Kenngrößen von Daten

Sieben Kinder der 7c messen ihren Schulweg: 12, 5, 30, 8, 15, 10 und 9 Minuten. Das arithmetische Mittel kennst du aus Klasse 6. Der Median ist ein zweiter Mittelwert: der Wert in der Mitte. Damit er wirklich in der Mitte liegt, ordnet man die Werte zuerst der Größe nach: 5, 8, 9, 10, 12, 15, 30. Von sieben Werten steht der mittlere an vierter Stelle, der Median ist also 10 Minuten. Wer den mittleren Eintrag der ungeordneten Liste nimmt, erhält 8 — das ist falsch.

Was der Median sagt: Genauso viele Werte liegen darunter wie darüber. Der Strich im Bild zeigt es — links und rechts von ihm liegt je die Hälfte der übrigen Punkte, wenn er auf dem Median steht.

Bei einer geraden Anzahl gibt es keinen einzelnen mittleren Wert. Kommt ein achtes Kind mit 20 Minuten dazu, stehen 10 und 12 in der Mitte. Der Median ist ihr Mittel: (10 + 12) : 2 = 11 Minuten — kein Wert der Liste, aber genau in der Mitte.

Für die 7c (5, 8, 9, 10, 12, 15 und 30 Minuten) ist der Median 10 Minuten, das Mittel (89 : 7) etwa 12,7 Minuten. Was passiert, wenn das Kind mit dem längsten Schulweg noch weiter wegzieht? Ändere den größten Wert mit dem Regler.

Das Mittel folgt dem Ausreißer, einem Wert, der weit von den übrigen entfernt liegt: Er geht mit seinem ganzen Betrag in die Summe ein. Für den Median zählt nur, an welcher Stelle er in der Reihenfolge steht — er bleibt bei 10. Deshalb liegt bei wenigen sehr großen Werten das Mittel über dem Median.

Welche Kenngröße passt, hängt von der Frage ab. Fragt man nach einem typischen Wert, ist bei Ausreißern der Median besser. Fragt man nach der Summe, passt das Mittel, denn Mittelwert · Anzahl = Summe. Eine Firma wirbt: „Bei uns verdient man im Durchschnitt 4 700 €.“ Fünf Angestellte verdienen 2 300 bis 2 700 €, die Geschäftsführerin 15 700 €. Ein typischer Angestellter verdient den Median: 2 550 €.

Zurück zum Test. Die 7a hat 12, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17 und 17 Punkte erreicht, die 7b 3, 5, 8, 11, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 24 und 26. Beide Klassen haben das Mittel 15 Punkte — und doch sehen die Ergebnisse völlig verschieden aus. Man sagt: Die Werte streuen verschieden stark.

Das einfachste Maß für die Streuung ist die Spannweite: $$\text{Spannweite}=\text{gro¨ßter Wert}-\text{kleinster Wert}$$ In der 7a ist sie 17 − 12 = 5 Punkte, in der 7b 26 − 3 = 23 Punkte. Das Mittel bleibt gleich, die Spannweite unterscheidet die Klassen.

Die Spannweite hat eine Schwäche: Sie hängt nur an den beiden äußersten Werten. Ein einziger Ausreißer macht sie groß, obwohl fast alle Werte eng beieinander liegen: Kommt zur 7a ein Kind mit 2 Punkten dazu, wächst ihre Spannweite von 5 auf 15, obwohl 12 von 13 Kindern zwischen 12 und 17 Punkten liegen. Über die Mitte der Daten sagt sie nichts. Dafür braucht man Kenngrößen, die auf das Innere der Daten schauen: die Quartile im nächsten Abschnitt.

Hälften und Quartile

Der Median teilt die geordneten Werte in zwei Hälften. Bei der 7b sind das unten 3, 5, 8, 11, 14, 15 und oben 16, 18, 19, 21, 24, 26. Das untere Quartil $q_1$ ist der Median der unteren Hälfte, das obere Quartil $q_3$ der Median der oberen Hälfte: $$q_1=\frac{8+11}{2}=9,5q_3=\frac{19+21}{2}=20$$ Bei ungerader Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte. Tabellenkalkulationen rechnen Quartile oft nach anderen Regeln und zeigen deshalb manchmal leicht abweichende Werte; hier gilt die Regel mit den Hälften.

Ein Viertel in jedem Abschnitt

q₁, Median und q₃ zerlegen die Daten in vier Abschnitte, und in jedem liegt ein Viertel der Werte — bei 12 Werten je drei. Schiebe den Strich: Bei q₁ liegen links 25 % der Werte, beim Median 50 %, bei q₃ 75 %.

Der Abstand der beiden Quartile heißt Quartilsabstand: $$q_3-q_1=20-9,5=10,5$$ Zwischen q₁ und q₃ liegen die mittleren 50 % der Werte. Anders als die Spannweite reagiert der Quartilsabstand nicht auf einzelne Ausreißer.

Fünf Zahlen, ein Bild

Aus den Ergebnissen der 7b gewinnt man fünf Kenngrößen: Minimum 3, q₁ = 9,5, Median 15,5, q₃ = 20 und Maximum 26. Der Boxplot zeichnet sie über einer Skala: Die Box reicht von q₁ bis q₃, ein Strich in der Box steht beim Median, und je eine Antenne führt bis zum Minimum und zum Maximum.

Die Skala hat gleiche Abstände, und jede Kenngröße steht genau dort, wo ihr Wert liegt. Darum steht der Medianstrich nicht automatisch in der Mitte der Box: Die Mitte der Box wäre bei 14,75, der Median liegt bei 15,5. Beim Zeichnen geht man in dieser Reihenfolge vor: Skala, Box von q₁ bis q₃, Medianstrich, Antennen.

Ein Ausreißer im Boxplot

Was passiert, wenn der größte Wert wächst? Nur die rechte Antenne wird länger. Box und Median bleiben stehen, denn q₃ und der Median hängen nicht vom größten Wert ab. Die Spannweite wächst, der Quartilsabstand — die Länge der Box — bleibt 10,5.

Die Box ist also der Teil des Boxplots, den einzelne Ausreißer kaum stören.

Vier Abschnitte

An einer Bushaltestelle wurden an 12 Tagen die Wartezeiten notiert (in Minuten): 1, 2, 2, 3, 3, 4, 7, 8, 10, 14, 20, 26. Daraus folgen Minimum 1, q₁ = 2,5, Median 5,5, q₃ = 12 und Maximum 26. Der Boxplot besteht aus vier Abschnitten: zwei Antennen und zwei Boxhälften. In jedem liegt ein Viertel der Werte — hier je drei —, egal wie lang der Abschnitt ist. Ein langer Abschnitt heißt nur: Die Werte liegen dort weit auseinander.

Aus dem Bild liest man die Spannweite als ganze Länge (26 − 1 = 25 Minuten) und den Quartilsabstand als Länge der Box (12 − 2,5 = 9,5 Minuten).

Was der Boxplot nicht zeigt

Der Boxplot zeigt nicht, wie viele Werte es gibt, welche Werte im Einzelnen vorkommen und wie groß das Mittel ist. Derselbe Boxplot passt zu 12 Werten ebenso wie zu 24. Nur Minimum und Maximum kommen sicher in den Daten vor; ob zwischen zwei Kenngrößen ein bestimmter Wert steht, verrät der Boxplot nicht.

Lage: Wo liegt die Mitte?

Zwei Boxplots vergleicht man auf derselben Skala in zwei Schritten. Zuerst die Lage: Welcher Medianstrich liegt weiter rechts? Im Bild hat die 7c den Median 11. Verschiebe den Boxplot der 7d: Seine Lage ändert sich, die Länge der Box nicht — die beiden Klassen unterscheiden sich dann nur in der Lage.

Streuung: Wie lang ist die Box?

Dann die Streuung: Welche Box und welche Antennen sind länger? Bei den Klassen 7a und 7b vom Anfang (beide Mittel 15) liegen die Mediane fast gleich, bei 15 und 15,5. Aber die Box der 7a ist nur 2 Punkte lang (16 − 14), die der 7b 10,5 Punkte. Auch die Spannweiten unterscheiden sich: 5 gegenüber 23. Je länger Box und Antennen, desto stärker streuen die Werte. Lage und Streuung sind zwei verschiedene Fragen.

Um zu einer Datenliste den passenden Boxplot zu finden, bestimmt man Minimum, q₁, Median, q₃ und Maximum und sucht den Boxplot, dessen Marken genau an diesen fünf Stellen stehen.

An zwei Buslinien wurden die Wartezeiten notiert (Minuten). Was darf man aus den Boxplots schließen?

Drei Schritte helfen. Erstens eine Kenngröße nennen: im Median, die mittleren 50 %, die Spannweite. Zweitens mit Anteilen sprechen: mindestens die Hälfte, ein Viertel. Drittens nie von allen Werten reden, wenn nur Kenngrößen vorliegen. Jede Aussage ist dann richtig, falsch oder nicht entscheidbar:

• „Im Median wartet man an Linie 9 eine Minute länger (7 statt 6 Minuten).“ — stimmt: 7 − 6 = 1.
• „Bei mindestens einem Viertel der Fahrgäste wartet man an Linie 9 mindestens 14 Minuten.“ — stimmt: Das ist der Bereich ab q₃.
• „Jede Wartezeit an Linie 9 ist länger als jede an Linie 5.“ — stimmt nicht: Linie 5 reicht bis 15 Minuten, Linie 9 beginnt bei 1.
• „An Linie 5 wurden weniger Fahrgäste gezählt.“ — nicht entscheidbar: Die Anzahl steht nicht im Boxplot.

Kenngrößen liefern Belege, keine Urteile: Ob eine kurze Wartezeit im Median oder eine kleine Streuung wichtiger ist, entscheidet die Frage, die man beantworten will — nicht der Boxplot.