Geometrische Figuren und Lagebeziehungen

Zwei Achsen, ein Ursprung

Wie beschreibt man einem anderen, wo ein Punkt liegt, ohne darauf zu zeigen? Zieh den Punkt P durch das Gitter und beobachte, welche Wege vom Nullpunkt zu ihm führen.

Die zwei Wege, erst nach rechts und dann nach oben, sind schon die ganze Idee.

Wie beschreibt man einen Ort, ohne auf ihn zu zeigen? Man zeichnet zwei Zahlenstrahlen, die sich in ihrem Nullpunkt im rechten Winkel treffen: die x-Achse nach rechts und die y-Achse nach oben. Ihr gemeinsamer Nullpunkt heißt Ursprung $O(0\mid 0)$.

Jeder Punkt bekommt ein Zahlenpaar: $P(x\mid y)$. Bei $P(4\mid 3)$ geht man vom Ursprung 4 nach rechts (Rechtswert) und dann 3 nach oben (Hochwert). Die Reihenfolge ist fest: erst rechts, dann hoch. $P(4\mid 3)$ und $Q(3\mid 4)$ sind zwei verschiedene Punkte. Auf der x-Achse ist der Hochwert 0, zum Beispiel $A(5\mid 0)$; auf der y-Achse ist der Rechtswert 0. Zähle beim Ablesen die Gitterlinien vom Ursprung aus, nicht die Kästchen dazwischen.

Figuren im Gitter

Mit Koordinaten legt man Figuren genau fest. Ein Rechteck hat die Ecken $A(1\mid 1)$, $B(5\mid 1)$ und $C(5\mid 4)$. A und B haben denselben Hochwert: Die Seite von A nach B verläuft waagerecht. B und C haben denselben Rechtswert: Die Seite von B nach C verläuft senkrecht.

Für die vierte Ecke D braucht man den Rechtswert von A und den Hochwert von C, also $D(1\mid 4)$. Gleiche Koordinate heißt: gleiche Waagerechte oder gleiche Senkrechte.

Zwei verschiedene Punkte A und B lassen sich auf drei Arten verbinden. Die Strecke $[AB]$ beginnt in A und endet in B; ihre Länge schreibt man $|AB|$. Der Strahl $[AB$ beginnt in A, läuft durch B und hört nie auf: Er hat einen Anfang, aber kein Ende. Die Gerade AB läuft in beide Richtungen unendlich weit. Nur die Strecke hat eine Länge. Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade; man nennt sie auch $g=AB$.

Ein Punkt P kann auf der Geraden AB liegen, ohne auf der Strecke $[AB]$ zu liegen: Er liegt dann in der Verlängerung. Die Gerade geht weiter, auch wenn das Blatt aufhört.

Im Koordinatensystem legen zwei Gitterpunkte eine Gerade fest. Von $A(1\mid 1)$ nach $B(3\mid 2)$ geht man 2 nach rechts und 1 nach oben. Wiederholt man diesen Schritt, findet man weitere Punkte der Geraden: $(5\mid 3)$, $(7\mid 4)$.

Parallel oder senkrecht

Zwei verschiedene Geraden g und h in einer Ebene haben entweder genau einen gemeinsamen Punkt oder keinen. Haben sie keinen, heißen sie parallel: $g\parallel h$. Schneiden sie sich im rechten Winkel (90°), heißen sie senkrecht: $g\perp h$.

Geraden sind unbegrenzt. Zwei gezeichnete Linien, die vor dem Blattrand aufhören, können sich trotzdem schneiden – man muss sie in Gedanken verlängern. Und ob zwei Geraden senkrecht sind, hängt nicht von der Drehung des Blattes ab: Auch zwei schräge Geraden können senkrecht aufeinander stehen.

Lot und Abstand

Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge der kürzesten Strecke von P nach g. Diese Strecke steht senkrecht auf g: Man fällt das Lot von P auf g. Es trifft g im Fußpunkt F, und es gilt $d(P;g)=|PF|$. Jede andere Strecke von P zu g ist länger. Mit dem Geodreieck legst du die Mittellinie auf g und schiebst, bis die lange Kante durch P geht.

Bei parallelen Geraden $g\parallel h$ ist der Abstand überall gleich: Von jedem Punkt auf g hat das Lot auf h dieselbe Länge.

Mit dem Zirkel entsteht ein Kreis: Spitze in den Mittelpunkt M, Radius r einstellen, einmal herum. Alle Punkte der Kreislinie haben denselben Abstand r von M. Der Kreis $k(M;r)$ ist die Menge aller Punkte P mit $|MP|=r$.

Punkte mit $|MP|<r$ liegen innerhalb, Punkte mit $|MP|>r$ außerhalb; zur Kreislinie gehören sie nicht – der Mittelpunkt M auch nicht. Die Strecke von M zu einem Punkt der Kreislinie heißt Radius. Eine Strecke durch M von Kreispunkt zu Kreispunkt ist ein Durchmesser: $d=2r$.

Im Koordinatensystem liegen auf $k(M(4\mid 3);2)$ die vier Gitterpunkte $(6\mid 3)$, $(2\mid 3)$, $(4\mid 5)$ und $(4\mid 1)$: Man geht von M aus 2 Einheiten nach rechts, links, oben oder unten. Der Punkt $(5\mid 4)$ ist weniger als 2 von M entfernt und liegt im Inneren.

Abstand von einem Punkt

Der Schatz liegt genau 3 cm vom Baum Z entfernt. Wo? Nicht an einer einzigen Stelle: Alle Punkte mit Abstand 3 cm von Z bilden den Kreis $k(Z;3\text{cm})$. Die Bedingung entscheidet, welche Menge gemeint ist: genau 3 cm ist die Kreislinie, höchstens 3 cm die Kreislinie samt Innerem – die Kreisfläche.

Ein WLAN-Router reicht 30 m weit. Empfang haben alle Orte mit Abstand höchstens 30 m: die ganze Kreisfläche, nicht nur der Rand.

Abstand von einer Geraden

Alle Punkte mit Abstand 2 cm von einer Geraden g liegen auf zwei Parallelen zu g: eine auf jeder Seite, beide 2 cm von g entfernt. Der Abstand wird im Lot gemessen.

Gelten zwei Bedingungen zugleich, zählen nur die gemeinsamen Punkte. Der Schatz liegt genau 3 cm vom Baum B und genau 2 cm vom geraden Weg g entfernt: Er liegt auf dem Kreis um B und auf einer der beiden Parallelen. Das können vier, drei, zwei, ein oder gar kein Punkt sein – je nachdem, wie weit B von g steht. Zeichne zuerst beide Mengen, dann lies die gemeinsamen Punkte ab.

Kreis und Gerade

Eine Gerade g und ein Kreis $k(M;r)$ begegnen sich auf drei Arten; entscheidend ist die Zahl der gemeinsamen Punkte. Hat g keinen, ist g eine Passante. Hat g genau einen, ist g eine Tangente; der Punkt heißt Berührpunkt B. Hat g zwei, ist g eine Sekante.

Welche der drei gilt, verrät der Abstand $d=d(M;g)$ des Mittelpunkts von der Geraden, verglichen mit dem Radius: $d>r$ Passante, $d=r$ Tangente, $d<r$ Sekante. Bei der Tangente ist das Lot von M auf g der Berührradius $[MB]$: Die Tangente steht senkrecht auf ihm. Eine Gerade, die dem Kreis nur sehr nahe kommt, bleibt eine Passante.

Zwei Kreise

Bei zwei Kreisen $k_1(M_1;r_1)$ und $k_2(M_2;r_2)$ zählt der Abstand $e=|M_1{M}_2|$ der Mittelpunkte. Ohne gemeinsamen Punkt liegen die Kreise außerhalb oder ineinander; mit genau einem berühren sie sich – von außen oder von innen; mit zwei Punkten schneiden sie sich. Bei $r_1=3$ und $r_2=2$ berühren sie sich von außen für $e=3+2=5$ und von innen für $e=3-2=1$; dazwischen schneiden sie sich.

Winkel und ihre Arten

Zwei Strahlen beginnen im selben Punkt. Einer liegt fest, den anderen drehst du – ein kleines Stück, eine Vierteldrehung, eine halbe, fast eine ganze. Dreh ihn ganz herum, bevor du weiterliest.

Die Öffnung zwischen den beiden Strahlen ist ein Winkel.

Ein Winkel entsteht, wenn zwei Strahlen im selben Punkt beginnen. Der Anfangspunkt heißt Scheitel S, die Strahlen heißen Schenkel. Wie groß der Winkel ist, hängt nur von der Öffnung ab, nicht von der Länge der Schenkel. Gemessen wird in Grad; eine volle Drehung sind 360°.

Man benennt einen Winkel mit drei Punkten, $\angle ASB$, der Scheitel steht in der Mitte, oder mit einem griechischen Buchstaben wie α. Nach der Größe heißt er spitz (unter 90°), recht (90°), stumpf (zwischen 90° und 180°), gestreckt (180°), überstumpf (zwischen 180° und 360°) oder Vollwinkel (360°).

Messen mit dem Geodreieck

Beim Messen legst du den Nullpunkt des Geodreiecks auf den Scheitel und die Nulllinie auf einen Schenkel. Am anderen Schenkel liest du ab – auf der Skala, die am ersten Schenkel bei 0° beginnt. Prüfe mit dem Augenmaß: Ein spitzer Winkel hat weniger als 90°, also nie 140°.

Das Geodreieck reicht nur bis 180°. Einen überstumpfen Winkel misst du deshalb auf der anderen Seite und ergänzt zu 360°: Misst du dort 110°, ist der überstumpfe Winkel $360°-110°=250°$.

Parallelogramm, Rechteck, Quadrat

Ein Viereck hat vier Seiten. Im Parallelogramm sind beide Paare gegenüberliegender Seiten parallel – und gleich lang. Sind außerdem alle Winkel rechte Winkel, ist es ein Rechteck. Sind bei einem Rechteck auch alle vier Seiten gleich lang, ist es ein Quadrat.

Das Quadrat ist also ein besonderes Rechteck, das Rechteck ein besonderes Parallelogramm. Ein gedrehtes Quadrat bleibt ein Quadrat.

Raute und Drachenviereck

Eine Raute hat vier gleich lange Seiten. Bei ihr sind gegenüberliegende Seiten sogar parallel; sie ist also ein besonderes Parallelogramm. Ein Drachenviereck hat zwei Paare gleich langer Nachbarseiten; gegenüberliegende Seiten sind meist nicht parallel. Die Raute ist ein Sonderfall des Drachenvierecks.

Trapez und Haus der Vierecke

Ein Trapez hat mindestens ein Paar paralleler Seiten. Nach dieser Definition ist jedes Parallelogramm auch ein Trapez. Das Haus der Vierecke ordnet die Formen: Jede Form ist ein Sonderfall der Form, mit der sie nach oben verbunden ist. Ein Quadrat ist zugleich Rechteck, Raute, Parallelogramm und Trapez.

Vierecke im Kopf zerlegen

Viele Fragen über Vierecke kannst du im Kopf beantworten: Stell dir vor, du zerschneidest die Figur, faltest sie oder legst ihre Teile neu zusammen. Schneidet man ein Quadrat entlang einer Diagonale, entstehen zwei gleiche rechtwinklige Dreiecke, und faltet man es an dieser Diagonale, liegen die Hälften genau aufeinander. Legst du zwei gleiche Dreiecke an einer Seite wieder zusammen, achte auf die gleich langen Seiten: Liegen sie einander gegenüber, ist das neue Viereck ein Parallelogramm; stoßen sie in einer Ecke zusammen, ein Drachenviereck.