Kreis und Zylinder

Umfang messen

Wie lang ist der Rand eines runden Beets? Man rollt eine Schnur einmal herum und misst sie: das ist der Umfang $U$. Dazu kommt der Durchmesser $d$, die längste Strecke durch den Mittelpunkt. Wir messen drei runde Dinge und teilen:

Ob klein oder groß: Der Quotient ist immer etwa 3,14. Diese Zahl heißt π (Pi). Der Umfang ist also gut dreimal so lang wie der Durchmesser.

π einschließen

Wie genau ist π? Ein Quadrat im Kreis ist kürzer als der Kreis, ein Quadrat um den Kreis länger. Bei $d=2\text{cm}$ haben die Quadrate die Umfänge 5,66 cm und 8 cm. Geteilt durch d bleibt $2,83<\pi <4$. Mit mehr Ecken wird der Einschluss enger: Beim Sechseck gilt $3<\pi <3,46$, beim 24-Eck $3,13<\pi <3,16$.

Die Zahl π lässt sich nie ganz aufschreiben: $\pi =3,14159\dots$ bricht nie ab und wiederholt sich nie. 3,14 und 22/7 sind nur Näherungen.

Die Formel für den Umfang

Weil $U:d=\pi$ für jeden Kreis gilt, ist der Umfang das π-Fache des Durchmessers. Mit $d=2r$ gibt es zwei Schreibweisen:

$$U=\pi \cdot d=2\cdot \pi \cdot r$$

Das Beet hat $d=6\text{m}$, also $U=\pi \cdot 6\text{m}\approx 18,85\text{m}$. Für Kantensteine von 25 cm Länge sind das 76 Steine. Vorsicht: Mit dem Radius $r=3\text{m}$ braucht man den Faktor 2, sonst fehlt die Hälfte.

Vom Kreis zum Fast-Rechteck

Für das Rechteck kennen wir $A=a\cdot b$. Wie kommt man damit zur Fläche des Kreises? Man zerschneidet ihn in gleich große Sektoren und legt sie abwechselnd mit der Spitze nach oben und nach unten nebeneinander. Es kommt nichts dazu und nichts geht verloren. Je feiner man schneidet, desto mehr gleicht die Figur einem Rechteck. Seine Höhe ist der Radius r. Die lange Seite besteht aus der Hälfte aller Bögen, also aus dem halben Umfang: $\frac{1}{2}\cdot 2\cdot \pi \cdot r=\pi \cdot r$.

Die Formel A = π · r²

Das Fast-Rechteck hat die Seiten π · r und r. Sein Flächeninhalt und damit der des Kreises ist

$$A=\pi \cdot r\cdot r=\pi \cdot r^2$$

$r^2=r\cdot r$ ist die Fläche des Radiusquadrats; es passt gut dreimal (π-mal) in den Kreis. Das Beet mit $r=3\text{m}$ hat $A=\pi \cdot 3^2{\text{m}}^2\approx 28,27{\text{m}}^2$. Vorsicht: $r^2$ heißt r · r, nicht 2 · r. Ist der Durchmesser gegeben (6 m), halbiert man zuerst: $r=d:2=3\text{m}$. Umfang und Fläche verrät die Einheit: $U=2\pi r$ ist eine Länge (m), $A=\pi r^2$ eine Fläche (m²) – wer beide Formeln vertauscht, erkennt es am Ergebnis.

Verdoppelter Radius

Das Beet soll breiter werden: Der Radius wird von 1,5 m auf 3 m verdoppelt. Braucht man dann doppelt so viele Randsteine und doppelt so viel Erde? Erst raten, dann nachsehen.

Der Umfang wächst mit: Aus $U=2\pi r$ wird bei doppeltem Radius $U=2\pi \cdot 2r$, also das Doppelte (9,42 m → 18,85 m). Bei der Fläche steckt der Radius zweimal in der Formel: $A=\pi \cdot (2r{)}^2=\pi \cdot 4r^2$, also das Vierfache (7,07 m² → 28,27 m²). Wird der Radius mit dem Faktor k multipliziert, wird der Umfang mit k und die Fläche mit $k^2$ multipliziert. Dreifacher Radius: dreifacher Umfang, neunfache Fläche.

Keine Gerade

Ordnet man jedem Radius die Fläche zu, entsteht diese Wertetabelle:

Die Zeile $A:r$ wächst mit; nur $A:r^2=\pi$ bleibt gleich. Die Zuordnung $r\mapsto A$ ist nicht linear: Ihr Graph ist keine Gerade, sondern eine gekrümmte Kurve (eine Parabel, die du später genauer kennenlernst). Das ist die Illusion der Linearität: „doppelt so lang, doppelt so groß“ stimmt für den Umfang, aber nicht für die Fläche.

Ein Tortenstück ist ein Kreissektor: Er wird von zwei Radien und einem Kreisbogen begrenzt. Der Winkel zwischen den Radien heißt Mittelpunktswinkel α. Ein Sektor mit α = 90° ist ein Viertel des Kreises, mit α = 180° ein Halbkreis. Allgemein nimmt der Sektor den Anteil α : 360° des Kreises ein.

Derselbe Anteil gilt für den Umfang und für die Fläche: Die Bogenlänge $b$ ist der Anteil vom Umfang, die Sektorfläche $A_S$ der Anteil von der Kreisfläche:

$$b=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot 2\pi r{A}_S=\frac{\alpha }{360^{\circ }}\cdot \pi r^2$$

Beispiel $r=3\text{cm}$ und $\alpha =60^{\circ }$, also ein Sechstel: $b=\frac{1}{6}\cdot 18,85\text{cm}\approx 3,14\text{cm}$ und $A_S=\frac{1}{6}\cdot 28,27{\text{cm}}^2\approx 4,71{\text{cm}}^2$. Vorsicht: b ist eine Länge (cm), A_S eine Fläche (cm²). Der Winkel wirkt nur einfach: Halbe Winkel, halbe Fläche – anders als beim Radius.

Zwei Sonderfälle helfen beim Kontrollieren: Beim Viertelkreis (90°) ist b ein Viertel des Umfangs, beim Halbkreis (180°) die Hälfte. Der Halbkreisbogen mit $r=5\text{cm}$ ist $b=\pi \cdot 5\text{cm}\approx 15,7\text{cm}$ lang.

Körper und Fachwörter

Ein gerades Prisma hat zwei parallele, deckungsgleiche Vielecke als Grundfläche und Deckfläche. Die Seitenflächen sind Rechtecke und heißen zusammen Mantelfläche; die Höhe h steht senkrecht auf der Grundfläche. Beim Zylinder sind Grund- und Deckfläche Kreise, der Mantel ist gekrümmt. Vorsicht: Die Grundfläche ist nicht immer der „Boden“. Das Dreiecksprisma im Bild liegt auf einem Rechteck, seine Grundfläche ist das Dreieck ABC.

Das Schrägbild

Auf Papier zeichnet man Körper im Schrägbild: Die Vorderfläche wird in wahrer Größe gezeichnet, die Tiefe nach hinten unter 45° und auf die Hälfte verkürzt. Ein Quader mit 6 cm Tiefe erhält also eine 3 cm lange Tiefenkante. Verdeckte Kanten zeichnet man gestrichelt. Ein Kreis in der Vorderfläche bleibt ein Kreis; der waagerechte Grundkreis eines stehenden Zylinders wird zur Ellipse.

Das Netz

Schneidet man die Mantelfläche auf und klappt den Körper auf, entsteht das Netz. Beim Prisma sind das die zwei Grundflächen und die Rechtecke des Mantels. Beim Zylinder sind es zwei Kreise und ein Rechteck: Es ist so hoch wie der Zylinder und so breit wie der Umfang der Grundfläche, $2\pi r$, denn der Mantel wickelt sich einmal um den Kreis. Für $r=2\text{cm}$ und $h=5\text{cm}$ ist das Rechteck $12,6\text{cm}\times 5\text{cm}$ groß.

Das Netz zeigt, woraus die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders besteht: aus zwei Kreisen und dem Mantelrechteck. Jeder Kreis hat die Grundfläche $G=\pi r^2$. Das Mantelrechteck ist so breit wie der Umfang und so hoch wie der Zylinder:

$$M=2\pi r\cdot hO=2\cdot \pi r^2+2\pi rh=2\pi r(r+h)$$

Für die Regentonne mit $r=30\text{cm}$ und $h=90\text{cm}$ (geschlossen gedacht) gilt $G\approx 2827{\text{cm}}^2$ und $M=2\pi \cdot 30\cdot 90{\text{cm}}^2\approx 16965{\text{cm}}^2$, also $O\approx 22619{\text{cm}}^2\approx 2,26{\text{m}}^2$. Vorsicht: Beim Verdoppeln der Höhe verdoppelt sich nur M, nicht O – die Kreise bleiben. Und O ist eine Fläche in cm², nicht das Volumen $\pi r^{2}h$.

Auch rückwärts geht es: Kennt man die Mantelfläche und den Radius, ist die Höhe $h=M:(2\pi r)$. Ist die Oberfläche gegeben, zieht man zuerst die beiden Kreise ab: $h=(O-2\pi r^2):(2\pi r)$. Beispiel: Eine Dose mit $r=4\text{cm}$ und $h=11\text{cm}$ braucht $O\approx 100,53+276,46\approx 377{\text{cm}}^2$ Blech.

Prisma: Schichten stapeln

Beim Quader ist das Volumen Grundfläche mal Höhe. Das gilt für jedes gerade Prisma, gleich welche Form die Grundfläche hat: Man schneidet das Prisma in Schichten der Höhe 1 cm. Jede Schicht hat den Rauminhalt $G\cdot 1\text{cm}$, bei der Höhe h liegen h Schichten übereinander:

$$V=G\cdot h$$

Das Trapez mit den Seiten 5 cm und 3 cm und der Höhe 2 cm hat $G=8{\text{cm}}^2$. Ein Prisma dieser Grundfläche und 6 cm Höhe hat $V=8\cdot 6{\text{cm}}^3=48{\text{cm}}^3$. Vorsicht: Bei einem Dreieck rechnet man die Grundfläche $G=\frac{1}{2}gh$ aus; die Halbierung steckt dann in G und wird nicht noch einmal angewendet.

Zylinder: der Grenzfall

Beim Zylinder ist die Grundfläche ein Kreis. Ein Prisma mit einem regelmäßigen n-Eck im Kreis sieht mit wachsendem n immer mehr wie ein Zylinder aus, und seine Grundfläche nähert sich $\pi r^2$: bei $r=1\text{cm}$ ist sie 2,60 cm² (n = 6), 3,00 cm² (n = 12), 3,11 cm² (n = 24), zuletzt 3,14 cm². Der Zylinder ist der Grenzfall der Prismen, also gilt auch hier Grundfläche mal Höhe:

$$V=\pi r^2\cdot h$$

Die Regentonne mit $r=30\text{cm}$ und $h=90\text{cm}$ fasst $V=\pi \cdot 30^2\cdot 90{\text{cm}}^3\approx 254469{\text{cm}}^3$, das sind 254 Liter (1 l = 1000 cm³). Doppelte Höhe ergibt doppeltes Volumen, doppelter Radius dagegen das Vierfache.

Vom Bild zum Modell

Eine Sachaufgabe beginnt mit einer Skizze und mit Annahmen: Die Regentonne ist ein Zylinder; die Wand ist so dünn, dass wir sie vernachlässigen; für das Fassungsvermögen zählt das Innenmaß. Ist die Tonne oben offen, gehören nur Boden und Mantel zur Blechfläche: $O_{\text{offen}}=\pi r^2+2\pi rh$. Fehlende Angaben wie die Regenmenge recherchiert man. Aus der Frage folgt die Größe: „Wie viel passt hinein?“ ist das Volumen, „wie viel Blech oder Farbe?“ ist die Oberfläche (oder der Mantel).

Rechnen und prüfen

Mit $r=30\text{cm}$ und $h=90\text{cm}$ ist $V\approx 254469{\text{cm}}^3\approx 254\text{l}$ und das Blech ohne Deckel $O_{\text{offen}}\approx 19792{\text{cm}}^2\approx 1,98{\text{m}}^2$. Prüfe jedes Ergebnis mit einem Überschlag ($3\cdot 30^2\cdot 90=243000{\text{cm}}^3\approx 243\text{l}$), mit der Einheit und mit dem Sinn: Fasst die Tonne 254 000 l, ist etwas schiefgelaufen. Gerundet wird nach der Situation: Wer Säcke, Eimer oder Kanister kauft, rundet auf. Ein Dach mit 40 m² liefert je Millimeter Regen 40 l; die Tonne ist nach 6,4 mm voll.