Ganze Zahlen addieren und subtrahieren

Stelle unter Stelle

Ein Zoo zählt seine Besucher: im ersten Jahr 3 482 615, im zweiten 2 749 380. Beim schriftlichen Addieren steht jede Stelle unter ihrer Stelle – Einer unter Einer, Zehner unter Zehner, bis zu den Millionen. Maßgebend ist das rechte Ende der Zahlen, nicht ihre erste Ziffer. Gerechnet wird von rechts nach links.

Ergeben zwei Ziffern zusammen zehn oder mehr, schreibst du nur die Einer der Summe hin. Die Zehn zählt als 1 in der nächsten Stelle weiter: Das ist der Übertrag. Bei sieben Stellen ist das nicht schwerer als bei dreien, es sind nur mehr Schritte.

Im Beispiel: Einer 5 + 0 = 5, Zehner 1 + 8 = 9, Hunderter 6 + 3 = 9. Bei den Tausendern ergibt 2 + 9 = 11: Du schreibst 1 hin und trägst 1 in die Zehntausender weiter. So geht es Stelle für Stelle bis zur Summe 6 231 995. Im Kopf addierst du dabei immer nur Ziffern, nie ganze Zahlen.

Subtrahieren und prüfen

Beim Subtrahieren steht der Minuend oben. Ist die obere Ziffer kleiner als die untere, wird entbündelt: Eine Einheit der nächsten Stelle wird zu zehn Einheiten hier. Ziehe nie einfach die kleinere Ziffer von der größeren ab, egal ob sie oben oder unten steht.

Ein Beispiel: $8005-2467$. Bei den Einern ist 5 kleiner als 7. Zehner und Hunderter sind 0, also kommt die Einheit vom Tausender: Aus 8 wird 7, die Nullen werden zu 9, die Einer zu 15. Ergebnis: 5 538.

Ob ein Ergebnis stimmen kann, zeigt zuerst der Überschlag: Runde beide Zahlen und rechne mit den runden Zahlen. Beim Zoo: 3,5 Mio. + 2,7 Mio. = 6,2 Mio. – die Summe 6 231 995 passt dazu. Bei einer Subtraktion folgt dann die Probe: Differenz plus Subtrahend muss wieder den Minuenden ergeben.

Zustand und Veränderung

Ein Konto kann im Plus oder im Minus stehen. Stell einen Kontostand ein, dann eine Buchung, die Geld bringt oder Geld abzieht, und schau, wo der neue Kontostand landet.

Zwei Zahlen haben dabei verschiedene Aufgaben.

Eine Zahl kann zweierlei sagen. Als Zustand zeigt sie, wo man steht: Kontostand −40 € heißt 40 € Schulden, −4 °C heißt vier Grad Frost. Als Veränderung zeigt sie, was dazukommt: eine Einzahlung von 25 € oder eine Abbuchung von 25 €, das sind −25 €.

Der neue Zustand entsteht aus dem alten und der Veränderung: $$-40+25=-15$$ Nach der Einzahlung hat das Konto noch 15 € Schulden.

Der Satz drumherum verrät, was eine Zahl ist: „Das Konto steht bei −35 €“ nennt einen Zustand, „Es werden 10 € eingezahlt“ eine Veränderung. Für die Rechnung brauchst du beide: $-35+10=-25$.

Schulden und Guthaben

Kommen Schulden zu Schulden, wird es mehr Schulden: Kontostand −30 €, Abbuchung 20 € ergibt −50 €. Bei Kälte gilt dasselbe: −6 °C und weitere 8 Grad kälter ergibt −14 °C. Die Beträge werden addiert, das Vorzeichen bleibt.

Treffen Guthaben und Schulden aufeinander, gleichen sie sich aus. Der größere Betrag entscheidet, was übrig bleibt: 50 € Guthaben und 30 € Schulden lassen 20 € Guthaben, 30 € Guthaben und 50 € Schulden lassen 20 € Schulden.

Wichtig ist der Blick auf beide Vorzeichen. Nur wenn sie verschieden sind, wird etwas ausgeglichen. Bei zwei Minus wächst die Schuld, bei zwei Plus das Guthaben. Frage dich vor dem Rechnen: In welche Richtung geht die Veränderung?

Ein Zeichen, zwei Aufgaben

In $7-3$ und in $-3$ steht dasselbe Zeichen, aber es tut zweierlei. Als Vorzeichen gehört das Minus zur Zahl: −3 ist eine Zahl links der Null. Als Rechenzeichen steht es zwischen zwei Zahlen und gibt eine Anweisung: $7-3$ heißt, von 7 drei Schritte nach links zu gehen.

Das Vorzeichen sagt, wo eine Zahl liegt, das Rechenzeichen, wohin man geht. Deshalb kann eine Rechnung als Ergebnis eine Zahl mit Vorzeichen haben: $3-7=-4$.

Mancher glaubt, 3 − 7 gehe nicht, weil man von 3 nicht 7 wegnehmen könne. Am Zahlenstrahl geht es: Nach drei Schritten steht man auf der Null, vier weitere führen nach −4.

Doppelzeichen mit Klammern

Rechenzeichen und Vorzeichen dürfen nie unmittelbar nebeneinander stehen. Soll die Zahl −3 zu 8 addiert werden, kommt sie in Klammern: $8+(-3)$. Die Klammer zeigt: Das Minus in ihr gehört zur Zahl. Am Anfang eines Terms braucht das Vorzeichen keine Klammer: $-3+8$.

Beim Vorlesen hilft die Klammer ebenfalls: $8+(-3)$ liest du als „8 plus die Zahl minus 3“. Auch spätere negative Summanden brauchen sie: $4+(-3)+(-2)$.

Ein Zeichen ist also ein Rechenzeichen, wenn davor eine Zahl oder eine schließende Klammer steht. Sonst ist es ein Vorzeichen.

Start, Pfeil, Ziel

Stell dir den Zahlenstrahl als Weg vor. Du stehst irgendwo – auch links von der Null – und gehst ein Stück nach rechts oder nach links. Stell Start und Schritte ein und schau, wo du ankommst.

So wird aus einem Weg eine Rechnung.

Am Zahlenstrahl wird eine Summe zu einem Weg. Der erste Summand legt den Start fest. Der zweite Summand ist ein Pfeil: Ein positiver zeigt nach rechts, ein negativer nach links, seine Länge ist der Betrag. Das Ziel ist die Summe.

$-3+5$: Start bei −3, fünf Schritte nach rechts, Ziel 2. $4+(-6)$: Start bei 4, sechs Schritte nach links, Ziel −2. Die Richtung kommt vom Vorzeichen des zweiten Summanden.

Vorsicht: Auch ein negativer Start ändert die Richtung nicht. $-5+2$ hat einen Pfeil nach rechts und das Ziel −3. Der Start sagt nur, wo du beginnst.

Über die Null

Im Kopf hilft die Null als Zwischenstation. $-3+5$: erst 3 Schritte bis zur Null, dann bleiben 2 – Ergebnis 2. Bei $-8+5$ reicht der Pfeil nicht bis zur Null: Es fehlen 3, das Ergebnis ist −3.

Daraus folgt die Kurzregel für glatte Zahlen im Kopf: Haben beide Summanden dasselbe Vorzeichen, addierst du die Beträge und behältst das Vorzeichen: $-30+(-20)=-50$. Haben sie verschiedene Vorzeichen, ziehst du den kleineren Betrag vom größeren ab; das Vorzeichen kommt vom größeren Betrag: $-70+30=-40$.

Prüfe dein Ergebnis mit dem Pfeil: Beginnt er links der Null und zeigt nach rechts, ist das Ergebnis positiv, wenn er über die Null hinausreicht, sonst bleibt es negativ.

Jede Differenz ist eine Summe

$5-3$ und $5+(-3)$ führen zum selben Ziel: Drei wegnehmen ist dasselbe wie −3 hinzufügen. Allgemein gilt $$a-b=a+(-b)$$ Statt eine Zahl zu subtrahieren, addierst du ihre Gegenzahl. Am Zahlenstrahl zeigt der Pfeil für „− b“ genau entgegengesetzt zum Pfeil für „+ b“.

Ein Beispiel mit Geld: Von 5 € Guthaben 3 € abgeben ist $5-3=2$. Es ist genauso, als kämen 3 € Schulden dazu: $5+(-3)=2$.

Schulden wegnehmen

Was heißt $5-(-3)$? Wer 3 € Schulden erlassen bekommt, hat 3 € mehr: $5-(-3)=5+3=8$. Die Gegenzahl von −3 ist 3. Die Tafel unten bestätigt es: Jede Zeile ergibt 1 mehr, weil der Subtrahend um 1 sinkt. So setzt sich das Muster über die Null hinaus fort.

Die Differenz misst auch den Abstand: Von −3 bis 5 sind es 8 Schritte, also $5-(-3)=8$.

Vorsicht: „Subtrahieren macht kleiner“ stimmt nur, solange der Subtrahend positiv ist. $5-(-3)=8$ ist größer als 5.

Die Lücke suchen

Bei $-4+x=5$ fehlt der zweite Summand. Du kannst probieren: Bei x = 9 stimmt es. Sicherer ist die Umkehraufgabe: Am Zahlenstrahl fragst du, wie weit es von −4 bis 5 ist. Das ist eine Subtraktion: $x=5-(-4)=9$. Allgemein wird aus $a+x=b$ die Umkehraufgabe $x=b-a$.

Fehlt der Minuend, macht die Umkehraufgabe das Abziehen rückgängig: $x-3=-7$ heißt $x=-7+3=-4$. Aus $x-a=b$ wird $x=b+a$.

Warum funktioniert das? Addieren und Subtrahieren machen einander rückgängig. Bei kleinen Zahlen genügt oft Probieren, bei größeren führt die Umkehraufgabe schneller zum Ziel.

Systematisch probieren heißt: Du legst eine Probiertabelle an, rechnest für jeden Versuch die linke Seite aus und vergleichst sie mit der rechten. Bei $x+9=4$ ergibt x = 0 den Wert 9, das ist zu groß; x = −10 ergibt −1, das ist zu klein. Die Lösung liegt also dazwischen, und x = −5 trifft: $-5+9=4$. Der Treffer ist zugleich die Probe.

Probe und Tücke

Steht die Unbekannte hinten, wie in $2-x=-3$, führt „b − a“ in die Irre. Der Pfeil „− x“ führt von a nach b, also ist x der Abstand von b bis a: $x=a-b=2-(-3)=5$. Aus $a-x=b$ wird $x=a-b$, nicht $b-a$.

Prüfe jede Lösung mit der Probe: Setze x ein, beide Seiten müssen denselben Wert haben. Für x = 5 gilt $2-5=-3$. Wer „b − a“ rechnet, erhält x = −5, und $2-(-5)=7$ ist nicht −3.

Merke dir den Unterschied: Steht x vorn ($x-a=b$), addierst du a. Steht x hinten ($a-x=b$), rechnest du „a minus b“.

Beim Addieren darfst du Summanden vertauschen und beliebig zusammenfassen: $a+b=b+a$ (Kommutativgesetz) und $(a+b)+c=a+(b+c)$ (Assoziativgesetz). Für die Subtraktion gilt das nicht: $8-3\ne 3-8$.

Weil jede Differenz eine Summe ist, kannst du auch Differenzen umordnen. Wichtig: Das Vorzeichen bleibt bei seiner Zahl. $$12-20+8=12+(-20)+8=12+8+(-20)=0$$

Das bringt Rechenvorteile. Suche Gegenzahlen, die sich aufheben: $-38+25+38=25$. Fasse Zahlen zu glatten Summen zusammen: $64+(-17)+36=100-17=83$.

Jede Umordnung musst du prüfen können: $20-8+5=17$ und $20+5-8=17$ haben denselben Wert. Ordnest du dagegen die Vorzeichen um, wie in $20-5+8=23$, ändert sich der Wert.

Ein guter Rechenweg beginnt mit dem Suchen: Welche Zahlen ergeben zusammen 0, 10 oder 100? Sie kommen zuerst dran.

Summe oder Differenz?

Ein Term hat eine Struktur. Sein Name richtet sich nach dem letzten Rechenschritt. $8-(5-3)$ ist eine Differenz mit dem Minuenden 8 und dem Subtrahenden (5 − 3). $7+(4-9)$ ist eine Summe mit den Summanden 7 und (4 − 9).

Die Klammer bestimmt, was zuerst gerechnet wird: $8-(5-3)=8-2=6$. Ohne Klammer rechnest du von links nach rechts: $8-5-3=3-3=0$.

Bei einer einfachen Differenz wie $30-12$ ist 30 der Minuend, 12 der Subtrahend und das Ergebnis die Differenz. Bei einer Summe heißen die Zahlen Summanden.

Minus vor der Klammer

Steht ein Minus vor der Klammer, wird die ganze Klammer subtrahiert, also ihre Gegenzahl addiert. Dabei kehren sich alle Vorzeichen in der Klammer um: $8-(5-3)=8-5+3=6$. Am Zahlenstrahl gehst du erst 5 zurück, dann 3 wieder vor.

Mit der aufgelösten Klammer rechnest du nun von links nach rechts: $8-5=3$, dann $3+3=6$. Das Ergebnis ist dasselbe wie „Klammer zuerst“.

Schreibe die Rechnung als fortlaufende Kette: Jede Zeile hat den Wert der vorigen, und „=“ heißt „hat denselben Wert“. Falsch ist $8-5=3-3=0$, denn 8 − 5 ist nicht 3 − 3.