Lagebeziehungen, Winkel und Abstände

Einsetzen und lösen

Die Drohne fliegt auf g: X = (2; 3; 3) + λ·(−1; −1; −2). Das Glasdach ist die Ebene E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Ein gemeinsamer Punkt muss beide Gleichungen erfüllen. Deshalb setzt man die Koordinaten von g, also x₁ = 2 − λ, x₂ = 3 − λ und x₃ = 3 − 2λ, in die Ebenengleichung ein:

$$2(2-\lambda )+(3-\lambda )+2(3-2\lambda )=6\Rightarrow 13-7\lambda =6\Rightarrow \lambda =1$$

Es bleibt eine Gleichung für λ. Das Ergebnis ist noch kein Punkt: Erst λ = 1 in g eingesetzt liefert den Durchstoßpunkt S(1 | 2 | 1).

Wenn es keinen Punkt gibt

Nicht jede Gerade durchstößt die Ebene. Beim Einsetzen gilt $\vec{n}\cdot (\vec{A}+\lambda \vec{u})=\vec{n}\cdot \vec{A}+\lambda (\vec{n}\cdot \vec{u})$: Vor λ steht das Skalarprodukt aus Normalenvektor n und Richtungsvektor u. Ist es nicht null, gibt es genau einen Durchstoßpunkt. Ist n·u = 0, fällt λ weg: Für g: X = (1; 2; 2) + λ·(1; −2; 0) bleibt 8 = 6. Diese falsche Aussage heißt: echt parallel. Bliebe 6 = 6, läge g in E. Bei n·u = 0 entscheidet also der Aufpunkt. Ist u ein Vielfaches von n, steht g senkrecht auf E.

Parallel, identisch oder schneidend

Neben E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 hat das Glasdach eine zweite Fläche F: x₁ + x₂ + x₃ = 4. Sind n₁ = (2; 1; 2) und n₂ = (1; 1; 1) keine Vielfachen, schneiden sich die Ebenen in einer Geraden. Ist n₂ ein Vielfaches von n₁, sind sie parallel oder identisch: Man gleicht die Normalenvektoren an und vergleicht die rechte Seite. 4x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 12 ist E selbst, 4x₁ + 2x₂ + 4x₃ = 10 dagegen eine echt parallele Ebene.

Zwei Gleichungen, eine Gerade

Auf der Schnittgeraden s gelten beide Gleichungen: zwei Gleichungen für drei Unbekannte. Eine Variable bleibt frei und wird zum Parameter. E − F lässt x₂ wegfallen: x₁ + x₃ = 2. Mit x₁ = t folgt x₃ = 2 − t, und F liefert x₂ = 2. Also $s:\vec{X}=\left(\begin{array}{c}0\\ 2\\ 2\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)$. Ein Punkt von s muss E und F erfüllen; das ist die Probe.

Eine Ebene in Parameterform

Liegt E als X = (3; 0; 0) + λ·(−1; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1) vor, setzt man x₁ = 3 − λ − μ, x₂ = 2λ und x₃ = μ in F ein: 3 + λ = 4, also λ = 1. Dieses λ in E eingesetzt gibt s: X = (2; 2; 0) + μ·(−1; 0; 1), wobei μ frei bleibt. Dieselbe Gerade wie oben, nur mit anderem Aufpunkt.

Zwei Geraden

Zwei Drohnenbahnen g und h mit u = (1; 1; 0) und v = (0; 1; 1) schneiden sich. Ihr Schnittwinkel φ ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren:

$$\cos \phi =\frac{|\vec{u}\cdot \vec{v}|}{|\vec{u}|\cdot |\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =60°$$

Der Betrag im Zähler ist nötig: Kehrt man v zu (0; −1; −1) um, wird u·v = −1 und der Winkel zwischen den Vektoren 120°, doch die Geraden bleiben dieselben. Der Schnittwinkel ist der spitze der beiden Winkel, also höchstens 90°.

Gerade und Ebene

Der Winkel zwischen g und E ist der Winkel zwischen g und ihrem Schatten in E. Der Winkel ψ zwischen u und dem Normalenvektor n ergänzt ihn zu 90°, und aus sin φ = cos ψ folgt $\sin \phi =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{u}|}{|\vec{n}|\cdot |\vec{u}|}$. Für n = (2; 1; 2) und die Drohne u = (−1; −1; −2) ist n·u = −7, |n| = 3 und |u| = √6, also sin φ = 7/(3√6) ≈ 0,953 und φ ≈ 72,3°. Hier steht der Sinus.

Zwei Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der Winkel ihrer Normalenvektoren: Von der Seite gesehen, quer zur Schnittgeraden, stehen die Normalen senkrecht auf den Ebenen und schließen denselben Winkel ein. Für E und F mit n₁ = (2; 1; 2) und n₂ = (1; 1; 1) ist $\cos \phi =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{5}{3\sqrt{3}}\approx 0,962$, also φ ≈ 15,8°.

Das Lot

Die Drohne schwebt bei P(3 | 3 | 3) über dem Glasdach E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6. Ihr Abstand zu E ist die Länge des Lots, der kürzesten Strecke von P zur Ebene. Das Lot steht senkrecht auf E und hat deshalb den Normalenvektor n = (2; 1; 2) als Richtung: X = (3; 3; 3) + λ·(2; 1; 2). Schneidet man es wie eine Gerade mit E, folgt 15 + 9λ = 6, also λ = −1 und der Lotfußpunkt F(1 | 2 | 1). Der Abstand ist d = |PF| = |−1| · |n| = 3.

Die Formel

Der Weg über das Lot lässt sich abkürzen. Für E: n·X = d gilt n·(P + λn) = d, also λ = (d − n·P)/|n|². Der Abstand ist |λ|·|n|, das heißt $$d(P,E)=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{P}-d|}{|\vec{n}|}=\frac{|15-6|}{3}=3$$ Teilt man die ganze Gleichung durch |n|, entsteht die Hessesche Normalform (2x₁ + x₂ + 2x₃ − 6)/3 = 0. Setzt man P ein, kommt +3 heraus, für den Ursprung −2: Der Ursprung ist 2 entfernt, liegt aber auf der anderen Seite. Das Vorzeichen verrät die Seite, der Betrag den Abstand.

Parallele Objekte

Bei parallelen Ebenen, oder einer Geraden parallel zur Ebene, ist der Abstand überall gleich: Ein Punkt des einen Objekts genügt. Wegen (0 | 0 | 6) ∈ E′ hat E′: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 12 von E den Abstand |12 − 6|/3 = 2.

Das Lot auf die Gerade

Die Drohne bei P(2 | 1 | 4) fliegt neben der Dachkante s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1). Für den Abstand braucht man den Lotfußpunkt F, den Punkt von s mit PF ⟂ s. Dazu legt man durch P die Hilfsebene H senkrecht zu s: Ihr Normalenvektor ist der Richtungsvektor u = (1; 0; −1), also $H:x_1-x_3=\vec{u}\cdot \vec{P}=-2$. Der Schnitt von s mit H ist ein Durchstoßpunkt wie bei Gerade und Ebene: t − (2 − t) = −2 gibt t = 0 und F(0 | 2 | 2). Der Abstand ist die Länge des Lots: d = |PF| = |(−2; 1; −2)| = 3.

Parallele Geraden

Parallele Geraden haben überall denselben Abstand: Man wählt einen Punkt der einen Geraden und berechnet seinen Abstand zur anderen. Das Kabel h: X = (4; 1; 2) + μ·(2; 0; −2) ist parallel zu s und enthält P(2 | 1 | 4) (μ = −1). Also ist d(s, h) = 3. Nicht der Abstand der Aufpunkte zählt, hier |(4; −1; 0)| = √17 ≈ 4,1: Ihre Verbindung steht nicht senkrecht auf den Geraden.

Die gemeinsame Senkrechte

Zwei Drohnenbahnen g: X = λ·(1; 2; 2) und h: X = (1; −1; 5) + μ·(2; 1; −2) sind windschief: nicht parallel und ohne Schnittpunkt. Ihr Abstand ist die Länge der kürzesten Verbindung. Sie steht senkrecht auf beiden Geraden, hat also die Richtung des Vektorprodukts der Richtungsvektoren u = (1; 2; 2) und v = (2; 1; −2): $\vec{u}\times \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-6\\ 6\\ -3\end{array}\right)=-3\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ -2\\ 1\end{array}\right)$. Gekürzt genügt der Normalenvektor n = (2; −2; 1) mit |n| = 3.

Hilfsebene und Abstand

Durch g legt man die Hilfsebene H, die parallel zu h ist: Sie hat die Spannvektoren u und v, also den Normalenvektor n, und geht durch den Aufpunkt A(0 | 0 | 0): H: 2x₁ − 2x₂ + x₃ = 0. Weil h parallel zu H ist, hat jeder Punkt von h denselben Abstand zu H. Mit B(1 | −1 | 5) und der Abstandsformel Punkt–Ebene folgt $d(g,h)=\frac{|\vec{n}\cdot (\vec{B}-\vec{A})|}{|\vec{n}|}=\frac{|2+2+5|}{3}=3$. Der Abstand der Aufpunkte, |AB| = √27 ≈ 5,2, ist zu groß.

Die Kugelgleichung

Die Kugel besteht aus allen Punkten X mit dem festen Abstand r vom Mittelpunkt M: |MX| = r. Quadriert entsteht die Koordinatenform $$(x_1-m_1{)}^2+(x_2-m_2{)}^2+(x_3-m_3{)}^2=r^2$$ Die Sicherheitszone der Drohne bei M(3 | 3 | 3) mit r = 5 ist (x₁ − 3)² + (x₂ − 3)² + (x₃ − 3)² = 25; der Punkt (6 | 7 | 3) liegt darauf: 9 + 16 + 0 = 25. Rechts steht r², nicht r, und (x₂ + 2)² gehört zu m₂ = −2. Ausmultipliziert, etwa x₁² + x₂² + x₃² − 4x₁ + 2x₂ − 6x₃ − 2 = 0, ergänzt man quadratisch: (x₁ − 2)² + (x₂ + 1)² + (x₃ − 3)² = 16, also M(2 | −1 | 3) und r = 4.

Kugel und Ebene

Die Lage entscheidet der Abstand d des Mittelpunkts. Für E: 2x₁ + x₂ + 2x₃ = 6 ist d(M, E) = 3. Ist d > r, haben Kugel und Ebene nichts gemeinsam. Bei d = r berührt E die Kugel in einem Punkt. Bei d < r schneiden sie sich in einem Kreis mit dem Radius ρ = √(r² − d²), dessen Mittelpunkt der Lotfußpunkt F(1 | 2 | 1) ist. Für r = 5 ergibt sich ρ = √(25 − 9) = 4.

Kugel und Gerade

Bei einer Geraden entscheidet ebenso d(M, g): Für d > r ist sie eine Passante, für d = r Tangente, für d < r Sekante mit zwei Schnittpunkten und der Sehne 2·√(r² − d²). Die Dachkante s hat von M(3 | 3 | 3) den Abstand 3. Für r = 5 ist s also eine Sekante mit der Sehne 2·4 = 8.

Das Koordinatensystem wählen

Ein Zelt hat einen quadratischen Boden von 6 m × 6 m und die Spitze 4 m über der Mitte. Wo legt man das Koordinatensystem hin? Sinnvoll ist der Ursprung in der Ecke A, die Achsen entlang der Kanten, 1 Längeneinheit = 1 m: A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(6 | 6 | 0), D(0 | 6 | 0) und S(3 | 3 | 4). Das ist das Modell: Es ersetzt das Zelt durch Punkte und Ebenen, gerechnet wird in ihm.

Übersetzen und rechnen

Wie steil ist die Zeltwand ABS? Sie ist eine Ebene durch A, B, S: n = AB × AS = (0; −24; 18) ∥ (0; 4; −3), also 4x₂ − 3x₃ = 0. Ihre Neigung ist der Winkel zum Boden (Normalenvektor (0; 0; 1)): cos φ = 3/5, φ ≈ 53,1°. Und die größte Kugel im Zelt? Ihr Mittelpunkt liegt auf der senkrechten Mittelachse bei (3 | 3 | z). Sie berührt den Boden, also ist r = z, und die Wand: der Abstand des Mittelpunkts von 4x₂ − 3x₃ = 0, also (12 − 3z)/5, ist gleich z. Das gibt z = 1,5, also r = 1,5 m.

Prüfen und vergleichen

Ein Ergebnis gehört geprüft: 53,1° ist für ein Zeltdach plausibel, 5° oder 89° wären es nicht, und ein Ball mit r = 1,5 m passt unter die 4 m hohe Spitze. Oft führen mehrere Wege zum Ziel. Die Neigung liest man auch im rechtwinkligen Dreieck aus Höhe 4 und halber Breite 3 ab: tan φ = 4/3, φ ≈ 53,1°, ganz ohne Vektoren. Beide Wege müssen übereinstimmen; das ist die beste Kontrolle. Am Ende steht ein Antwortsatz mit Einheit: „Die Zeltwand ist um etwa 53° geneigt.“