Rationale Zahlen multiplizieren und dividieren

„Von“ heißt in der Mathematik mal. Drei Viertel von 12 Stücken Schokolade sind $\frac{3}{4}\cdot 12$: erst durch den Nenner teilen (12 : 4 = 3), dann mit dem Zähler malnehmen (3 · 3 = 9). Genauso ist es, wenn man einen Anteil von einem Anteil nimmt: Ida isst 3/4 von 1/2 einer Tafel – die Aufgabe heißt $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}$.

Das Rechteckmodell zeigt das Produkt zweier Brüche. Man zerlegt die Tafel in 4 Spalten und 2 Zeilen, das sind 4 · 2 = 8 gleich große Felder. Die Hälfte ist eine Zeile, drei Viertel sind drei Spalten. Doppelt gefärbt sind 3 · 1 = 3 der 8 Felder:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3\cdot 1}{4\cdot 2}=\frac{3}{8}$$

Gezählt werden die Felder, nicht die Spalten und Zeilen: Wer 3 + 1 von 4 + 2 rechnet, addiert, wo er multiplizieren muss. Das Ergebnis 3/8 ist kleiner als 1/2, denn vom Halben bleibt nur ein Teil.

Wer einen Bruch von einem Bruch nimmt, zerlegt das Ganze noch feiner: Aus Halben und Vierteln werden Achtel. Deshalb ist das Produkt kleiner als jeder der beiden Faktoren – ein Anteil von einem Anteil ist ein noch kleinerer Anteil. Bei jeder „von“-Aufgabe fragt man sich daher zuerst, in wie viele gleiche Teile zerlegt wird (Nenner) und wie viele davon genommen werden (Zähler).

Aus dem Rechteckmodell folgt die Regel: Die Zahl aller Felder ist das Produkt der Nenner, die Zahl der doppelt gefärbten Felder das Produkt der Zähler. Also Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner:

$$\frac{3}{4}\cdot \frac{2}{5}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 5}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$$

Liest man die beiden Brüche als Längen, ist das Rechteck 3/4 m breit und 2/5 m hoch. Ein Kästchen misst 1/4 m mal 1/5 m, also 1/20 m²; 3 · 2 = 6 Kästchen bilden die Fläche von 6/20 = 3/10 m².

Vorher kürzen. Bei 3/5 · 5/8 steht die 5 im Zähler und im Nenner; sie lässt sich über Kreuz kürzen: 3/5 · 5/8 = 3/8. Gekürzt wird immer ein Zähler mit einem Nenner, nie zwei Zähler oder zwei Nenner miteinander.

Gemischte Zahlen verwandelt man zuerst in einen Bruch: 1 3/5 = 8/5, also 1 3/5 · 5/4 = 8/5 · 5/4 = 2. Nur die Ganzen zu multiplizieren und den Bruch dranzuhängen, ist ein Fehler.

Anders als beim Addieren bleibt der Nenner nicht stehen: 3/4 · 2/5 hat weder den Nenner 4 noch 5, sondern 20. Zur Probe hilft ein Überschlag: 3/4 ist etwas weniger als 1, also muss das Produkt etwas kleiner sein als 2/5 – und 3/10 = 0,3 ist kleiner als 0,4.

Bruch durch eine Zahl teilen

Zwei Kinder teilen 3/5 eines Kuchens gerecht. Jedes Fünftel wird halbiert, es entstehen Zehntel: Jedes Kind bekommt $\frac{3}{5}:2=\frac{3}{10}$ des ganzen Kuchens. Verteilen heißt: Der Nenner wird mit der Zahl malgenommen, weil die Stücke kleiner werden. Lässt sich der Zähler teilen, geht es einfacher: 4/5 : 2 = 2/5. Zur Kontrolle setzt man die Teile wieder zusammen: 3/10 · 2 = 3/5.

Messen: Wie oft passt es hinein?

Geteilt kann auch messen bedeuten. Aus 2 Litern Saft werden Gläser zu je 1/3 Liter gefüllt. Jeder Liter ergibt 3 Gläser, zwei Liter ergeben 2 · 3 = 6 Gläser: $2:\frac{1}{3}=6$. Es geht also um die Frage, wie oft das Stück in das Ganze passt – 6 : 1/2 ist deshalb nicht 3, sondern 12. Beim Verteilen wird das Ergebnis kleiner als der Bruch, beim Messen kann es viel größer werden. Vor jeder Division fragt man sich also: Wird verteilt oder gemessen?

Bruch durch Bruch

Ist auch das Ganze ein Bruch, macht man zuerst die Stücke gleich groß: 3/5 = 6/10. Dann fragt man nur noch, wie viele Zehntel in 6 Zehnteln stecken: $\frac{3}{5}:\frac{1}{10}=\frac{6}{10}:\frac{1}{10}=6:1=6$. Bei gleichen Stücken zählt man einfach: Der Quotient ist Zähler durch Zähler. Das Ergebnis muss nicht ganzzahlig sein: 7/10 : 1/5 = 7/10 : 2/10 = 7 : 2 = 3 1/2. Wer stattdessen die Nenner multipliziert oder Zähler und Nenner getrennt teilt, landet bei Ergebnissen, die zur Anschauung nicht passen – 1/8 passt ja mehrfach in 3/4, und 3/32 wäre viel kleiner als 3/4.

Wie oft passt 2/5 in ein Ganzes? Der Streifen zeigt: zweieinhalbmal, denn 5 Fünftel ergeben das Ganze und ein Stück ist 2 Fünftel lang. Diese Zahl 5/2 heißt Kehrwert von 2/5: Zähler und Nenner tauschen den Platz, und das Produkt beider Brüche ist 1.

Passt das Stück c/d genau d/c-mal in ein Ganzes, dann passt es in a Ganze a · d/c-mal, und ebenso oft in jede andere Zahl a, auch in einen Bruch. Also gilt: Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt. Gekehrt wird nur der Divisor, der zweite Bruch:

$$\frac{5}{8}:\frac{3}{4}=\frac{5}{8}\cdot \frac{4}{3}=\frac{20}{24}=\frac{5}{6}$$

Umkehrprobe: Quotient mal Divisor muss den Dividenden ergeben. Hier: $\frac{5}{6}\cdot \frac{3}{4}=\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$ – es stimmt.

Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch: 5 = 5/1 hat den Kehrwert 1/5. Die Null hat keinen Kehrwert, denn kein Produkt 0 · x ergibt 1. Gemischte Zahlen verwandelt man vorher in einen Bruch: 1 3/4 : 7/8 = 7/4 · 8/7 = 2. Typische Fehler sind, den ersten Bruch zu kehren oder beide.

Mit natürlichen Zahlen macht Malnehmen größer und Teilen kleiner – bei Brüchen stimmt das nicht mehr. Vom Start 4 aus ist $4\cdot \frac{1}{2}=2$ kleiner, aber $4:\frac{1}{2}=8$ größer, denn in 4 Ganze passen 8 Halbe.

Entscheidend ist, ob der Faktor bzw. Divisor kleiner oder größer als 1 ist. Mal mit einer Zahl kleiner als 1 verkleinert, mit einer Zahl größer als 1 vergrößert. Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 vergrößert, durch eine Zahl größer als 1 verkleinert. Bei 1 ändert sich nichts.

Daraus wird ein Größencheck vor dem Rechnen: Nina rechnet 15 : 3/5 und erhält 9. Der Divisor 3/5 ist kleiner als 1, also muss das Ergebnis größer als 15 sein. Richtig ist 15 · 5/3 = 25. Ebenso beim Messen: Aus einem 9 m langen Band lassen sich mehr als 9 Stücke von je 3/4 m schneiden, nämlich 9 : 3/4 = 12, weil jedes Stück kürzer als ein Meter ist. Ein Ergebnis, das in die falsche Richtung zeigt, verrät den Fehler sofort.

Dezimalbrüche sind Brüche mit dem Nenner 10, 100, 1000 …. Deshalb gilt $0,7\cdot 0,8=\frac{7}{10}\cdot \frac{8}{10}=\frac{56}{100}=0,56$. In der Praxis rechnet man erst ohne Komma (7 · 8 = 56) und setzt das Komma so, dass das Produkt so viele Nachkommastellen hat wie beide Faktoren zusammen: 1 + 1 = 2.

Mal 10, 100, 1000 verschiebt jede Ziffer nach links, mal 0,1, 0,01 nach rechts. Die Ziffern selbst bleiben, nur ihr Stellenwert ändert sich; „Nullen anhängen“ ist kein Rechenweg: 1,3 · 100 = 130, aber 2,5 · 10 ist nicht 2,50. Mal 0,01 ist dasselbe wie geteilt durch 100: 8,2 · 0,01 = 0,082.

Dividieren: Der Quotient bleibt gleich, wenn man beide Zahlen mit derselben Zehnerpotenz malnimmt. Um den Divisor kommafrei zu machen, verschiebt man das Komma in beiden Zahlen: 6,3 : 0,7 = 63 : 7 = 9. Wer nur das Komma des Divisors verschiebt, erhält 6,3 : 7 = 0,9 – zu klein. Auch hier hilft der Größencheck: Ein Divisor kleiner als 1 muss das Ergebnis vergrößern.

Potenzen von Brüchen

Eine Potenz ist ein Produkt aus gleichen Faktoren: Der Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Also ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{16}$ – und nicht 4 · 1/2 = 2. Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner potenziert: ${\left(\frac{4}{5}\right)}^2=\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}$. Bei Dezimalbrüchen zählt man die Nachkommastellen: 0,3² = 0,09. Eine Basis kleiner als 1 liefert mit wachsendem Exponenten immer kleinere Werte: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16.

Negative Exponenten

Was kommt nach 2⁰ = 1? Im Muster 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1 wird bei jedem Schritt nach unten halbiert – also ist 2⁻¹ = 1/2 und 2⁻² = 1/4. Allgemein gilt $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$, etwa $3^{-2}=\frac{1}{9}$. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, sondern führt zum Bruch mit Zähler 1. Bei den Zehnerpotenzen zeigt das Muster 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1 dasselbe: Jeder Schritt nach unten verschiebt das Komma um eine Stelle nach links.

Bei Zehnerpotenzen ist das besonders handlich: $10^{-4}=\frac{1}{10^4}=0,0001$ hat vier Nachkommastellen, die 1 steht an der vierten. So schreibt man sehr kleine Größen kurz auf.

Beim Malnehmen darf man Faktoren vertauschen und beliebig klammern. Damit bildet man glatte Paare: $2,5\cdot 9\cdot 4=(2,5\cdot 4)\cdot 9=10\cdot 9=90$. Gute Paare sind Zehnerpaare und Kehrwerte: $\frac{5}{6}\cdot 7\cdot \frac{6}{5}=\left(\frac{5}{6}\cdot \frac{6}{5}\right)\cdot 7=7$.

Dazu wählt man die günstigste Form. 0,25 · 48 rechnet man als „ein Viertel von 48“: 48 : 4 = 12. Brüche eignen sich, wenn ein Anteil einer ganzen Zahl gesucht ist; Dezimalbrüche, wenn Kommastellen gezählt werden. Der Bruch 1/3 wird aber nie durch 0,33 ersetzt: 1/3 · 90 = 30, aber 0,33 · 90 = 29,7. Ein Bruch mit kleinem Nenner wie 1/4, 3/4 oder 1/8 lässt sich im Kopf gut als „Teil von“ rechnen; sind alle Faktoren endliche Dezimalbrüche, zählt man besser die Kommastellen. Am Ende prüft man mit dem Größencheck, ob das Ergebnis die richtige Größenordnung hat.

Bei der Division gilt das nicht: 48 : 6 : 2 = 4, aber 48 : (6 : 2) = 16. Erst als Produkt 48 · 1/6 · 1/2 darf man wieder ordnen.