Potenzfunktionen und Potenzen

Der Graph von xⁿ

Eine Potenzfunktion hat den Term $f(x)=x^n$ mit einer natürlichen Zahl n als Exponenten. Jeder Graph geht durch $(0\mid 0)$ und $(1\mid 1)$, denn $0^n=0$ und $1^n=1$. Danach kommt es darauf an, ob n gerade oder ungerade ist. Bei geradem n (2, 4, 6, …) liegt der Graph nie unterhalb der x-Achse, weil jede gerade Potenz nichtnegativ ist, und er geht durch $(-1\mid 1)$. Bei ungeradem n (1, 3, 5, …) läuft er von links unten nach rechts oben und geht durch $(-1\mid -1)$. Achtung beim Rechnen: $(-2{)}^4=16$, aber $-2^4=-16$. Die Klammer entscheidet, ob das Minuszeichen mitpotenziert wird.

Symmetrie

Vergleiche $f(x)$ mit $f(-x)$. Bei geradem n gilt $(-x{)}^n=x^n$: Der Punkt P(x | f(x)) und sein Gegenstück P′(−x | f(−x)) liegen gleich hoch, der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Bei ungeradem n gilt $(-x{)}^n=-x^n$: P′ liegt genauso tief, wie P hoch liegt, und die Strecke PP′ geht durch den Ursprung. Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Ob n gerade oder ungerade ist, legt also Wertebereich, Vorzeichen und Symmetrie fest. Ein Faktor vor xⁿ ändert an der Symmetrie nichts, wie der nächste Abschnitt zeigt.

Der Faktor a

In $f(x)=a\cdot x^n$ multipliziert der Faktor a jede Höhe von $x^n$. Aus $(1\mid 1)$ wird $(1\mid a)$. Ist |a| > 1, wird der Graph gestreckt und steiler, bei 0 < |a| < 1 gestaucht und flacher. Ein negatives a spiegelt den Graphen an der x-Achse: Bei geradem n öffnet er sich nach unten, bei ungeradem n läuft er von links oben nach rechts unten. Die Symmetrie bleibt, denn a multipliziert nur die Höhen. Vorsicht: $a\cdot x^n$ ist etwas anderes als $(ax{)}^n$, zum Beispiel $2x^3=2\cdot x^3$, aber $(2x{)}^3=8x^3$.

Größeres n

Vergleiche x² und x⁴. Beide gehen durch $(0\mid 0)$ und $(1\mid 1)$, dazwischen unterscheiden sie sich. Zwischen 0 und 1 ist die Potenz mit dem größeren Exponenten kleiner: $0,5^2=0,25$, aber $0,5^4=0,0625$. Dort schmiegt sich der Graph enger an die x-Achse, er ist flacher. Rechts von 1 ist es umgekehrt: $2^2=4$ und $2^4=16$, der Graph steigt steiler. Ein größerer Exponent macht den Graphen also nicht überall steiler, sondern zwischen −1 und 1 flacher und außerhalb steiler.

Kante aus dem Volumen

Ein Würfel hat das Volumen 27 cm³. Seine Kante x erfüllt $x^3=27$, also ist $x=3$, denn $3^3=27$. Man schreibt $x=\sqrt[3]{27}$, die dritte Wurzel aus 27. Allgemein ist für $a\ge 0$ die n-te Wurzel $\sqrt[n]{a}$ die nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz a ergibt. Beispiele: $\sqrt[4]{81}=3$, denn $3^4=81$, und $\sqrt[5]{32}=2$. Die Zahl n heißt Wurzelexponent, a Radikand; für n = 2 ist es die bekannte Quadratwurzel. Achtung: $\sqrt[3]{27}$ ist nicht 27 : 3 = 9. Der Wurzelexponent sagt, wie oft die gesuchte Zahl als Faktor vorkommt, nicht, wodurch geteilt wird.

Wurzel und Potenz heben sich auf

Die Wurzel macht das Potenzieren rückgängig. Für $a\ge 0$ gilt $\sqrt[n]{a^n}=a$ und ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^n=a$, zum Beispiel $\sqrt[4]{2^4}=2$ und ${\left(\sqrt[4]{81}\right)}^4=81$. Im Koordinatensystem liegen die Graphen von y = xⁿ (für x ≥ 0) und y = ⁿ√x spiegelbildlich zur Geraden y = x: Zu $P(x\mid x^n)$ gehört $R(x^n\mid x)$. Nicht jede Wurzel ist glatt. $\sqrt[4]{50}$ liegt zwischen 2 und 3, denn 2^4 = 16 < 50 < 81 = 3^4. Der Taschenrechner liefert $\sqrt[4]{50}\approx 2,66$.

Die Gleichung $x^n=c$ fragt: An welchen Stellen hat der Graph von $y=x^n$ die Höhe c? Zeichne die Waagrechte $y=c$: Jeder Schnittpunkt ist eine Lösung. Bei geradem n ist der Graph achsensymmetrisch und liegt nie unter der x-Achse. Für c > 0 gibt es zwei Lösungen $x=\pm \sqrt[n]{c}$, für $c=0$ nur $x=0$ und für c < 0 keine. Bei ungeradem n steigt der Graph durchgehend, jede Waagrechte trifft ihn genau einmal: Für $c\ge 0$ ist $x=\sqrt[n]{c}$, für c < 0 ist $x=-\sqrt[n]{-c}$.

Beispiele: $x^4=81$ hat die Lösungen 3 und −3, $x^3=-8$ nur die Lösung −2. Steht vor der Potenz ein Faktor, teilt man zuerst durch ihn: $2x^4=162$ wird zu $x^4=81$, also $x=\pm 3$. Nicht c : n rechnen: $x^4=10$ hat nicht die Lösungen ±2,5, sondern $\pm \sqrt[4]{10}\approx \pm 1,78$. Zur Kontrolle setzt man in die Ausgangsgleichung ein: $(-3{)}^4=81$ und $3^4=81$, beide Lösungen stimmen. Auch Gleichungen wie $x^3+27=0$ oder $5x^4=80$ gehören dazu, denn nach dem Umformen haben sie die Form $x^n=c$.

Das Muster fortsetzen

Bei den Zweierpotenzen $2^3=8$, $2^2=4$, $2^1=2$ wird jeder Wert halb so groß wie der vorige. Setzt man das Muster fort, folgen $2^0=1$, $2^{-1}=\frac{1}{2}$ und $2^{-2}=\frac{1}{4}$. Das ist keine Willkür: Nur so bleibt das Potenzgesetz $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ gültig. Aus $2^0\cdot 2^3=2^3$ folgt $2^0=1$, und aus $2^{-3}\cdot 2^3=2^0=1$ folgt $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$. Für $a\ne 0$ gilt also a⁰ = 1 und a⁻ⁿ = 1/aⁿ. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, er bildet den Kehrwert: $2^{-3}=\frac{1}{8}$. Aus den Zehnerpotenzen der Größen kennst du das schon: $10^{-3}\text{m}=0,001\text{m}=1\text{mm}$.

Bruchexponenten

Was könnte $2^{1/2}$ bedeuten? Wieder soll ein Potenzgesetz gültig bleiben, diesmal $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$. Dann ist ${\left(2^{1/2}\right)}^2=2^{1/2\cdot 2}=2^1=2$. Also ist $2^{1/2}$ eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat 2 ist, das heißt $2^{1/2}=\sqrt{2}$. Ebenso muss ${\left(a^{1/n}\right)}^n=a$ gelten, also ist a^(1/n) = ⁿ√a für $a\ge 0$. Beispiel: $27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3$. Der Exponent 1/n bedeutet nicht Teilen: $27^{1/3}$ ist nicht 27 : 3 = 9. Wurzelschreibweise und Potenzschreibweise sind also zwei Namen für dieselbe Zahl, und der Taschenrechner bestätigt es: $2^{0,5}\approx 1,414$.

Aus $27^{1/3}=\sqrt[3]{27}$ wird allgemein: Für $a\ge 0$ ist $a^{m/n}=\sqrt[n]{a^m}={\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m$. Der Nenner n ist der Wurzelexponent, der Zähler m der Exponent des Radikanden. Das folgt aus $a^{m/n}={\left(a^{1/n}\right)}^m$. Man darf erst die Wurzel ziehen und dann potenzieren oder umgekehrt. Meist ist die Wurzel zuerst bequemer: $8^{2/3}={\left(\sqrt[3]{8}\right)}^2=2^2=4$, ebenso $\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4$. Zähler und Nenner dürfen dabei nicht vertauscht werden.

Umgekehrt wird aus einer Wurzel eine Potenz: $\sqrt[5]{x^2}=x^{2/5}$ und $x^{3/4}=\sqrt[4]{x^3}$. Einen Bruch im Exponenten darf man kürzen: $\sqrt[6]{x^4}=x^{4/6}=x^{2/3}$. Ein negativer Bruch bildet zusätzlich den Kehrwert: $8^{-2/3}=\frac{1}{8^{2/3}}=\frac{1}{4}$. Die Basis muss nichtnegativ sein, bei negativem Exponenten sogar positiv. Deshalb ist $(-8{)}^{1/3}$ nicht erklärt, auch wenn die Gleichung $x^3=-8$ die Lösung −2 hat.

Eine Anwendung: Nach dem dritten Keplerschen Gesetz gilt für die Umlaufzeit T eines Planeten (in Jahren) und seinen mittleren Abstand a von der Sonne (in AE, 1 AE = Abstand Erde–Sonne) $T^2=a^3$, also $T=a^{3/2}={\left(\sqrt{a}\right)}^3$. Für die Erde ist a = 1 und T = 1, für den Mars mit a ≈ 1,52 ist T ≈ 1,87 Jahre.

Gleiche Basis

Die Potenzgesetze aus den Jahrgangsstufen 7 und 8 gelten unverändert für rationale Exponenten, wenn die Basen positiv sind. Bei gleicher Basis addiert man beim Multiplizieren die Exponenten und subtrahiert sie beim Dividieren: $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ und $a^m:a^n=a^{m-n}$. Jetzt dürfen m und n Brüche sein: $x^{1/2}\cdot x^{1/3}=x^{1/2+1/3}=x^{5/6}$. Die Brüche werden addiert wie alle Brüche, nicht Zähler und Nenner einzeln ($\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\ne \frac{2}{5}$). Beim Dividieren wird subtrahiert, und es kann ein negativer Exponent entstehen: $x^{3/4}:x^{1/4}=x^{1/2}$, aber $x^{1/3}:x^{1/2}=x^{-1/6}$.

Potenz von Potenz

Steht eine Potenz in der Klammer, multipliziert man die Exponenten: ${\left(a^m\right)}^n=a^{m\cdot n}$. Beispiel: ${\left(x^{2/3}\right)}^{3/4}=x^{2/3\cdot 3/4}=x^{1/2}$. Addieren ($\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{17}{12}$) oder Dividieren ($\frac{8}{9}$) der Exponenten ist ein häufiger Fehler. Der Grund für ganze Zahlen: $(a^2{)}^3=a^2\cdot a^2\cdot a^2=a^6$, es stehen 2 · 3 Faktoren da; das Gesetz gilt für Brüche weiter. Auch ein ganzzahliger Exponent gehört dazu: ${\left(x^{1/2}\right)}^4=x^2$. Zur Probe mit x = 16: ${\left(16^{2/3}\right)}^{3/4}=16^{1/2}=4$.

Gleicher Exponent und Summen

Bei gleichem Exponenten multipliziert oder dividiert man die Basen: $a^n\cdot b^n=(a\cdot b{)}^n$ und $a^n:b^n=(a:b{)}^n$, zum Beispiel $4^{1/2}\cdot 9^{1/2}=36^{1/2}=6$ und $36^{1/2}:4^{1/2}=9^{1/2}=3$. Der Grund: In $(a\cdot b{)}^n$ lassen sich die Faktoren beliebig vertauschen und nach a und b sortieren. Für Summen gibt es kein solches Gesetz: $(9+16{)}^{1/2}=5$, aber $9^{1/2}+16^{1/2}=7$. Auch $2^3\cdot 3^4$ lässt sich nicht zu $6^7$ zusammenfassen: Verschiedene Basen und verschiedene Exponenten passen zu keinem Gesetz.

Produkte und Quotienten aus Potenzen und Wurzeln fasst man in drei Schritten zusammen: (1) alle Wurzeln als Potenzen schreiben, (2) die Potenzgesetze anwenden, (3) das Ergebnis bei Bedarf wieder als Wurzel schreiben. Beispiel für x > 0: $\sqrt{x}\cdot \sqrt[3]{x}=x^{1/2}\cdot x^{1/3}=x^{5/6}=\sqrt[6]{x^5}$. Bei einem Quotienten wird subtrahiert: $\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt{x}}=x^{2/3-1/2}=x^{1/6}=\sqrt[6]{x}$. Ist der zweite Exponent größer, entsteht ein negativer Exponent: $\sqrt[4]{x}:\sqrt{x}=x^{-1/4}$. Bei mehreren Faktoren geht man Schritt für Schritt vor: $\frac{\sqrt[4]{x}\cdot \sqrt{x}}{\sqrt[3]{x}}=x^{1/4+1/2-1/3}=x^{5/12}$. Nenne bei jedem Schritt das benutzte Gesetz. Das Ergebnis darf als Potenz oder als Wurzel stehen: $x^{5/6}$ und $\sqrt[6]{x^5}$ sind derselbe Term. Zum Weiterrechnen ist die Potenz bequemer, zum Vorstellen und Abschätzen oft die Wurzel.

Steht eine Wurzel unter einer Wurzel, schreibt man beide als Potenzen und multipliziert die Exponenten: $\sqrt{\sqrt[3]{x}}={\left(x^{1/3}\right)}^{1/2}=x^{1/6}=\sqrt[6]{x}$, nicht $\sqrt[5]{x}$. Nur Produkte und Quotienten lassen sich so zusammenfassen: $\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}$ bleibt stehen. Eine Probe durch Einsetzen sichert das Ergebnis: Für $x=64$ ist $\sqrt{64}\cdot \sqrt[3]{64}=8\cdot 4=32$ und $64^{5/6}=2^5=32$.