei negativen Zahlen ist die mit dem kleineren Betrag die größere.

Die Zahlengerade zeigt, wie die Zahlen ineinanderliegen: Die natürlichen Zahlen ℕ (1, 2, 3, …) sind in den ganzen Zahlen ℤ enthalten, diese in den rationalen Zahlen ℚ – allen Brüchen samt ihren negativen. Man schreibt $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}$. Jede ganze Zahl ist auch ein Bruch mit dem Nenner 1: $5=\frac{5}{1}$, $-2=\frac{-2}{1}$. Ob ein Bruch eine ganze Zahl ist, sieht man nach dem Kürzen: $\frac{12}{4}=3$ ist ganz, $\frac{9}{2}$ nicht.

Eindeutigkeit. In ℕ und ℤ hat jede Zahl genau eine Schreibweise. In ℚ hat jede Zahl unendlich viele: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{3}{6}$ ist eine Zahl mit vielen Namen – ein einziger Punkt der Zahlengeraden.

Vorgänger und Nachfolger. Zu 7 gibt es den Nachfolger 8, zu −3 den Vorgänger −4. Bei Brüchen gibt es das nicht: Zwischen zwei Brüchen liegt immer noch ein weiterer, zum Beispiel ihre Mitte.