Kugel und zusammengesetzte Körper

Ein Rotationskörper entsteht, wenn eine ebene Figur um eine Gerade rotiert, die Rotationsachse. Ein Rechteck, das sich um eine seiner Seiten dreht, überstreicht einen Zylinder. Ein rechtwinkliges Dreieck, das sich um eine Kathete dreht, überstreicht einen Kegel. Ein Halbkreis, der sich um seinen Durchmesser dreht, überstreicht eine Kugel.

Die Maße lesen wir an der Figur ab: Die Strecke auf der Achse ist die Höhe h, die Strecke senkrecht zur Achse der Radius r. Beim Dreieck mit den Katheten 3 cm und 4 cm kommt es darauf an, um welche Kathete es rotiert: Um die 4-cm-Kathete gilt h = 4 cm und r = 3 cm, und die Hypotenuse wird zur Mantellinie s = 5 cm. Um die 3-cm-Kathete tauschen r und h die Rollen.

Schneidest du einen Rotationskörper senkrecht zur Achse, ist die Schnittfläche immer ein Kreis. Schneidest du durch die Achse, entsteht der Achsenschnitt: die erzeugende Figur zusammen mit ihrem Spiegelbild. Beim Kegel ist das ein gleichschenkliges Dreieck, beim Zylinder ein Rechteck der Breite 2r, bei der Kugel ein Kreis mit dem Radius r. Diese Skizze nutzen wir im ganzen Lesetext zum Rechnen.

Der Vergleichskörper

Das Volumen der Kugel begründen wir durch einen Vergleich. Wir nehmen die Halbkugel mit dem Radius r und stellen daneben einen Zylinder mit demselben Radius und der Höhe r, aus dem ein Kegel herausgebohrt ist. Seine Spitze liegt in der Mitte der Grundfläche, seine Deckfläche ist die Deckfläche des Zylinders.

Schneide beide Körper in der Höhe x über der Grundfläche waagrecht durch. Die Halbkugel liefert einen Kreis; sein Radius ρ folgt im Achsenschnitt aus dem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse r: ρ² = r² − x². Der Vergleichskörper liefert einen Kreisring mit dem äußeren Radius r und dem inneren Radius x, denn der Kegel ist so hoch wie breit. Beide Schnittflächen sind gleich groß, in jeder Höhe x:

$$\pi (r^2-x^2)=\pi r^2-\pi x^2$$

Sind zwei Körper gleich hoch und haben sie in jeder Höhe gleich große Schnittflächen, haben sie nach dem Prinzip von Cavalieri dasselbe Volumen.

Die Formel

Der Zylinder hat das Volumen $\pi r^2\cdot r=\pi r^3$, der Kegel ein Drittel davon. Für die Halbkugel bleibt

$$V_{\text{Halbkugel}}=\pi r^3-\frac{1}{3}\pi r^3=\frac{2}{3}\pi r^3{V}_{\text{Kugel}}=\frac{4}{3}\cdot \pi r^3$$

Der Radius geht mit dem Exponenten 3 ein, denn ein Volumen misst drei Längen. Beispiel r = 6 cm: $V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 216=288\pi \approx 904,8{\text{cm}}^3$. Ist der Durchmesser gegeben, halbiere ihn zuerst: d = 12 cm heißt r = 6 cm. Rückwärts: Aus V = 288π folgt r³ = 3V : (4π) = 216, also r = 6 cm.

Kleine Pyramiden

Die Kugel lässt sich nicht abwickeln. Wir helfen uns mit einem Trick: Zerlege die Oberfläche in viele winzige, fast ebene Stücke und verbinde jedes mit dem Mittelpunkt. So entstehen lauter kleine Pyramiden mit der Spitze im Mittelpunkt, alle ungefähr r hoch. Jede hat das Volumen ⅓ · G · r, alle zusammen füllen die Kugel:

$$V=\frac{1}{3}\cdot (G_1+G_2+\dots )\cdot r=\frac{1}{3}\cdot O\cdot r\Rightarrow O=\frac{3V}{r}=\frac{3\cdot \frac{4}{3}\pi r^3}{r}=4\pi r^2$$

Beispiel r = 6 cm: O = 4 · π · 36 = 144π ≈ 452,4 cm². Der Radius geht quadriert ein, denn eine Oberfläche misst zwei Längen.

Vier Großkreise

Ein Schnitt durch den Mittelpunkt heißt Großkreis: Sein Radius ist r, seine Fläche πr². Die Kugeloberfläche ist genau viermal so groß: $O=4\cdot \pi r^2$. Archimedes sah das so: Legt man einen Zylinder mit Radius r und Höhe 2r um die Kugel, hat sein Mantel $2\pi r\cdot 2r=4\pi r^2$ genau die Größe der Kugeloberfläche.

Die Halbkugel hat gewölbt die halbe Oberfläche, 2πr². Ist sie massiv, kommt der ebene Kreis πr² dazu: 3πr². Für r = 6 cm sind das 72π ≈ 226,2 cm² und mit Deckel 108π ≈ 339,3 cm². Eine offene Schale hat keinen Deckel.

Zerlegen und rechnen

Einen zusammengesetzten Körper zerlegen wir in Körper, deren Formeln wir kennen. Die Eiswaffel besteht aus einem Kegel und einer aufgesetzten Halbkugel. Zeichne zuerst den Achsenschnitt und benenne die Teile, rechne dann jeden Teil einzeln und addiere die Volumina. Für r = 3 cm und h = 4 cm:

$$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h+\frac{2}{3}\pi r^3=12\pi +18\pi =30\pi \approx 94,2{\text{cm}}^3$$

Bei einem Hohlkörper ist ein Teil herausgenommen, dann wird abgezogen: $V=V_{\text{außen}}-V_{\text{innen}}$. Ein Rohr mit Außenradius 5 cm, Innenradius 4 cm und Länge 20 cm hat $V=\pi \cdot 25\cdot 20-\pi \cdot 16\cdot 20=180\pi \approx 565,5{\text{cm}}^3$. Es werden die Volumina abgezogen, nicht die Radien.

Nur die Außenhaut

Bei der Oberfläche zählt nur, was außen liegt. Kegel und Halbkugel sitzen auf einem Kreis aufeinander; diese Berührfläche liegt innen und fällt weg:

$$O=\pi rs+2\pi r^2=15\pi +18\pi =33\pi \approx 103,7{\text{cm}}^2$$

Wer die Oberflächen der Teile addiert (24π + 27π = 51π), zählt zwei Kreise zu viel. Bei einer Bohrung ist es umgekehrt: Die freigelegte Innenwand kommt hinzu, die Öffnungen fallen weg: Beim Rohr zählen deshalb der Außenmantel, der Innenmantel und die zwei Stirnringe. Ein Würfel mit Kante 10 cm und einer durchgehenden Bohrung von r = 1 cm hat $O=600-2\pi +20\pi \approx 656,5{\text{cm}}^2$, also mehr als vorher.

Der Schnittkreis

Für Längen im Körper zeichnen wir den Achsenschnitt und suchen darin ein rechtwinkliges Dreieck. Eine Ebene im Abstand d vom Mittelpunkt schneidet aus der Kugel einen Kreis mit dem Radius ρ. Im Achsenschnitt entsteht ein rechtwinkliges Dreieck: Die Katheten sind d und ρ, die Hypotenuse ist der Kugelradius R, denn sie führt vom Mittelpunkt zum Rand.

$$R^2=d^2+{\rho }^2\Rightarrow \rho =\sqrt{R^2-d^2}$$

Beispiel R = 5 cm, d = 3 cm: ${\rho }^2=25-9=16$, also ρ = 4 cm. Der Schnittkreis ist nie größer als der Großkreis; ab d = R läuft die Ebene an der Kugel vorbei. Beim Kegel ist es genauso: Die Mantellinie s ist die Hypotenuse, also $r^2=s^2-h^2$.

Zylinder in der Kugel

Ein Zylinder, dessen Ober- und Unterkreis auf der Kugel liegen, erscheint im Achsenschnitt als Rechteck im Kreis. Vom Mittelpunkt zu einer Rechteckecke führt wieder der Radius R als Hypotenuse. Die Katheten sind der Zylinderradius r und die halbe Höhe:

$$R^2=r^2+{\left(\frac{h}{2}\right)}^2$$

Beispiel R = 5 cm, h = 6 cm: $r^2=25-9=16$, also r = 4 cm und $V_Z=\pi \cdot 16\cdot 6=96\pi \approx 301,6{\text{cm}}^3$. Setzt du die ganze Höhe h statt h/2 ein, stimmt das Dreieck nicht mehr.

Zwei Winkel am Kegel

Im Achsenschnitt eines Kegels stecken zwei Winkel. Der Neigungswinkel α liegt zwischen Mantellinie und Grundfläche, im rechtwinkligen Dreieck aus r, h und s: h liegt α gegenüber, r liegt an, s ist die Hypotenuse. Der Öffnungswinkel γ liegt an der Spitze zwischen den beiden Mantellinien. Die Höhe halbiert ihn.

$$\tan \alpha =\frac{h}{r}\sin \alpha =\frac{h}{s}\cos \alpha =\frac{r}{s}$$

$$\gamma =180^{\circ }-2\alpha \tan \frac{\gamma }{2}=\frac{r}{h}$$

Beispiel r = 3 cm, h = 4 cm, s = 5 cm: $\tan \alpha =\frac{4}{3}$, also α ≈ 53,1°. Der halbe Öffnungswinkel ist 36,9°, also γ ≈ 73,7°. Rechne nicht mit dem halben Winkel weiter und achte darauf, welche Seite dem Winkel gegenüberliegt.

Paralleler Schnitt

Schneidest du einen Kegel parallel zur Grundfläche, entsteht ein Kreis. Die Spitze ist das Zentrum, und die Strahlensätze liefern den Schnittkreis: Im Abstand h′ von der Spitze hat er den Radius r′ mit

$$\frac{r^{\prime }}{r}=\frac{h^{\prime }}{h}$$

Beispiel r = 6 cm, h = 8 cm, h′ = 2 cm: $r^{\prime }=6\cdot \frac{2}{8}=1,5\text{cm}$. Wichtig: h′ ist der Abstand von der Spitze, nicht von der Grundfläche. Der Radius wächst gleichmäßig mit dem Abstand; wie sich das Volumen dabei verhält, klären wir im nächsten Abschnitt.

Der Maßstab k

Vergrößerst du einen Körper im Maßstab k, wird jede Länge mit k multipliziert, jede Fläche mit k² und jedes Volumen mit k³. Eine Fläche misst zwei Längen, ein Volumen drei. Beispiel: Die Kugel mit r = 6 cm wächst auf r = 12 cm (k = 2):

$$O^{\prime }=k^2\cdot O:144\pi \to 576\pi (\times 4)V^{\prime }=k^3\cdot V:288\pi \to 2304\pi (\times 8)$$

Doppelte Länge bedeutet also vierfache Fläche und achtfaches Volumen. Der Faktor 2 gilt nur für die Länge.

Rückwärts

Aus dem Verhältnis zweier ähnlicher Körper findest du k. Ist die Oberfläche 9-mal so groß, gilt k² = 9 und k = 3. Ist das Volumen 27-mal so groß, gilt k³ = 27 und k = $\sqrt[3]{27}=3$. Ein Würfel aus 27 Einheitswürfeln hat also die dreifache Kante. Wer beim Volumen 27 mit 27 gleichsetzt, hält die Länge für 27-mal so groß.

Füllhöhe im Kegelglas

Ein Kegelglas (Spitze unten) ist bis zur halben Höhe gefüllt. Die Flüssigkeit bildet selbst einen Kegel, ähnlich zum Glas mit k = ½ (Strahlensatz). Ihr Volumen ist k³ = ⅛ des Glases, nicht die Hälfte. Beispiel h = 12 cm, r = 4 cm: Das Glas fasst $V=\frac{1}{3}\pi \cdot 16\cdot 12=64\pi \approx 201,1{\text{cm}}^3$; bei h′ = 6 cm sind es nur $8\pi \approx 25,1{\text{cm}}^3$. Für genau die Hälfte des Volumens muss die Flüssigkeit auf 79 % der Höhe stehen.

Ein Ergebnis ist erst fertig, wenn du es geprüft hast. Die erste Prüfung ist der Größenüberschlag: Die Kugel mit dem Radius r passt in den Würfel mit der Kante 2r, der das Volumen 8r³ hat. Die Kugel füllt davon $\frac{\pi }{6}\approx 52\%$. Für r = 5 cm hat der Würfel 1000 cm³, die Kugel 523,6 cm³. Ein Ergebnis über 1000 cm³, etwa 4188,8 cm³ mit dem Durchmesser als Radius, ist unmöglich.

Die zweite Prüfung ist ein zweiter Weg. Ein Zylinder (r = 5 cm, h = 8 cm) mit herausgebohrtem Kegel hat $200\pi -\frac{200}{3}\pi$; direkt gerechnet ist es $\frac{2}{3}\cdot 200\pi$, beide Male 418,9 cm³. Bei der Eiswaffel liefert Ausklammern einen zweiten Weg: $\frac{1}{3}\pi r^{2}h+\frac{2}{3}\pi r^3=\frac{1}{3}\pi r^2(h+2r)$. Stimmen zwei Wege überein, ist das Ergebnis sehr wahrscheinlich richtig.

Zur Dokumentation gehören Skizze, Formel, eingesetzte Werte, Ergebnis mit Einheit und ein Antwortsatz. Flächen haben die Einheit cm², Volumina cm³; 1000 cm³ sind 1 Liter. Gerundet wird erst am Ende. So ist V = 904,8 cm³ ein Volumen von etwa 0,9 Litern.