Rationale Zahlen addieren und subtrahieren

Die Pizza ist in 8 gleich große Stücke geschnitten. Lena isst 3 Stücke, Tom 2 Stücke. Zusammen sind das 5 Stücke, also fünf Achtel der Pizza. Man rechnet nicht mit „Stücken“, sondern mit Brüchen:

$$\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}$$

Brüche mit demselben Nenner heißen gleichnamig. Ihre Teile sind gleich groß, deshalb zählt man sie wie 3 Äpfel und 2 Äpfel: Die Zähler werden addiert, der Nenner nennt nur die Sorte der Teile und bleibt stehen.

Man sieht es auch an der Zahlengeraden: Jeder Schritt ist ein Achtel lang, Lena geht 3 Schritte, Tom 2 weitere – zusammen 5 Schritte. Die Schrittlänge, also der Nenner, ändert sich dabei nicht.

Beim Subtrahieren ist es genauso: $\frac{7}{8}-\frac{3}{8}=\frac{4}{8}$, gekürzt $\frac{1}{2}$, eine halbe Pizza bleibt übrig. Auch mehr als ein Ganzes ist möglich: $\frac{5}{8}+\frac{5}{8}=\frac{10}{8}$.

Vorsicht: Wer auch die Nenner addiert und $\frac{5}{16}$ schreibt, macht die Stücke plötzlich kleiner – dabei kommen nur mehr Stücke dazu.

Diese Regel ist der Kern für alles Weitere: Bei Brüchen mit verschiedenen Nennern muss man zuerst dafür sorgen, dass die Teile gleich groß sind. Wie das geht, klären die nächsten Abschnitte.

Zurück zur Frage vom Anfang: Lena isst 1/2, Tom 1/3. Der Freund rechnet $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1+1}{2+3}=\frac{2}{5}$. Das ist die Nenner-Falle: Zähler und Nenner werden getrennt addiert.

Erst raten: Ist 2/5 mehr oder weniger als Lenas 1/2?

Die Streifen zeigen es: 2/5 ist kleiner als 1/2. Das kann nicht stimmen, denn die Summe positiver Zahlen ist größer als jeder Summand. Diese Größenprobe dauert Sekunden und deckt die Falle sofort auf.

Der Grund: Hälften und Drittel sind verschieden große Teile, und man kann nur zählen, was gleich groß ist – 3 Äpfel und 2 Birnen sind keine „5 Äpfel“. Also schneidet man die Pizza so, dass beide Portionen aus gleich großen Stücken bestehen.

Bei Sechsteln passt es: $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$ und $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, zusammen $\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$. Auch Zwölftel würden passen (6/12 + 4/12 = 10/12 = 5/6); Sechstel sind nur die gröbste passende Teilung.

Die Falle lauert überall, wo Brüche mit verschiedenen Nennern stehen. Ein kurzer Blick auf die Größe genügt, um sie zu erkennen – und dann den richtigen Weg zu suchen: gleich große Teile herstellen. Wie man das systematisch macht, zeigt der nächste Abschnitt.

Auf den Hauptnenner erweitern

Bei ungleichnamigen Brüchen wie $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}$ macht man zuerst gleich große Teile. Dazu erweitert man jeden Bruch: Zähler und Nenner werden mit derselben Zahl multipliziert, der Wert bleibt. Am günstigsten wählt man den kleinsten gemeinsamen Nenner, den Hauptnenner – das kgV der Nenner, hier kgV(4, 6) = 12. Man findet ihn, indem man die Vielfachen des größeren Nenners durchprobiert: 6, 12 – und 12 ist auch ein Vielfaches von 4. Der Erweiterungsfaktor folgt aus der Division: 12 : 4 = 3 beim ersten, 12 : 6 = 2 beim zweiten Bruch.

$$\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{9}{12}+\frac{2}{12}=\frac{11}{12}$$

Subtrahieren und Kürzen

Beim Subtrahieren geht es genauso: $\frac{3}{4}-\frac{1}{6}=\frac{9}{12}-\frac{2}{12}=\frac{7}{12}$. Zum Schluss prüft man, ob sich das Ergebnis kürzen lässt: $\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$. Gekürzt wird die Summe, nicht die Summanden. Wichtig ist die Reihenfolge: erst gleichnamig machen, dann die Zähler rechnen, zuletzt kürzen. Zur Kontrolle: Bei 5/6 − 1/3 ist 1/3 = 2/6, also 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2 – und das ist kleiner als 5/6, wie es bei einer Differenz sein muss.

Die Größenprobe hilft auch hier: $\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}$ ist größer als 3/4. Wer nur die Nenner angleicht ($\frac{4}{12}$) oder wieder Zähler und Nenner getrennt addiert ($\frac{4}{10}$), landet im Fehler.

Eine gemischte Zahl wie $2\frac{3}{4}$ ist eine Summe: 2 Ganze und 3 Viertel. Auf der Zahlengeraden liegt sie hinter der 2, drei Viertelstriche weiter. Als unechter Bruch geschrieben: 2 Ganze sind 2 · 4 = 8 Viertel, dazu 3 Viertel, also $\frac{2\cdot 4+3}{4}=\frac{11}{4}$. Zurück geht es mit dem Teilen: 11 : 4 = 2 Rest 3. Ein Bruch, dessen Zähler mindestens so groß ist wie der Nenner, heißt unecht; er ist mindestens ein Ganzes.

Addieren: Ganze zu Ganzen, Brüche zu Brüchen, und ein Überschuss der Brüche wandert zu den Ganzen:

$$2\frac{3}{4}+1\frac{1}{2}=(2+1)+\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{4}\right)=3+\frac{5}{4}=4\frac{1}{4}$$

Subtrahieren: Bei $5\frac{1}{4}-2\frac{3}{4}$ kann man 3/4 nicht von 1/4 abziehen. Man entbündelt ein Ganzes:

$$5\frac{1}{4}-2\frac{3}{4}=4\frac{5}{4}-2\frac{3}{4}=2\frac{2}{4}=2\frac{1}{2}$$

Oder man rechnet mit unechten Brüchen: $\frac{21}{4}-\frac{11}{4}=\frac{10}{4}$. Nicht „die kleinere von der größeren“ Zahl abziehen (3/4 − 1/4)!

Welcher Weg ist besser? Bei kleinen Ganzen ist die getrennte Rechnung mit Übertrag übersichtlich; bei der Subtraktion sind unechte Brüche oft kürzer. Am Ende schreibt man das Ergebnis wieder als gemischte Zahl und kürzt den Bruchteil. Ein Beispiel aus dem Alltag: Ein Seil von 2 3/4 m und eines von 1 1/2 m ergeben zusammen 4 1/4 m.

Dezimalbrüche addiert und subtrahiert man wie ganze Zahlen – aber nur gleiche Stellenwerte gehören zusammen: Zehntel zu Zehnteln, Hundertstel zu Hundertsteln. Deshalb steht beim schriftlichen Rechnen Komma unter Komma, und fehlende Stellen füllt man mit Nullen auf: $3,45+12,7=3,45+12,70=16,15$.

Der Grund liegt im Stellenwert: 3,45 sind 3 Ganze, 4 Zehntel und 5 Hundertstel. Zehntel und Hundertstel sind verschieden große Teile, genau wie Halbe und Drittel. Wer die Ziffern rechtsbündig ohne Rücksicht auf das Komma untereinanderschreibt, addiert deshalb Zehntel zu Hundertsteln.

Beim Subtrahieren gilt dasselbe: $5,2-1,75=5,20-1,75=3,45$. Bei 0 − 5 an der Hundertstelstelle wird entbündelt – man zieht nicht die kleinere von der größeren Ziffer ab. Ein Überschlag fängt Fehler ab: 5 − 2 = 3 passt zu 3,45.

Im Kopf hilft das Zählen von Zehnteln, so wie man 7 Äpfel und 5 Äpfel zählt: $0,7+0,5$ sind 7 Zehntel und 5 Zehntel, also 12 Zehntel, das ist $1,2$. Oder man ergänzt zum nächsten Ganzen: 0,7 + 0,3 = 1, dazu noch 0,2.

Für negative Brüche und Dezimalbrüche gelten dieselben Regeln wie bei den ganzen Zahlen: Plus heißt einen Schritt nach rechts, Minus einen Schritt nach links. Bei gleichem Nenner rechnet man die Zähler mit Vorzeichen: $-\frac{3}{8}+\frac{5}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$. Vom Start −3/8 geht der Sprung 5/8 nach rechts, über die 0 hinaus zum Ziel.

Subtrahieren heißt, die Gegenzahl zu addieren: $\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$. Wer −1/4 abzieht, geht nach rechts. Bei ungleichen Nennern macht man zuerst gleichnamig: $-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{3}{6}+\frac{2}{6}=-\frac{1}{6}$. Vorzeichen und Rechenzeichen sind zwei verschiedene Dinge: In 1/2 − (−1/4) ist das erste Minus ein Rechenzeichen, das zweite ein Vorzeichen – die Klammer trennt beides.

Mit Dezimalbrüchen ist es genauso: $-0,7+0,3=-0,4$ und $0,3-0,8=-0,5$. Haben die Zahlen verschiedene Vorzeichen, zieht man die Beträge voneinander ab und behält das Vorzeichen der Zahl mit dem größeren Betrag. Am Zahlenstrahl prüft man jedes Ergebnis: Liegt das Ziel links von 0, muss es negativ sein. Ein Beispiel: Ein Konto steht bei −12,50 €. Zahlt man 8,30 € ein, bleibt −4,20 € – es sind immer noch Schulden, weil der Betrag 12,50 größer ist als 8,30.

Geschickt rechnen

Summanden darf man mit ihrem Vorzeichen umordnen und beliebig zusammenfassen (Kommutativ- und Assoziativgesetz). Das lohnt sich, wenn Paare ein Ganzes ergeben: $\frac{3}{8}+\frac{5}{7}+\frac{5}{8}=\left(\frac{3}{8}+\frac{5}{8}\right)+\frac{5}{7}=1+\frac{5}{7}$. Bei der Subtraktion darf man nicht einfach vertauschen: 7/8 − 3/8 ist nicht 3/8 − 7/8. Beim Umordnen sucht man Paare, die sich zu einem Ganzen oder zu einer glatten Zahl ergänzen: 3/8 und 5/8, 0,48 und 0,52 – gleiche Nenner, deren Zähler zusammen den Nenner ergeben.

Man wählt auch die günstigste Darstellung: $2\frac{1}{2}+0,75=2,5+0,75=3,25$, weil 1/2 = 0,5 endet. $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$ rechnet man dagegen mit Brüchen, denn 1/3 = 0,333… hat keinen endlichen Dezimalbruch.

Klammern

Klammern werden zuerst gerechnet. Steht ein Minus davor, gilt es für die ganze Klammer: $1-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$, nicht $1-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}$. Löst man die Klammer auf, dreht das Minus beide Vorzeichen um (1 − 1/4 − 1/8); wer nur das erste Glied umdreht, tappt in eine Falle.

Ein Term wie 7/8 − (1/4 + 1/8) + 1/2 hat drei Ebenen: zuerst die Klammer, dann die Subtraktion, zuletzt die Addition. Bei längeren Termen schreibt man deshalb eine fortlaufende Rechnung: jede Zeile ein Schritt, das Gleichheitszeichen nur zwischen Termen gleichen Werts:

$$\frac{7}{8}-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{2}=\frac{7}{8}-\frac{3}{8}+\frac{1}{2}=\frac{4}{8}+\frac{4}{8}=1$$

Vor jeder Rechnung lohnt ein Blick auf die Größenordnung – ein guter Überschlag ist so einfach, dass man ihn im Kopf rechnen kann. Beim Überschlag rundet man auf glatte Zahlen und rechnet im Kopf: $3\frac{7}{8}+5,1\approx 4+5=9$. Man rundet zur nächsten glatten Zahl, nicht einfach abwärts – 3 + 5 = 8 wäre schon zu klein.

Die genaue Rechnung $3,875+5,1=8,975$ passt zum Überschlag. Ein Ergebnis wie 89,75 oder 0,8975 fällt sofort durch: Das Komma ist verrutscht. Für Brüche rundet man auf 0, 1/2 oder 1: 5/9 ist etwas mehr als 1/2, 7/8 fast 1. Auch bei der Subtraktion hilft der Überschlag: 7,8 − 2,95 ≈ 8 − 3 = 5.

In Sachaufgaben entscheidet die Richtung: Soll ein Betrag sicher reichen, rundet man alle Zahlen auf – 2,95 + 4,10 + 1,89 ≤ 3 + 5 + 2 = 10, also reichen 10 €. Abgerundete Zahlen (2 + 4 + 1 = 7) liefern nur eine Untergrenze. Die Größenprobe aus dem Abschnitt „Die Nenner-Falle“ ist ein Sonderfall: Sie prüft nur, ob die Summe positiver Zahlen größer ist als jeder Summand.