Lineare Funktionen

Zwei Handytarife: Schiebe den Punkt P von Tarif B nach rechts, also zu mehr Minuten, und beobachte, wie der Preis mitwächst. Dann kippe die Gerade mit dem zweiten Regler.

Tarif B hat eine Eigenschaft, die Tarif A fehlt. Er ist der einfachere. 10 Minuten kosten 2,50 €, 20 Minuten 5 €, 30 Minuten 7,50 €: doppelte Zeit, doppelter Preis, dreifache Zeit, dreifacher Preis. Das kennst du als direkte Proportionalität. Man erkennt sie am Quotienten: Teilt man jeden Preis durch seine Minuten, kommt immer dasselbe heraus, y : x = 2,5 : 10 = 5 : 20 = 7,5 : 30 = 0,25.

Dieser feste Quotient heißt Proportionalitätsfaktor a, hier der Preis je Minute. Mit ihm lautet der Term

$$y=a\cdot x\text{hier }y=0,25\cdot x$$

Trägt man die Wertepaare als Punkte $(x\mid y)$ ein, erst die Minuten nach rechts, dann den Preis nach oben, liegen sie auf einer Geraden durch den Ursprung, der Ursprungsgerade: 0 Minuten kosten 0 €. In der Abbildung ist P ein Punkt dieser Geraden. Schiebe ihn mit dem Regler x von 20 auf 60 Minuten: Der Preis steigt von 5 € auf 15 €, der Chip y : x bleibt bei 0,25. Nur der Regler a ändert ihn, und mit ihm kippt die Gerade.

Tarif A

Tarif A, die orange gestrichelte Gerade mit dem Punkt Q, passt nicht in dieses Muster. Nach 20 Minuten kostet er 8 €, nach 60 Minuten 12 €: dreifache Zeit, aber nicht dreifacher Preis. Sein Quotient ist einmal 8 : 20 = 0,40 und einmal 12 : 60 = 0,20, und seine Gerade beginnt auf der y-Achse bei 6 €, nicht im Ursprung. Auch Alter und Körpergröße eines Kindes wachsen gemeinsam, ohne dass ihr Quotient gleich bleibt. Nicht jedes „mehr – mehr“ ist proportional.

Tarif A ist trotzdem eine Gerade, und jede Minute kostet bei ihm gleich viel. Einen festen Faktor a hat er nicht. Wie misst man dann, wie steil er ist?

Das Steigungsdreieck

Bei Tarif A ist y : x nicht fest. Fest ist etwas anderes, das du vom Änderungsverhalten kennst: der Zuwachs. Bei einer Geraden wächst y bei jedem Schritt um dasselbe Stück. Jede weitere Minute kostet bei Tarif A 0,10 €, ob es die fünfte ist oder die fünfzigste. Diesen Zuwachs misst man an jeder Geraden auf dieselbe Weise.

Die Gerade in der Abbildung begleitet uns durch die nächsten Abschnitte. Geh vom Punkt A(1 | 3) aus 2 nach rechts und dann 4 nach oben: Du landest in B(3 | 7) wieder auf der Geraden. Auf 2 Schritte nach rechts kommen 4 nach oben, also 4 : 2 = 2 nach oben je Schritt nach rechts.

Das rechtwinklige Dreieck aus den beiden Wegen heißt Steigungsdreieck. Seine Breite heißt Δx (gesprochen „Delta x“), seine Höhe Δy. Δ ist das griechische D, für Differenz: Δx ist kein Produkt aus Δ und x, sondern der Unterschied zweier x-Werte, hier Δx = 3 − 1 = 2 und Δy = 7 − 3 = 4. Den Quotienten nennt man die Steigung m der Geraden:

$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-3}{3-1}=2$$

Wie groß das Dreieck ist und wo es sitzt, spielt keine Rolle. Der Chip zeigt es: 1 nach rechts heißt 2 nach oben, und weiter oben, ab (2 | 5), heißt 2 nach rechts wieder 4 nach oben. Nicht vertauschen: Wer Δx : Δy rechnet, erhält 2 : 4 = 0,5, eine Gerade, die viermal flacher wäre als die gezeichnete.

Steigen, fallen, je Einheit

Bei $\Delta x=1$ ist $\Delta y=m$: Die Steigung ist die Änderungsrate, die Änderung von y, wenn x um 1 wächst. In einer Sachaufgabe trägt sie eine Einheit. Tarif A kostet nach 20 Minuten 8 €, nach 60 Minuten 12 €: Δx = 40 Minuten, Δy = 4 €, also m = 4 € : 40 min = 0,10 € je Minute, genau der Minutenpreis. Bei Tarif B ist m = 0,25 € je Minute, der Faktor a der Ursprungsgeraden: Bei einer Ursprungsgeraden sind Steigung und Proportionalitätsfaktor dieselbe Zahl.

Das Vorzeichen zeigt die Richtung, von links nach rechts gelesen: $m>0$ steigt, $m<0$ fällt, $m=0$ ist waagerecht. Und die Steigung ist keine Höhe: Nach 20 Minuten liegt Tarif A höher als B, 8 € gegenüber 5 €, und ist trotzdem flacher, 0,10 gegenüber 0,25.

Bei jedem m geht diese Gerade durch denselben Punkt (0 | 1) auf der y-Achse. Die Steigung allein legt also keine Gerade fest: Tarif A hat dieselbe Steigung wie die Ursprungsgerade y = 0,10 · x und liegt doch überall 6 € darüber.

Steigung und Startwert

Zwei Regler, eine Gerade. Bewege zuerst nur den einen, dann nur den anderen, und achte darauf, was die Gerade jeweils tut: Wandert sie, oder dreht sie sich?

Jeder der beiden Regler ist eine Zahl im Term der Geraden. Tarif A kostet 6 € Grundgebühr und 0,10 € je Minute. Nach x Minuten zahlt man also $y=0,10\cdot x+6$. Der Preis hat zwei Teile: Der erste wächst mit jeder Minute um die Steigung 0,10, der zweite ist schon bei 0 Minuten da. Setzt man $x=0$ ein, bleibt $y=6$: Die Gerade trifft die y-Achse in (0 | 6). Das kennst du von den Schnittpunkten mit den Achsen: Jeder Graph schneidet die y-Achse bei x = 0, im Punkt S(0 | f(0)).

Jede Gerade aus diesem Kurs lässt sich so schreiben:

$$y=m\cdot x+t$$

Dabei ist m die Steigung aus dem Steigungsdreieck, die Zahl bei x, und t heißt y-Achsenabschnitt, die allein stehende Zahl. Die Gerade trifft die y-Achse im Punkt $S(0\mid t)$; in einer Sachaufgabe ist t der Startwert, bei Tarif A die Grundgebühr. Die Gerade mit dem Steigungsdreieck ist $y=2x+1$ mit $m=2$ und $t=1$, ihr S ist (0 | 1). Bei $y=5-2x$ ist $m=-2$ und $t=5$: Zur Zahl gehört ihr Vorzeichen, und die Reihenfolge der Summanden ist egal. Die Ursprungsgerade $y=a\cdot x$ ist der Fall $t=0$.

t verschiebt, m dreht

Ändert man t, wandert die Gerade nach oben oder unten, ohne zu kippen: Sie bleibt parallel zur alten. Ändert man m, kippt sie um den Punkt $S(0\mid t)$, steiler oder flacher. Zwei Geraden mit gleichem m sind parallel; zwei mit gleichem t treffen sich auf der y-Achse. So liegen Tarif A und die Ursprungsgerade y = 0,10 · x parallel, 6 € übereinander.

Nicht verwechseln: Bei $y=2x+7$ macht nicht die 7 die Gerade steil, sondern die 2. Die 7 ist nur die Höhe bei $x=0$. Und t ist nicht die Stelle, an der die Gerade die x-Achse trifft: $y=2x+1$ trifft sie links vom Ursprung, nicht bei 1.

Mit m und t ist jede solche Gerade festgelegt. Zwei Fragen bleiben: Wie zeichnet man sie, und wie kommt man von einer gezeichneten Geraden zurück zu m und t?

Eine Gerade zeichnen

Für $y=2x+1$ markiert man zuerst $S(0\mid t)=S(0\mid 1)$. Von dort geht man mit dem Steigungsdreieck 1 nach rechts und m = 2 nach oben und erreicht $(1\mid 3)$, den Punkt A vom Steigungsdreieck. Zwei Punkte legen die Gerade fest; ein dritter dient als Probe: Noch 2 nach rechts und 4 nach oben liegt $(3\mid 7)$, der Punkt B. In der Abbildung ist das der Start: S, das Dreieck und der zweite Punkt.

Ist die Steigung ein Bruch $m=\frac{p}{q}$, geht man q nach rechts und p nach oben, bei negativem p nach unten. Für $m=\frac{3}{4}$ sind das 4 nach rechts und 3 hoch, für $m=-\frac{2}{3}$ 3 nach rechts und 2 hinunter: Der Nenner gehört nach rechts, der Zähler nach oben.

Die Gleichung ablesen

Rückwärts liest man t dort ab, wo die Gerade die y-Achse trifft, und m an einem Steigungsdreieck zwischen zwei Gitterpunkten, mit Vorzeichen. Ein großes Dreieck liest genauer ab als ein kleines. Unsere Gerade trifft die y-Achse bei 1 und steigt von $(0\mid 1)$ nach $(1\mid 3)$: $t=1$, $m=2$, wieder $y=2x+1$. Wer t dort abliest, wo die Gerade die x-Achse trifft, bekommt eine Zahl links vom Ursprung und eine falsche Gleichung.

Aus Punkt und Steigung, aus zwei Punkten

Oft kennt man von einer Geraden nur die Steigung und einen Punkt. Eine Gerade hat m = 2 und geht durch $B(3\mid 7)$. Es fehlt nur t. Weil B auf der Geraden liegt, muss die Punktprobe stimmen, die du von Funktionen kennst: Setzt man die x-Koordinate ein, kommt die y-Koordinate heraus. Also $7=2\cdot 3+t$. Diese Gleichung löst man wie jede andere, auf beiden Seiten 6 abziehen: $t=7-6=1$. Die Gleichung lautet $y=2x+1$. Allgemein gilt für einen Punkt $P(x_1\mid y_1)$: $t=y_1-m\cdot x_1$. Wer die 6 addiert statt abzieht, erhält t = 13, und $y=2x+13$ verfehlt B: $2\cdot 3+13=19$, nicht 7.

Sind zwei Punkte gegeben, berechnet man erst m und dann t. Für $A(1\mid 3)$ und $B(3\mid 7)$ ist $m=\frac{7-3}{3-1}=2$. Dann setzt man A ein: $3=2\cdot 1+t$, also $t=1$. Zur Probe muss B passen: $2\cdot 3+1=7$. Beide Wege führen auf dieselbe Gerade $y=2x+1$ zurück. Zähler und Nenner subtrahiert man in derselben Reihenfolge: $\frac{7-3}{1-3}=-2$ wäre eine fallende Gerade, obwohl B rechts oberhalb von A liegt. In der Abbildung ist A fest; verschiebe B und lies m und t an den Chips ab. Bei B(3 | 7) zeigen sie 2 und 1.

Waagerecht und senkrecht

Haben beide Punkte dasselbe y, ist $\Delta y=0$ und $m=0$: Die Gerade $y=c$ ist waagerecht. Haben sie dasselbe x, ist $\Delta x=0$, und durch null teilt man nicht: Es gibt keine Steigung. Die senkrechte Gerade $x=a$ ist auch keine Funktion, denn eine Funktion ordnet jedem x genau ein y zu, und hier gehören zu dem einen x unendlich viele y. Deshalb schreibt man senkrechte Geraden nicht als y = m · x + t, sondern als x = a.

Die Nullstelle einer Geraden

Wo trifft $y=2x+1$ die x-Achse? Dort, wo $y=0$ ist: Das ist die Nullstelle, wie du sie von Funktionen kennst, die Stelle mit f(x) = 0. Man löst $2x+1=0$: auf beiden Seiten 1 abziehen, $2x=-1$, durch 2 teilen, $x=-0,5$. Der Punkt ist $N(-0,5\mid 0)$, links vom Ursprung, wie schon bei t behauptet. Zur Probe: $2\cdot (-0,5)+1=0$. In der Abbildung sitzt N genau dort.

Dieselben Schritte mit Buchstaben: $m\cdot x+t=0$ ergibt $x_0=-\frac{t}{m}$ (gesprochen „x null“, für $m\ne 0$), hier $-\frac{1}{2}=-0,5$. Wer das Minus vergisst, erhält +0,5. Das kann nicht stimmen: Die Gerade steigt und liegt bei x = 0 schon bei 1, über der Achse, also muss sie die Achse links davon treffen.

Schnittpunkt und Parallelen

Die x-Achse ist selbst eine Gerade, y = 0. Für zwei beliebige Geraden geht man genauso vor. Die fallende Gerade $y=-x+7$ kreuzt unsere; in der zweiten Abbildung ist sie orange, unsere cyan. Im Schnittpunkt haben beide dasselbe x und dasselbe y, also setzt man die Terme gleich: $2x+1=-x+7$. Wie bei jeder Gleichung mit x auf beiden Seiten: x addieren und 1 abziehen ergibt $3x=6$, also $x=2$. Dann setzt man in einen Term ein: $y=2\cdot 2+1=5$, und zur Probe in den anderen: $-2+7=5$. Der Schnittpunkt ist $S(2\mid 5)$; erst mit beiden Koordinaten ist er fertig. (S steht für Schnittpunkt, wie bei S(0 | t) auf der y-Achse.)

So beantwortet man auch die Frage vom Anfang. Tarif A kostet $0,10x+6$, Tarif B $0,25x$. Gleichsetzen: $0,10x+6=0,25x$, also $6=0,15x$ und $x=40$. Einsetzen: $0,25\cdot 40=10$. Nach 40 Minuten kosten beide Tarife 10 €.

Haben zwei Geraden dieselbe Steigung, sind sie parallel. Für unsere Gerade und ihre Parallele g führt $2x+1=2x-2$ auf $1=-2$, eine falsche Aussage: Es gibt keinen Schnittpunkt. Stimmen auch die t überein, ist die Gleichung immer wahr, und die Geraden sind identisch.

Am Graphen lösen

Für welche x ist $2x+1>5$? Eine solche Ungleichung ist, wie a < 3, für manche Zahlen wahr und für andere falsch; alle passenden x zusammen bilden ihre Lösungsmenge. Am Graphen lautet die Frage: Wo liegt unsere Gerade $y=2x+1$ oberhalb der waagerechten Geraden $y=5$? Die Grenze ist die Stelle, an der sich beide schneiden: $2x+1=5$ ergibt $x=2$. Weil die Gerade steigt, liegt die Lösung rechts davon: $x>2$. Probe mit einer Zahl auf jeder Seite: x = 3 ergibt 7, größer als 5; x = 1 ergibt 3, nicht größer als 5.

Umformen und das Zeichen

Rechnerisch löst man wie eine Gleichung: $2x+1>5$, auf beiden Seiten 1 abziehen, $2x>4$, durch 2 teilen, $x>2$. Mit einer Ausnahme: Multipliziert oder teilt man mit einer negativen Zahl, dreht sich das Zeichen um. Der Grund liegt am Zahlenstrahl: 2 < 3, aber $-2>-3$, denn −2 liegt rechts von −3. Mal −1 spiegelt alle Zahlen am Nullpunkt, und die Reihenfolge kehrt sich um.

Die fallende Gerade vom Schnittpunkt: $-x+7>5$ ergibt $-x>-2$, und geteilt durch −1 wird daraus $x<2$. Wer das Zeichen nicht umdreht, schreibt x > 2, aber x = 3 ergibt −3 + 7 = 4, und 4 ist nicht größer als 5. Der Graph zeigt es: Die Gerade fällt, deshalb liegt die Lösung links der Grenze.

Die Lösungsmenge als Intervall

Die Lösungsmenge schreibt man als Intervall. Gehört die Grenze dazu (≤, ≥), steht die abgeschlossene Klammer, sonst die offene: $x>2$ ist $L=]2;\infty [$, gelesen „von 2 bis unendlich, ohne 2“. Die fallende Gerade lieferte $x<2$, also $L=]-\infty ;2[$, und $x\le -1$ ist $L=]-\infty ;-1]$. Bei $\infty$ (unendlich) steht immer die offene Klammer, denn ∞ ist keine Zahl, die man erreicht. Zur Probe setzt man eine Zahl aus der Lösungsmenge und eine außerhalb ein.

Vom Text zur Funktion

Die Tarife vom Anfang sind ein lineares Modell: eine Größe, die sich gleichmäßig ändert. Aus dem Text liest man zwei Zahlen, den Startwert t (Grundgebühr, Anfangsmenge) und die Änderung je Einheit m (Preis je Minute, Verbrauch je Stunde). Tarif A ergibt $y=0,10\cdot x+6$, Tarif B ohne Grundgebühr $y=0,25x$. Wer die beiden Zahlen vertauscht und $y=6x+0,10$ schreibt, zahlt nach 20 Minuten 120,10 €. Die Einheiten verhindern das: 6 € fallen einmal an, 0,10 € je Minute.

Im Sachzusammenhang tragen m und t Einheiten, und jeder besondere Punkt hat eine Bedeutung. t ist der Wert bei $x=0$: 6 € für null Minuten. Der Schnittpunkt S(40 | 10), in der Abbildung pink, heißt: Bei 40 Minuten kosten beide Tarife 10 €. Davor ist B günstiger, nach 20 Minuten 5 € statt 8 €, danach A, nach 60 Minuten 12 € statt 15 €. Das ist die Antwort vom Anfang: Wer mehr als 40 Minuten telefoniert, nimmt A. „40“ allein sagt nichts, „40 Minuten“ schon.

Auch die Nullstelle bekommt erst im Sachzusammenhang einen Sinn, oder keinen. Die von Tarif A liegt bei $x_0=-6:0,10=-60$, sechzig Minuten vor dem Gespräch, und bedeutet nichts. Bei einem Akku, der gleichmäßig leer wird, ist die Nullstelle dagegen der Zeitpunkt, an dem er leer ist.

Wo das Modell endet

Ein lineares Modell passt nur, wenn gleichen Schritten in x gleiche Zuwächse in y entsprechen. Bei 2, 4, 8, 16 wächst y jedes Mal stärker; die Gerade durch die ersten Punkte weicht schnell ab. Und auch ein passendes Modell gilt nur für sinnvolle x: $0,10x+6$ rechnet nicht für negative Minuten. Prüfe erst die Zuwächse und den Gültigkeitsbereich, dann vertraue dem Modell.

Auch die Tarife sind ein Modell. Viele Anbieter rechnen jede angefangene Minute voll ab; dann ist der Preis eine Treppe, keine Gerade. Der Schnittpunkt bleibt trotzdem bei 40 Minuten, weil 40 eine ganze Zahl ist. Rückblickend lief jede Frage dieses Kurses auf zwei Zahlen hinaus: m sagt, um wie viel y je Schritt wächst, t, wo es beginnt. Zeichnen, Aufstellen, Nullstelle, Schnittpunkt und Ungleichung sind Rechnungen mit m und t.