Der Satz des Pythagoras

Hypotenuse und Katheten

In einem rechtwinkligen Dreieck haben die Seiten feste Namen. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, ist die Hypotenuse (Seite c); sie ist immer die längste Seite. Die beiden Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten (a und b). Die Buchstaben folgen der üblichen Beschriftung: Jede Seite heißt wie die Ecke gegenüber, nur klein. Liegt der rechte Winkel bei C, heißt er γ = 90°, und die Seite c gegenüber ist die Hypotenuse.

Die Namen hängen an der Lage zum rechten Winkel, nicht an der Lage auf dem Blatt: Die Hypotenuse muss weder unten noch schräg stehen. Drehe das Dreieck und suche sie jedes Mal neu. Tipp: Markiere zuerst den rechten Winkel; die Seite gegenüber ist dann die Hypotenuse.

Der Flächensatz

Über jeder Seite lässt sich ein Quadrat zeichnen. Seine Fläche ist das Quadrat der Seitenlänge: Über einer Seite von 3 cm liegt ein Quadrat von 9 cm². Umgekehrt ist die Seite die Wurzel der Fläche: Zum Quadrat mit 9 cm² gehört die Seite $\sqrt{9}=3$ cm.

Im Bild unten hat das Dreieck die Katheten 3 cm und 4 cm und die Hypotenuse 5 cm. Die Quadrate über den Katheten haben 9 cm² und 16 cm², zusammen 25 cm² – so viel wie das Quadrat über der Hypotenuse, 5 · 5 = 25. Der Satz des Pythagoras sagt, dass diese Flächenrechnung in jedem rechtwinkligen Dreieck aufgeht:

$$a^2+b^2=c^2$$

Die beiden Kathetenquadrate ergeben zusammen genau das Hypotenusenquadrat. Es geht um Flächen, nicht um Längen – 3 + 4 ist nicht 5. Der Satz gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Er trägt den Namen des griechischen Gelehrten Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.); die Beziehung selbst kannten schon die Babylonier, Jahrhunderte früher.

Bei a = 3 geht alles glatt auf: 25 ist eine Quadratzahl, c = 5. Stelle a = 2 ein. Jetzt hat das grüne Quadrat 4 + 16 = 20 cm², und 20 ist keine Quadratzahl. Der Chip zeigt c ≈ 4,47 – aber welche Seite gehört zu 20 cm², wenn kein Bild sie misst? Das rechnet der Satz noch nicht aus; er liefert erst die Fläche.

Ein mathematischer Satz hat zwei Teile: eine Voraussetzung, die man annimmt, und eine Behauptung, die daraus folgt. Der Satz des Pythagoras lautet: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt $a^2+b^2=c^2$. Die Voraussetzung ist der rechte Winkel, die Behauptung die Flächengleichung.

An einem Beispiel nachzurechnen zeigt nur, dass der Satz dort stimmt. Ein Beweis zeigt ihn für jedes rechtwinklige Dreieck zugleich – deshalb kommt er ohne Zahlen aus. Hier gelingt das durch Zerlegen.

Lege vier gleiche rechtwinklige Dreiecke (Katheten a und b) in ein Quadrat der Seite $a+b$. In Anordnung 1 liegen sie in den Ecken; in der Mitte bleibt ein schiefes Quadrat der Seite c. Es ist ein Quadrat, weil die beiden spitzen Winkel eines Dreiecks zusammen 90° ergeben (180° Winkelsumme minus der rechte Winkel) und an jeder Ecke innen ein rechter Winkel bleibt. In Anordnung 2 bilden die Dreiecke zwei Rechtecke; übrig bleiben ein Quadrat a² und ein Quadrat b².

Das große Quadrat und die vier Dreiecke sind in beiden Fällen gleich, also auch der Rest. Jedes Dreieck ist ein halbes Rechteck mit den Seiten a und b und hat die Fläche $\frac{1}{2}ab$:

$$(a+b{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+c^2(a+b{)}^2=4\cdot \frac{1}{2}ab+a^2+b^2$$

Zieht man die vier Dreiecke ab, bleibt $c^2=a^2+b^2$. Achtung: $(a+b{)}^2$ ist nicht $a^2+b^2$ – die beiden Rechtecke $2ab$ gehören dazu. Im Bild bei a = 3 und b = 4: $(a+b{)}^2=49$, aber $a^2+b^2=25$; die Differenz 24 sind die beiden Rechtecke, 2 · 3 · 4.

Sind die beiden Katheten a und b bekannt, lässt sich die Hypotenuse c berechnen. Der Satz liefert zuerst das Quadrat der Hypotenuse, also eine Fläche – bei a = 2 und b = 4 also 20 cm². Gesucht ist aber eine Länge, die Seite dieses Quadrats, und die Seite eines Quadrats ist die Wurzel seiner Fläche, wie $\sqrt{9}=3$ beim Quadrat mit 9 cm²:

$$c^2=a^2+b^2\Rightarrow c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Beispiel: a = 2 cm und b = 4 cm. Dann ist $c^2=2^2+4^2=4+16=20$ und $c=\sqrt{20}\approx 4,47\text{cm}$. Die Wurzel gehört an den Schluss – 20 ist erst die Fläche des grünen Hypotenusenquadrats im Bild. 20 ist keine Quadratzahl, also ist $\sqrt{20}$ nicht ganz: Wegen $4^2=16<20<25=5^2$ liegt c zwischen 4 und 5.

Kontrolle. Die Hypotenuse ist länger als jede Kathete, aber kürzer als $a+b$, denn der Weg über beide Katheten ist ein Umweg. Hier: 4 < 4,47 < 6. Genau bei 6 landet, wer die Wurzel zu früh zieht: $\sqrt{4}+\sqrt{16}=2+4=6$ ist nicht $\sqrt{20}$. Liegt c außerhalb dieses Bereichs, hat man sich verrechnet.

Mit dem Taschenrechner rundet man erst am Ende. Wer schon $c^2$ rundet, trägt den Rundungsfehler in die Wurzel hinein. Und die Einheit nicht vergessen: Aus cm² wird nach der Wurzel wieder cm.

Oft ist gerade die längste Seite bekannt – etwa die 5 Abstände des gespannten Seils aus der Einleitung – und eine Kathete gesucht. Die Hypotenusen-Rechnung hilft dann nicht, denn dort waren beide Katheten gegeben. Ist die Hypotenuse c bekannt und eine Kathete, stellt man die Gleichung nach der gesuchten Kathete um. Aus $c^2=a^2+b^2$ wird

$$a^2=c^2-b^2\Rightarrow a=\sqrt{c^2-b^2}$$

Jetzt wird subtrahiert: Das Hypotenusenquadrat ist das größte, davon geht das bekannte Kathetenquadrat weg. Beispiel: c = 5 cm und b = 4 cm – das 3-4-5-Dreieck vom Anfang, jetzt von der Hypotenuse aus gerechnet. Dann ist $a^2=5^2-4^2=25-16=9$ und $a=3\text{cm}$.

Anschaulich: Vom großen Quadrat über der Hypotenuse wird das Quadrat über der bekannten Kathete weggenommen; was bleibt, ist das Quadrat über der gesuchten Kathete. Deshalb wird subtrahiert. Im Bild: 25 − 16 = 9 ist das rote Quadrat, seine Seite ist 3.

Welche Seite ist die Hypotenuse? Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber – nicht immer trägt sie den Buchstaben c. Im Dreieck PQR mit dem rechten Winkel bei P gilt $Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2$. Erst den rechten Winkel suchen, dann die Gleichung aufstellen.

Kontrolle. Eine berechnete Kathete ist immer kürzer als die Hypotenuse. Kommt eine längere Seite heraus, wurde addiert statt subtrahiert: Mit 5 und 4 ergäbe das $\sqrt{25+16}=\sqrt{41}\approx 6,40$ – mehr als die Hypotenuse 5.

Satz und Umkehrung

In der Einleitung hast du die zwölf Knotenabstände verteilt: Nur bei 3, 4 und 5 saß bei C ein rechter Winkel. Der Satz des Pythagoras erklärt das noch nicht. Er setzt den rechten Winkel schon voraus und sagt nur, was dann für die Seiten gilt. Der Zimmermann braucht die andere Richtung: von den Seiten zum Winkel.

Probiere diese Richtung im Bild aus. Die Seiten a = 3 und b = 4 liegen fest, der Winkel γ bei C zwischen ihnen ist frei, und die dritte Seite c spannt sich dazwischen.

Bei 70° ist $c^2\approx 16,8$, also kleiner als 25; bei 110° ist $c^2\approx 33,2$, größer. Genau 25 wird es nur bei γ = 90°. Das ist die Umkehrung des Satzes. Der Satz sagt: Wenn ein Dreieck rechtwinklig ist, dann gilt $a^2+b^2=c^2$. Die Umkehrung tauscht die beiden Teile: Wenn $a^2+b^2=c^2$ gilt, dann ist das Dreieck rechtwinklig, mit dem rechten Winkel gegenüber von c.

Eine Umkehrung ist nicht automatisch wahr: „Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, hat es vier gleich lange Seiten“ stimmt, die Umkehrung nicht (Raute). Beim Satz des Pythagoras gilt sie, und das Bild ist nicht der einzige Grund: Zeichnet man ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b, hat seine Hypotenuse nach dem Satz die Länge c. Nach dem Kongruenzsatz SSS legen drei Seitenlängen ein Dreieck bis auf Kongruenz fest; ein Dreieck mit den Seiten a, b und c ist also ebenfalls rechtwinklig. Darum bildet das Seil, zu 3 + 4 + 5 gespannt, einen rechten Winkel: $3^2+4^2=5^2$.

Der Test

Ob ein Dreieck mit gegebenen Seiten rechtwinklig ist, klärt ein Test: Die längste Seite ist die mögliche Hypotenuse c. Rechne $a^2+b^2$ und $c^2$ aus. Sind beide genau gleich, ist das Dreieck rechtwinklig, sonst nicht. „Fast gleich“ genügt nicht: Bei den Seiten 5, 6 und 8 ist $5^2+6^2=61$, aber $8^2=64$. Der Winkel gegenüber der 8 ist dann etwa 93°, wie im Bild oben ein γ knapp über 90°: c² ist ein wenig zu groß.

Pythagoreische Tripel

Drei natürliche Zahlen mit $a^2+b^2=c^2$ heißen pythagoreisches Tripel: (3 | 4 | 5), (5 | 12 | 13), (8 | 15 | 17). Multipliziert man alle drei Zahlen mit demselben Faktor, entsteht wieder ein Tripel: (6 | 8 | 10), (9 | 12 | 15). Bauleute stecken damit noch heute rechte Winkel ab. Die Zahlen müssen ganz sein: Mit (1 | 1 | $\sqrt{2}$) gilt die Gleichung ebenfalls, ein Tripel ist es nicht.

Die Leiter an der Wand

Bisher war das rechtwinklige Dreieck immer schon gezeichnet. In einer Sachaufgabe steht nur ein Gegenstand: Eine 5 m lange Leiter steht mit dem Fuß 1,5 m von der Wand. Wie hoch reicht sie? Bei Sachaufgaben zeichnet man deshalb zuerst eine Skizze und fragt: Wo steckt das rechtwinklige Dreieck, was ist gegeben, was gesucht? Im Bild stehen zunächst nur Wand, Boden und Leiter.

Wand und Boden bilden den rechten Winkel; die Leiter liegt ihm gegenüber und ist die Hypotenuse, die Höhe h eine Kathete. Gesucht ist also nicht die Hypotenuse: $h^2=5^2-1,5^2=22,75$, $h\approx 4,77\text{m}$. Das Ergebnis gehört in einen Antwortsatz: Die Leiter reicht etwa 4,77 m hoch. Die Höhe ist kürzer als die Leiter. Wer die Leiter für eine Kathete hält, rechnet $\sqrt{5^2+1,5^2}\approx 5,22$ – höher, als die Leiter lang ist.

Die Diagonale im Rechteck

Eine Diagonale teilt ein Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Sie ist die Hypotenuse, die Rechteckseiten sind die Katheten. Bei einem Feld von 12 m × 5 m gilt $d^2=12^2+5^2=169$, also $d=13\text{m}$ – kürzer als der Weg an zwei Seiten entlang (17 m). Kennt man dagegen die Diagonale und eine Seite, ist die andere Seite eine Kathete und wird subtrahiert. Im Quadrat mit der Seite s sind beide Katheten s: $d^2=s^2+s^2=2s^2$, und mit $\sqrt{2s^2}=\sqrt{2}\cdot \sqrt{s^2}$ wird $d=s\sqrt{2}\approx 1,41\cdot s$.

Die Höhe im gleichschenkligen Dreieck

Im gleichschenkligen Dreieck steht die Höhe senkrecht auf der Basis und halbiert sie. So entstehen zwei rechtwinklige Dreiecke: Die Katheten sind die halbe Basis g/2 und die Höhe h, die Hypotenuse ist der Schenkel. Für g = 6 cm und Schenkel 5 cm: $h^2=5^2-3^2=16$, $h=4\text{cm}$ – jede Hälfte ist wieder das Dreieck 3, 4, 5 vom Anfang. Die ganze Basis 6 cm gehört nicht ins Teildreieck. Mit der Höhe lässt sich auch die Fläche bestimmen: ½ · 6 · 4 = 12 cm².

Im Koordinatensystem liegen $P(-2\mid 1)$ und $Q(4\mid 5)$. Wie weit sind sie voneinander entfernt? Zwischen zwei Punkten ist kein rechtwinkliges Dreieck gezeichnet; man muss es erst finden. Zeichne durch P eine waagerechte Linie – auf ihr ist überall y = 1 – und durch Q eine senkrechte – auf ihr ist überall x = 4. Sie treffen sich in $R(4\mid 1)$, und weil waagerecht und senkrecht aufeinander stehen, ist PRQ ein rechtwinkliges Dreieck mit dem rechten Winkel bei R.

Die Katheten sind die Koordinatenunterschiede. Den Unterschied der x-Koordinaten schreibt man Δx (gesprochen „Delta x“), den der y-Koordinaten Δy:

$$\Delta x=4-(-2)=6\Delta y=5-1=4$$

Der Abstand ist die Hypotenuse: $d=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{52}\approx 7,21$. Heißen die Punkte allgemein $P(x_1\mid y_1)$ und $Q(x_2\mid y_2)$, dann ist $\Delta x=x_2-x_1$ und $\Delta y=y_2-y_1$, also

$$d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$$

Man setzt die Unterschiede ein, nicht die Koordinaten selbst. Bei negativen Koordinaten hilft die Klammer: $4-(-2)=6$, nicht 2. Die Summe 6 + 4 = 10 wäre der Weg entlang der Gitterlinien, nicht die Luftlinie.

Ein Sonderfall: Zieht man Q auf die Höhe y = 1, liegen P und Q auf einer waagerechten Linie. Dann ist $\Delta y=0$ und der Abstand einfach $|\Delta x|$. Man braucht den Satz des Pythagoras dann nicht – er liefert aber dasselbe Ergebnis: $\sqrt{\Delta x^2+0}=|\Delta x|$.

Erst die Grundfläche

Ein Quader hat die Kanten a, b und c; hier ist c also eine Kante und nicht die Hypotenuse. Die Raumdiagonale verbindet zwei gegenüberliegende Ecken durch das Innere; sie liegt in keiner Seitenfläche. Man baut sie aus zwei rechtwinkligen Dreiecken. Zuerst die Diagonale e der Grundfläche: Sie ist die Hypotenuse mit den Katheten a und b, also $e^2=a^2+b^2$. Im Bild ist dieses Dreieck violett; sein rechter Winkel liegt an der vorderen rechten Ecke am Boden, zwischen a und b. Bei 4 × 3 ist $e^2=16+9=25$, also $e=5$ – auf dem Boden liegt das Dreieck 3, 4, 5. Im Schrägbild sind die Tiefenkanten verkürzt gezeichnet; gerechnet wird immer mit den wahren Längen.

Dann die Raumdiagonale

Die Diagonale e liegt waagerecht, die Kante c steht senkrecht darauf: ein zweites rechtwinkliges Dreieck. Im Bild steht es grün senkrecht auf dem violetten; sein rechter Winkel liegt hinten rechts am Boden, zwischen e und c. Seine Hypotenuse ist die Raumdiagonale d. Also $d^2=e^2+c^2=a^2+b^2+c^2$. Bei c = 2 ist $d^2=25+4=29$, also $d\approx 5,39$. So lang ist auch der längste gerade Stab, der in eine Kiste dieser Maße passt.

Beim Würfel mit der Kante a sind alle drei Kanten gleich:

$$d=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=\sqrt{3}\cdot \sqrt{a^2}=a\sqrt{3}$$

Die Raumdiagonale ist also rund 1,73-mal so lang wie die Kante. Weder $a+b+c=4+3+2=9$ noch $\sqrt{a^2+b^2}+c=5+2=7$ ist die Raumdiagonale 5,39 des Quaders von oben: Beide Wege laufen an den Kanten entlang, die Raumdiagonale quer durch den Quader.

Rückblick

Seil, Leiter, Feld, gleichschenkliges Dreieck, zwei Punkte, Kiste: Jedes Mal hat dieselbe Frage die Rechnung gelöst. Wo ist der rechte Winkel? Die Seite gegenüber ist die Hypotenuse. Ihr Quadrat ist die Summe der beiden anderen Quadrate, also wird addiert, wenn sie gesucht ist, und subtrahiert, wenn eine Kathete gesucht ist. Die Wurzel kommt zum Schluss. Und das Dreieck 3, 4, 5 des Zimmermanns kam immer wieder vor: im Seil, in der Rechnung nach einer Kathete, im gleichschenkligen Dreieck und auf dem Boden des Quaders.

Ohne rechten Winkel gilt der Satz nicht, das hat das Bild mit dem Winkel γ bei der Umkehrung gezeigt. Es hat c² dort mit einer allgemeineren Regel berechnet, dem Kosinussatz. Er gilt in jedem Dreieck und wird bei γ = 90° wieder zu $a^2+b^2=c^2$. Der nächste Kurs beginnt mit den Seitenverhältnissen am rechtwinkligen Dreieck, aus denen diese Regel später entsteht.