Flächeninhalt und Umfang

Ein Rechteckbeet hat einen Rand und ein Inneres. Der Umfang ist die Länge der Randlinie einmal rundherum; man misst ihn in m oder cm. Der Flächeninhalt sagt, wie viel Platz innerhalb des Randes liegt; man misst ihn mit Quadraten, in m² oder cm². Der Zaun gehört zum Umfang, die Rasensaat zum Flächeninhalt. Zwei Fragen, zwei Einheiten: „Wie lang ist der Zaun?“ fragt nach dem Umfang, „Wie viel Rasen wächst hier?“ nach dem Flächeninhalt. Eine Angabe wie 20 m² kann deshalb kein Umfang sein und 20 m kein Flächeninhalt.

Beide Größen gehören zum selben Rechteck und hängen doch nicht zusammen. Halte zuerst den Umfang fest und forme das Rechteck um:

Alle diese Rechtecke haben den Umfang 14 cm, aber ihr Flächeninhalt schwankt zwischen 6 cm² und 12 cm². Jetzt umgekehrt: 12 Quadrate, verschieden angeordnet.

Der Flächeninhalt ist immer 12 cm², der Umfang aber 26 cm, 16 cm oder 14 cm. Wer nur einen der beiden Werte kennt, kennt den anderen nicht. „Gleicher Umfang, also gleicher Flächeninhalt“ ist ein Irrtum – und „gleicher Flächeninhalt, also gleicher Umfang“ ebenso.

Wie misst man eine Fläche? Man legt sie mit gleich großen Quadraten aus. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge ist das Einheitsquadrat und hat den Flächeninhalt 1 cm². Passen 10 Einheitsquadrate lückenlos und ohne Überlappung in eine Figur, so ist ihr Flächeninhalt 10 cm²: Die Anzahl der Quadrate ist die Maßzahl, cm² die Einheit. Kästchenpapier hilft dabei: Ein Kästchen ist ein Einheitsquadrat, wenn seine Seite 1 cm misst. Zwei halbe Kästchen setzt man zu einem ganzen zusammen.

Die Figuren A und B sehen verschieden aus und brauchen doch beide 10 Quadrate. Verschiebt man ein Stück (umlegen), ändert sich der Flächeninhalt nicht: Es kommt nichts dazu, und es geht nichts verloren. Eine Figur, die größer aussieht, hat deshalb nicht immer den größeren Flächeninhalt.

Auch die Wahl des Quadrats zählt. Mit größeren Quadraten braucht man weniger davon: Ein Rechteck aus 32 Quadraten zu 1 cm² besteht aus nur 8 Quadraten zu 4 cm². Die Fläche bleibt gleich, die Maßzahl wird kleiner. Zu jeder Maßzahl gehört ihre Einheit.

Reihen mal Spalten

Lege ein Rechteck aus Einheitsquadraten. Ein Regler bestimmt, wie viele Reihen übereinander liegen, der andere, wie viele Quadrate in einer Reihe liegen. Zähl nicht einzeln – schau, wie die Gesamtzahl mit beiden Reglern wächst.

Das Zählen in Reihen ist schon die Formel.

Ein Rechteck lässt sich in Reihen aus Einheitsquadraten auslegen. In jeder Reihe liegen gleich viele Quadrate, die Quadrate je Reihe. Bei 3 Reihen zu 6 Quadraten sind es 3 · 6 = 18 Quadrate. Misst das Rechteck 6 cm in der Länge und 3 cm in der Breite, passen 6 Quadrate in eine Reihe und 3 Reihen übereinander: Die Maßzahlen der Seiten sind die Anzahlen. Also gilt

$$A=a\cdot b$$

Beide Längen müssen in derselben Einheit stehen: 6 cm · 3 cm = 18 cm². Die Randquadrate zu zählen oder 6 + 3 zu rechnen führt in die Irre.

Quadrat und Umfang

Beim Quadrat sind Länge und Breite gleich: $A=a\cdot a$. Ein Quadrat mit $a=3\text{cm}$ hat $9{\text{cm}}^2$, nicht $2\cdot 3=6$. Der Umfang ist die Länge des Randes: zwei Längen und zwei Breiten, also $U=2\cdot (a+b)$; beim Quadrat $U=4\cdot a$. Der Flächeninhalt ist ein Produkt in cm², der Umfang eine Summe in cm.

Die fehlende Seite

Oft sind der Flächeninhalt und eine Seite bekannt. Aus $A=a\cdot b$ folgt $b=A:a$. Ein Beet mit 35 m² und 7 m Länge ist 35 : 7 = 5 m breit. Man teilt, weil Teilen das Malnehmen rückgängig macht; die Probe 7 m · 5 m = 35 m² stimmt.

Der Faktor 100

Ein Quadrat mit 1 dm Seitenlänge ist 10 cm lang und 10 cm breit: 10 Reihen zu 10 Quadraten, also 1 dm² = 10 · 10 cm² = 100 cm². Die Länge wächst mit dem Faktor 10, die Fläche mit 10 · 10 = 100. Auf jeder Stufe von mm² über cm² und dm² bis m² gilt deshalb der Faktor 100: zur kleineren Einheit mal 100, zur größeren durch 100. Also 4 m² = 400 dm². Für große Flächen gibt es eigene Einheiten: 1 a (Ar) ist ein Quadrat mit 10 m Seitenlänge, also 100 m². 1 ha (Hektar) ist ein Quadrat mit 100 m Seitenlänge, also 100 a = 10 000 m². Weiter gilt 1 km² = 100 ha. Ein Schulgelände mit 5 ha hat 50 000 m².

Einheitentafel und Stützpunkte

Die Einheitentafel gibt jeder Einheit zwei Stellen. So liest man Kommazahlen: 2,75 m² sind 2 m² und 75 dm², zusammen 275 dm². Das Komma wandert je Einheit um zwei Stellen, nicht um eine.

Stützpunkte helfen beim Schätzen: Ein Fingernagel hat etwa 1 cm², ein DIN-A4-Blatt etwa 6 dm², eine Tür etwa 2 m² und ein Fußballfeld etwa 7 000 m², also 0,7 ha.

Zerlegen

Für eine L-förmige Figur gibt es keine fertige Formel; man macht aus ihr Rechtecke. Beim Zerlegen teilt man die Figur mit einer Hilfslinie. Die Figur ist 10 m lang und 7 m breit, rechts oben fehlt eine Ecke von 4 m × 3 m. Senkrecht geschnitten bleiben links 6 m × 7 m = 42 m² und rechts 4 m × 4 m = 16 m², zusammen 58 m². Waagerecht geschnitten sind es 6 · 3 + 10 · 4 = 18 + 40 = 58 m². Die Seiten der Teilrechtecke muss man aus den Maßen ableiten: 10 − 4 = 6 und 7 − 3 = 4.

Ergänzen und vergleichen

Man kann die Ecke auch ergänzen: Das große Rechteck hat 10 · 7 = 70 m², davon zieht man die fehlende Ecke ab: 70 − 4 · 3 = 58 m². Ergänzen heißt abziehen, nicht dazuaddieren. Alle drei Rechnungen liefern 58 m². Das ist die Kontrolle, denn eine Fläche hat nur einen Flächeninhalt. Man wählt den Weg mit den einfacheren Zahlen. Bei einem Weg um ein Beet ist das Ergänzen praktisch: das große Rechteck mit Weg minus das Beet.

Eine Sachaufgabe beginnt mit der Frage: Ist der Rand oder das Innere gemeint? Zaun, Randstein und Leiste gehören zum Umfang, Rasen, Pflaster und Farbe zum Flächeninhalt. Eine Skizze mit allen Maßen macht das sichtbar. Beim Beet (10 m × 4 m) ist für den Zaun der Umfang gefragt, 2 · (10 + 4) = 28 m; für den Rasen der Flächeninhalt, 10 · 4 = 40 m². Zum Ergebnis gehören die Einheit und ein Antwortsatz. Bei Packungen rundet man auf: 10,8 Packungen heißen 11 Packungen. Schreibe die Rechnung mit Einheiten: 10 m · 4 m = 40 m². Prüfe zuletzt mit Stützpunkten, ob das Ergebnis möglich ist: Ein Beet mit 4 000 m² wäre größer als ein halbes Fußballfeld, viel zu groß für den Schulgarten.

Nicht jede Fläche ist ein Rechteck. Einen Teich nähert man durch Rechtecke: Ein Rechteck innen liegt ganz im Teich und ist zu klein, ein Rechteck außen umschließt ihn und ist zu groß. Der wirkliche Flächeninhalt liegt dazwischen: Beim Teich unten sind es mindestens 36 m² und höchstens 77 m².

Ein Quader ist ein Körper, das Papier ist flach. Das Schrägbild hilft: Die Vorderfläche zeichnet man in wahrer Größe als Rechteck. Die Kanten, die nach hinten laufen, die Tiefenkanten, zeichnet man unter 45° schräg nach hinten und nur halb so lang: Ist der Quader 6 cm tief, wird die Tiefenkante 3 cm lang. Verdeckte Kanten zeichnet man gestrichelt. Von den zwölf Kanten sind neun sichtbar und drei verdeckt.

Vom Schrägbild rechnet man zurück: Ist eine Tiefenkante 2 cm lang gezeichnet, ist der Quader 4 cm tief. Man sieht nur drei der sechs Flächen (vorne, oben, rechts); die anderen drei liegen gegenüber und sind gleich groß. Das Schrägbild ist ein Kompromiss: Die Vorderfläche bleibt messbar, die Tiefe ist nur angedeutet. Deshalb darf man die Winkel im Bild nicht als wirkliche Winkel des Quaders lesen.

Vom Quader zum Netz

Klappt man einen Quader auf, entsteht sein Netz: sechs Rechtecke. Sie bilden drei gleich große Paare: Boden und Deckel, vorne und hinten, links und rechts. Die Oberfläche ist die Summe aller sechs Flächen:

$$O=2\cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)$$

Für a = 4 cm, b = 2 cm, c = 3 cm ist $O=2\cdot (8+12+6)=52{\text{cm}}^2$. Im Schrägbild sieht man nur drei Flächen; die anderen drei gehören dazu. Und $a\cdot b\cdot c$ ist keine Fläche. Ein Netz kann verschieden aussehen, es hat aber immer sechs Rechtecke in drei Paaren.

Falten im Kopf

Welche Flächen sich gegenüberliegen, siehst du am Netz, ohne es auszuschneiden. Liegen zwei Flächen in einer Reihe mit genau einer Fläche dazwischen, liegen sie im gefalteten Würfel oder Quader gegenüber. Flächen, die im Netz aneinanderstoßen, liegen sich nie gegenüber. Bei verwinkelten Netzen hältst du eine Fläche als Boden fest und klappst die anderen in Gedanken Stück für Stück hoch. Dabei treffen die Randkanten paarweise aufeinander: Zwei Kanten, die an einer Ecke des Netzes einen rechten Winkel bilden, schließen sich dort zusammen.

Zusammengesetzte Körper

Klebt man zwei Körper zusammen, verschwindet die Klebefläche im Inneren. Sie fällt an beiden Körpern weg, also zweimal. Beispiel: Ein Quader (3 cm × 2 cm × 1 cm) hat 22 cm², ein Würfel mit 1 cm Kante hat 6 cm², die Klebefläche ist 1 cm². Zusammen sind es 22 + 6 − 2 · 1 = 26 cm². Plane die Rechnung Fläche für Fläche, dann zählt keine doppelt und keine fehlt.