Quotientenregel und gebrochen-rationale Funktionen

Der Kehrwert von x

Der Kehrwert von x ist $\frac{1}{x}=x^{-1}$. Die Potenzregel liefert ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$. Ein Quadrat ist nie negativ, also ist die Steigung überall negativ: Der Graph fällt auf jedem seiner beiden Äste. Bei x = 1 beträgt die Steigung −1, bei x = 0,5 schon −4, denn dicht am Pol wird der Graph sehr steil. Der Kehrwert der Ableitung wäre 1/x′ = 1, also positiv, und das passt nicht zum Bild. Die Ableitung des Kehrwerts ist nicht der Kehrwert der Ableitung.

Der Kehrwert einer Funktion

Für eine Funktion v ist $\frac{1}{v}$ eine Verkettung: erst v, dann die äußere Funktion z ↦ 1/z. Die äußere Ableitung −1/z² wird mit der inneren Ableitung v′ multipliziert:

$${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$$

Beispiel: Für $v(x)=3x+1$ ist $v^{\prime }(x)=3$, also ${\left(\frac{1}{3x+1}\right)}^{\prime }=-\frac{3}{(3x+1{)}^2}$. Weil v² positiv ist, hat (1/v)′ das entgegengesetzte Vorzeichen von v′: Wo v steigt, fällt 1/v, und wo v fällt, steigt 1/v. Hat v mit v > 0 ein Minimum, so hat 1/v dort ein Maximum. Im Bild ist $v(x)=x^2+2$ mit dem Scheitelwert 2, und 1/v erreicht dort ihr Maximum 1/2.

Der Quotient als Produkt

Ein Quotient lässt sich als Produkt schreiben: $\frac{u}{v}=u\cdot \frac{1}{v}$. Die Produktregel gibt $u^{\prime }\cdot \frac{1}{v}+u\cdot {\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }$, und für den Kehrwert kennen wir ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\prime }=-\frac{v^{\prime }}{v^2}$. Zusammengefasst auf den Hauptnenner v² entsteht die Quotientenregel:

$${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}$$

Merkhilfe: Zähler abgeleitet mal Nenner, minus Zähler mal Nenner abgeleitet, durch den Nenner zum Quadrat. Am Beispiel $f(x)=\frac{x}{x^2+1}$ sieht man die beiden Summanden aus der Herleitung: $\frac{u^{\prime }}{v}$ und $-\frac{u\cdot v^{\prime }}{v^2}$.

Die Regel im Beispiel

Für $f(x)=\frac{x+4}{x-2}$ ist $u=x+4$, $u^{\prime }=1$, $v=x-2$, $v^{\prime }=1$. Einsetzen gibt $f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-2)-(x+4)\cdot 1}{(x-2{)}^2}=\frac{-6}{(x-2{)}^2}$. Drei Dinge zählen. Erst kommt u′·v, dann wird u·v′ abgezogen; in umgekehrter Reihenfolge dreht sich das Vorzeichen. Im Nenner steht v², nicht v. Und das Ergebnis ist nicht der Quotient der Ableitungen: u′/v′ = 1/1 = 1 wäre positiv, doch f fällt auf beiden Ästen. Ein Gegenbeispiel: x³/x = x² hat die Ableitung 2x, der Quotient der Ableitungen aber wäre 3x². Zur Kontrolle: Der Differenzenquotient über [3,9; 4,1] ist $\frac{3,857-4,158}{0,2}\approx -1,50$ und passt zu $f^{\prime }(4)=\frac{-6}{4}=-1,5$.

Vier Schritte führen sicher zum Ergebnis, hier für $f(x)=\frac{x-3}{x^2+1}$.

1. Bausteine notieren. u = x − 3 mit $u^{\prime }=1$ und v = x² + 1 mit $v^{\prime }=2x$.

2. Mit Klammern einsetzen. $$f^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x^2+1)-(x-3)\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}$$

3. Den Zähler zusammenfassen. Das Minus gilt für das ganze Produkt: $(x-3)\cdot 2x=2x^2-6x$, also $x^2+1-2x^2+6x=-x^2+6x+1$.

4. Den Nenner als Quadrat lassen. $$f^{\prime }(x)=\frac{-x^2+6x+1}{(x^2+1{)}^2}$$

Der Nenner bleibt ungeöffnet: An (x² + 1)² sieht man sofort, dass er nie null wird, ausmultipliziert als x⁴ + 2x² + 1 ginge das verloren. Gekürzt wird nur ein gemeinsamer Faktor, nie ein Summand: Das x² im Zähler gegen das x² im Nenner zu streichen, ist falsch.

Eine schnelle Probe: Bei x = 0 gilt $f^{\prime }(0)=\frac{1}{1}=1$, und die Tangente an f im Punkt (0 | −3) steigt tatsächlich mit der Steigung 1. Ein Vorzeichenfehler im Zähler fällt beim Vergleich mit dem Bild meist sofort auf.

Konstanter Nenner und Aufspalten

Steht im Nenner nur eine Zahl, ist der Bruch ein konstanter Faktor: $\frac{x^2+6x}{3}=\frac{1}{3}(x^2+6x)$ hat die Ableitung $\frac{2x+6}{3}$. Steht im Nenner ein einzelner Term wie x, lässt sich der Bruch aufspalten: $\frac{x^2+5}{x}=\frac{x^2}{x}+\frac{5}{x}=x+\frac{5}{x}$, also $f^{\prime }(x)=1-\frac{5}{x^2}$. Die Quotientenregel gibt dasselbe: $\frac{2x\cdot x-(x^2+5)\cdot 1}{x^2}=\frac{x^2-5}{x^2}$, nur mit mehr Rechnung. Vorsicht: (x² + 5)/x ist nicht x + 5. Jeder Summand im Zähler wird durch x geteilt.

Erst kürzen

Haben Zähler und Nenner einen gemeinsamen Faktor, wird zuerst gekürzt: $\frac{x^2-9}{x-3}=\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}=x+3$ für x ≠ 3. Die Ableitung ist 1, der Graph eine Gerade mit einer Lücke bei x = 3. Die Quotientenregel führt zum selben Ergebnis, denn $\frac{2x(x-3)-(x^2-9)}{(x-3{)}^2}=\frac{(x-3{)}^2}{(x-3{)}^2}=1$, aber der Umweg kostet Zeit und Fehlerquellen. Gekürzt werden dürfen nur Faktoren, nie Summanden: Als Faustregel schaut man zuerst auf den Nenner: eine Zahl (Faktorregel), ein einzelner Term (aufspalten), ein Faktor, der auch im Zähler steckt (kürzen). Bleibt nichts davon, gilt die Quotientenregel.

Der Zähler entscheidet

Für $f=\frac{u}{v}$ ist $f^{\prime }=\frac{Z}{v^2}$ mit $Z=u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$. Der Nenner v² ist nie negativ und außerhalb der Polstellen nie null, also entscheidet allein der Zähler Z: f′ = 0 genau dort, wo Z = 0 ist, und f′ hat das Vorzeichen von Z. Beispiel $f(x)=\frac{x}{x^2+4}$: Es ist $Z=(x^2+4)-x\cdot 2x=4-x^2$, also $f^{\prime }(x)=\frac{4-x^2}{(x^2+4{)}^2}$. Aus Z = 0 folgt x = ±2. Für −2 < x < 2 ist Z positiv, dort steigt f, sonst fällt f. Bei x = −2 wechselt f′ von − nach +: Tiefpunkt. Bei x = 2 wechselt f′ von + nach −: Hochpunkt. Die y-Koordinate liefert f, nicht f′: $f(2)=0,25$. Die Konzentration aus der Einleitung ist $c(t)=8\cdot f(t)$: Sie ist nach 2 Stunden am höchsten (2 mg/l) und wächst am Anfang mit $c^{\prime }(0)=2$ mg/l pro Stunde.

Polstellen sind keine Extrema

Bei $p(x)=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$ ist $p^{\prime }(x)=\frac{x^2+1}{x^2}$, und das ist überall positiv, wo p definiert ist. p steigt also auf jedem der beiden Äste, aber nicht als Ganzes: Es gilt p(−1) = 0 = p(1). Die Polstelle x = 0 gehört nicht zum Definitionsmenge, dort gibt es keinen Funktionswert. Die Monotonie wird deshalb an Polstellen in Intervalle zerlegt. Ein Extrempunkt hat immer einen endlichen y-Wert; ein Graph, der bei einem Pol nach ∞ läuft, hat dort keinen Hochpunkt. Ein Vorzeichenwechsel von f′ an einer Polstelle ändert daran nichts.

Die zweite Ableitung

Die zweite Ableitung ist die Ableitung von $f^{\prime }=\frac{Z}{v^2}$, also wieder ein Quotient. Die Quotientenregel gibt $f^{\prime \prime }=\frac{Z^{\prime }\cdot v^2-Z\cdot 2v{v}^{\prime }}{v^4}$, und ein Faktor v lässt sich kürzen. Beispiel $r(x)=\frac{x^2}{x+2}$: Es ist $r^{\prime }(x)=\frac{x^2+4x}{(x+2{)}^2}$ und $r^{\prime \prime }(x)=\frac{(2x+4)(x+2{)}^2-(x^2+4x)\cdot 2(x+2)}{(x+2{)}^4}=\frac{8}{(x+2{)}^3}$. Das Vorzeichen von r″ zeigt die Krümmung, nicht die Steigung: Bei r″ > 0 liegt eine Linkskrümmung vor, die Steigung wächst; bei r″ < 0 eine Rechtskrümmung. Hier ist r″ > 0 für x > −2.

Wendestellen finden

Eine Wendestelle braucht f″ = 0 mit Vorzeichenwechsel von f″. Beispiel $s(x)=\frac{x}{x^2+3}$: Es ist $s^{\prime }(x)=\frac{3-x^2}{(x^2+3{)}^2}$ und $s^{\prime \prime }(x)=\frac{2x(x^2-9)}{(x^2+3{)}^3}$. Der Zähler hat die Nullstellen x = 0, x = 3 und x = −3, und an allen drei Stellen wechselt er das Vorzeichen: drei Wendestellen. Zwei Warnungen. Bei r″ = 8/(x + 2)³ wechselt das Vorzeichen bei x = −2, aber das ist die Polstelle und liegt nicht im Definitionsmenge: keine Wendestelle. Und f″ = 0 ohne Vorzeichenwechsel genügt nicht.

Wenn Umformen nicht hilft

Für $g(x)=\frac{\cos x}{x}$ mit x > 0 ist $g^{\prime }(x)=-\frac{x\sin x+\cos x}{x^2}$. Die Gleichung $h(x)=x\sin x+\cos x=0$ lässt sich nicht nach x auflösen, weil x zugleich als Faktor und im Argument von sin und cos steht. Für cos x ≠ 0 bedeutet sie tan x = −1/x; der Schnittpunkt der beiden Kurven zeigt, wo ungefähr die Lösung liegt. Genauer geht es mit dem Vorzeichen des Zählers h: Es ist $h(2)\approx 1,40$ positiv und $h(3)\approx -0,57$ negativ. Weil h stetig ist und das Vorzeichen wechselt, liegt zwischen 2 und 3 eine Nullstelle. Bei gleichen Vorzeichen an den Rändern wüsste man nichts.

Intervalle halbieren

Beim Halbieren berechnet man die Mitte m und behält die Hälfte, an deren Rändern h verschiedene Vorzeichen hat. Start [2; 3]: $h(2,5)\approx 0,70$ ist positiv, die Nullstelle liegt in [2,5; 3]. Dann $h(2,75)\approx 0,13$, also in [2,75; 3]. Dann $h(2,875)\approx -0,21$, also in [2,75; 2,875]. Nach drei Schritten ist das Intervall 0,125 lang, und jeder weitere Schritt halbiert es. Es folgt x ≈ 2,8. Dort ist h = 0, und wegen g′ = −h/x² wechselt g′ von − nach +: ein Tiefpunkt. Wichtig: den Taschenrechner auf Bogenmaß (RAD) stellen.

Der Tangens

tan x = sin x / cos x ist ein Quotient. Mit u = sin x, v = cos x, u′ = cos x und v′ = −sin x folgt $$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)}{{\cos }^{2}x}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$$ Bei v′ = −sin x gilt Minus mal Minus gleich Plus. Der Bruch ist überall positiv: tan steigt auf jedem Ast, an der Stelle 0 mit der Steigung 1.

Der Quotient eˣ/x

Bei $f(x)=\frac{e^x}{x}$ ist u = eˣ und v = x, also $f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$. Da eˣ nie null wird, entscheidet x − 1: Für 0 < x < 1 fällt f, für x > 1 steigt f. Bei x = 1 liegt ein Tiefpunkt mit $f(1)=e\approx 2,72$, bei x = 0 eine Polstelle.

Die logistische Funktion

Die Funktion $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$ beschreibt begrenztes Wachstum. Die Quotientenregel gibt $f^{\prime }(x)=\frac{e^x(1+e^x)-e^x\cdot e^x}{(1+e^x{)}^2}=\frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}$, überall positiv: f steigt streng. Wegen 0 < eˣ < 1 + eˣ gilt 0 < f < 1. Für die zweite Ableitung ergibt sich $f^{\prime \prime }(x)=\frac{e^x(1-e^x)}{(1+e^x{)}^3}$: null bei x = 0, mit Vorzeichenwechsel von + nach −. Der Wendepunkt (0 | 0,5) ist die Stelle des stärksten Wachstums.