Produkt- und Kettenregel

Ein Rechteck hat die Seiten u und v; sein Inhalt ist $u\cdot v$. Beide Seiten hängen von x ab und wachsen: u um Δu, v um Δv. Der Inhalt wächst um zwei Streifen und ein kleines Eckstück:

$$\Delta A=\Delta u\cdot v+u\cdot \Delta v+\Delta u\cdot \Delta v$$

Teilt man durch die Schrittweite h und lässt h gegen 0 gehen, werden aus $\Delta u/h$ und $\Delta v/h$ die Ableitungen u′ und v′. Das Eckstück enthält den Faktor Δv, der gegen 0 geht, und verschwindet. Übrig bleibt die Produktregel:

$$(u\cdot v{)}^{\prime }=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$$

Beispiel: u = 3 wächst mit u′ = 1 je Schritt, v = 2 mit v′ = 0,5. Der Inhalt wächst zunächst mit $1\cdot 2+3\cdot 0,5=3,5$ je Schritt. Das Produkt der Ableitungen, $u^{\prime }\cdot v^{\prime }=0,5$, beschreibt nur das Eckstück und ist nicht die Ableitung von u·v. Ist ein Faktor konstant, etwa u = 2, dann ist u′ = 0 und es bleibt $(2\cdot v{)}^{\prime }=2\cdot v^{\prime }$.

Merkhilfe: erste Funktion abgeleitet mal zweite, plus erste mal zweite abgeleitet. Kontrolle mit u(x) = x und v(x) = x + 1: Die Regel gibt $1\cdot (x+1)+x\cdot 1=2x+1$, und tatsächlich ist $(x^2+x{)}^{\prime }=2x+1$. Das Produkt der Ableitungen ergäbe nur $1\cdot 1=1$.

x·eˣ ableiten

Die Funktion $f(x)=x\cdot e^x$ ist ein Produkt mit den Faktoren u(x) = x und v(x) = eˣ. Zuerst werden beide Faktoren abgeleitet: u′ = 1 und v′ = eˣ, denn (eˣ)′ = eˣ. Dann wird eingesetzt:

$$f^{\prime }(x)=1\cdot e^x+x\cdot e^x$$

Bei x = 2 ergibt das 3e² ≈ 22,17. Die falsche Rechnung u′·v′ = eˣ hätte nur e² ≈ 7,39 geliefert. Merke die drei Schritte: Faktoren benennen, beide ableiten, in u′·v + u·v′ einsetzen. Steht statt x eine Potenz wie x², kommt die Potenzregel ins Spiel: u = x², u′ = 2x.

Ausklammern

In $f^{\prime }(x)=e^x+x\cdot e^x$ steckt eˣ in beiden Summanden. Ausklammern gibt $f^{\prime }(x)=(1+x)\cdot e^x$. Weil eˣ nie null wird, entscheidet allein die Klammer: f′(x) = 0 genau für x = −1, dort hat der Graph von f eine waagerechte Tangente. Ebenso gilt $(x^2{e}^x{)}^{\prime }=2x{e}^x+x^2{e}^x=(2x+x^2)e^x=x(2+x)e^x$; diese Ableitung hat die Nullstellen x = 0 und x = −2. Ausklammern lohnt sich: Aus der Summe wird ein Produkt, und ein Produkt ist genau dann null, wenn ein Faktor null ist.

Verschachtelte Rechenwege

Manche Funktionen rechnen in zwei Stufen. Bei $h(x)=e^{x^2}$ wird zuerst x² berechnet und dann e hoch dieses Ergebnis genommen. Das Zwischenergebnis heißt u. Die erste Stufe $g(x)=x^2$ ist die innere Funktion, die zweite $f(u)=e^u$ die äußere Funktion. Zusammen bilden sie eine Verkettung $h(x)=f(g(x))$. Die innere Funktion steht in der Klammer oder im Exponenten, die äußere wird zuletzt ausgeführt. Bei $(2x+1{)}^3$ ist 2x + 1 innen und u³ außen. Auch bei $(x-4{)}^5$ ist x − 4, das in der Klammer steht, die innere Funktion; u⁵ ist die äußere.

Reihenfolge und Produkt

Die Reihenfolge entscheidet. Mit g(x) = x + 1 und f(u) = u² ist f(g(x)) = (x + 1)², aber g(f(x)) = x² + 1; bei x = 2 sind das 9 und 5.

Eine Verkettung ist auch kein Produkt. $x\cdot e^x$ multipliziert zwei Funktionswerte, $e^{2x}$ setzt 2x in die e-Funktion ein: Für x = 1 ist $e^{2x}$ = e² ≈ 7,39, aber e·2x ≈ 5,44. Man fragt: Welche Rechenart wird zuletzt ausgeführt? Ein Rechenbaum macht das sichtbar: Die zuletzt ausgeführte Rechenart steht ganz oben. Bei einem Produkt stehen die Faktoren nebeneinander, bei einer Verkettung steckt der eine Term im anderen.

Wie steil ist $h(x)=(2x+1{)}^3$? Ändert sich x um Δx, ändert sich die innere Größe u = 2x + 1 um $g^{\prime }\cdot \Delta x=2\Delta x$, und der Wert u³ der äußeren Funktion ändert sich um $f^{\prime }(u)\cdot \Delta u=3u^2\cdot 2\Delta x$. Die Änderungsraten multiplizieren sich, wie bei zwei gekoppelten Zahnrädern: Dreht sich das erste doppelt so schnell wie das Ausgangsrad und das zweite dreimal so schnell wie das erste, dreht es sich insgesamt sechsmal so schnell. Das ist die Kettenregel:

$$h^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

Äußere Ableitung an der inneren Stelle, mal innere Ableitung. Hier ist $h^{\prime }(x)=3(2x+1{)}^2\cdot 2=6(2x+1{)}^2$; bei x = 0,5 ist u = 2, f′(u) = 12 und g′ = 2, also h′(0,5) = 24. Zwei typische Fehler: die innere Ableitung vergessen (dann käme 12 heraus) und f′ an der Stelle x statt an der Stelle u = g(x) auswerten (3x²·2 = 1,5). Kontrolle: Ausmultipliziert ist $(2x+1{)}^3=8x^3+12x^2+6x+1$ mit der Ableitung $24x^2+24x+6=6(2x+1{)}^2$, beide Wege stimmen überein. Bei $(2x+1{)}^{10}$ wäre Ausmultiplizieren mühsam; die Kettenregel liefert sofort $20(2x+1{)}^9$.

e hoch kx

Bei $h(x)=e^{kx}$ ist die innere Funktion g(x) = kx mit g′ = k. Die äußere Funktion eᵘ bleibt beim Ableiten dieselbe. Die Kettenregel gibt $h^{\prime }(x)=k\cdot e^{kx}$: Die Steigung ist das k-Fache des Funktionswerts. Bei $e^{2x}$ ist der Graph doppelt so steil wie hoch, bei x = 0 hat er die Steigung k. Für k = −1 ist $(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$: Die Steigung ist negativ, der Graph fällt. Ein weiteres Beispiel: $(e^{4x}{)}^{\prime }=4e^{4x}$.

e hoch g(x)

Allgemein bleibt der Exponent stehen, und seine Ableitung kommt als Faktor davor:

$${\left(e^{g(x)}\right)}^{\prime }=g^{\prime }(x)\cdot e^{g(x)}$$

Für $h(x)=e^{x^2}$ ist g′ = 2x, also $h^{\prime }(x)=2x\cdot e^{x^2}$. Die Potenzregel darf man am Exponenten nicht anwenden: ($e^{x^2}$)′ ist nicht x²·$e^{x^2-1}$. Auch $g(x)=-x^2$ ist eine innere Funktion. Der Graph von $e^{-x^2}$ ist eine Glocke: symmetrisch zur y-Achse, mit der x-Achse als Asymptote. Merke: Erst den Exponenten ableiten und als Faktor davorschreiben, die äußere Funktion bleibt unverändert stehen. Ein Beispiel mit Summe im Exponenten: ${\left(e^{x^2+5x}\right)}^{\prime }=(2x+5)e^{x^2+5x}$.

Die äußerste Rechenart

Bei zusammengesetzten Termen entscheidet die zuletzt ausgeführte Rechenart, welche Regel zuerst kommt: eine Summe verlangt die Summenregel, ein Produkt die Produktregel, eine Verkettung die Kettenregel. Der Rechenbaum von $f(x)=x\cdot e^{-2x}$ zeigt es: Ganz oben steht das Malzeichen, f ist ein Produkt. Im zweiten Ast steckt eine Verkettung mit der inneren Funktion −2x. Also kommt zuerst die Produktregel und beim Faktor $e^{-2x}$ dann die Kettenregel. Bei einer Summe wie x³ + $e^{-x}$ wird dagegen jeder Summand für sich abgeleitet.

Produkt mit Kette

Mit u = x ist u′ = 1. Mit v = $e^{-2x}$ ist v′ = −2·$e^{-2x}$, nach der Kettenregel. Daraus folgt

$$f^{\prime }(x)=1\cdot e^{-2x}+x\cdot (-2)e^{-2x}=(1-2x)e^{-2x}$$

Die innere Ableitung −2 gehört nur zum zweiten Summanden, nicht vor das ganze Produkt. Ausgeklammert sieht man: f′ ist null bei x = 0,5; dort ist die Tangente waagerecht, und f(0,5) = 0,5·e⁻¹ ≈ 0,18. Im Bild entspricht k = 2 diesem Beispiel.

Nullstellen und Grenzverhalten

Wir untersuchen $f(x)=x\cdot e^x$. Nullstelle: eˣ wird nie null, also entscheidet der Faktor x, und es gibt nur x = 0. Für x < 0 ist f negativ, für x > 0 positiv. Für x → +∞ wachsen beide Faktoren, f(x) → ∞. Für x → −∞ überwiegt eˣ das Wachstum von |x|: f(x) → 0, die x-Achse ist waagerechte Asymptote, der Graph nähert sich ihr von unten. Aus $f^{\prime }(x)=(1+x)e^x$ folgt: Bei x = −1 wechselt f′ das Vorzeichen von − nach +. Die zweite Ableitung $f^{\prime \prime }(x)=(2+x)e^x$ bestätigt es mit f″(−1) = 1/e > 0: Dort liegt ein Tiefpunkt T(−1 | −1/e) ≈ (−1 | −0,37).

Hochpunkt, Wendepunkte, Parameter

Für $f_a(x)=e^{-a{x}^2}$ mit a > 0 gilt $f_a^{\prime }(x)=-2ax{e}^{-a{x}^2}$: Nur bei x = 0 ist $f_a^{\prime }$ null, und $f_a(0)=1$, unabhängig von a. Die zweite Ableitung $f_a^{\prime \prime }(x)=(4a^2{x}^2-2a)e^{-a{x}^2}$ ist null bei $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2a}}$: Dort liegen die Wendepunkte in der Höhe $e^{-1/2}$ ≈ 0,61. Ein größeres a macht die Glocke schmaler, der Hochpunkt (0 | 1) bleibt.

Das Modell

Ist die Änderungsrate eines Bestands proportional zum Bestand, passt $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$ mit dem Anfangsbestand N₀ und der Konstante k. Die Kettenregel liefert

$$N^{\prime }(t)=k\cdot N(t)$$

Wer den Bestand kennt, kennt die Änderungsrate. Für k > 0 wächst der Bestand, für k < 0 klingt er ab. Beispiel: N(t) = 500·$e^{0,3t}$ mit t in Stunden hat N(4) ≈ 1660 und N′(4) ≈ 498 je Stunde; verdoppelt ist der Bestand nach (ln 2)/0,3 ≈ 2,31 Stunden. Die Konstante k folgt aus Messwerten: Wächst ein Bestand von 500 auf 800 in 3 Stunden, gilt $e^{3k}$ = 1,6 und k = (ln 1,6)/3 ≈ 0,157. Bei der Halbwertszeit T ist k = −(ln 2)/T.

Ein Medikament

Nach dem Einnehmen steigt die Konzentration im Blut erst an und sinkt dann wieder: $c(t)=4t\cdot e^{-0,5t}$ (t in Stunden, c in mg/l). Produkt- und Kettenregel geben $c^{\prime }(t)=4(1-0,5t)e^{-0,5t}$; null wird das bei t = 2, dort liegt das Maximum 8/e ≈ 2,94 mg/l. Allgemein hat a·t·$e^{-kt}$ sein Maximum bei t = 1/k. Der Wert c(0) = 0 passt: Vor der Einnahme ist nichts im Blut. Nach 30 Stunden ist praktisch nichts mehr da. Ein Modell gilt nur in seinem Bereich: N₀·$e^{kt}$ wüchse unbegrenzt.