Sekanten und Tangenten

Wir beginnen mit einer Funktion — hier $f(x)=0,5(x^3-3x^2+2x+1)$. Was genau diese Funktion beschreibt, spielt für uns gerade keine Rolle. Wichtig ist nur: Zu jedem x-Wert liefert sie einen y-Wert, und der Graph zeigt diesen Zusammenhang als Kurve.

Diese eine Kurve begleitet dich durch den ganzen Kurs; die Figur unten zeigt sie allein. Sie ist nicht überall gleich steil: Links steigt sie an, in der Mitte verläuft sie fast waagerecht und sinkt sogar ein wenig, rechts wird sie immer steiler. Mit dem Auge kannst du Stellen vergleichen, aber eine Zahl für die Steilheit hast du noch nicht. Die Frage der nächsten Abschnitte lautet: Wie steil ist der Graph an einer bestimmten Stelle — und wie misst man das?

Wähle eine Stelle $x_0$ auf der x-Achse. Die Funktion liefert den zugehörigen Wert $y_0=f(x_0)$. Der Punkt auf dem Graphen ist also $(x_0\mid y_0)$.

Die beiden Zahlen haben verschiedene Rollen: $x_0$ sagt, wo du auf der x-Achse stehst, $y_0$ sagt, wie hoch der Graph dort liegt. Rechnerisch setzt du $x_0$ in den Term ein: Aus $f(2)=0,5\cdot (8-12+4+1)=0,5$ folgt der Punkt $(2\mid 0,5)$. Vertausche die Zahlen nicht — $(0,5\mid 2)$ wäre ein ganz anderer Punkt.

Bewege den Regler und beobachte: Für jedes $x_0$ gibt es genau ein $y_0$. Die Wert-Chips unter der Figur zeigen die aktuellen Werte von $x_0$ und $y_0$. Bestimme $f(x_0)$ für $x_0=0;0,5;1$ und $2$.

Am Graphen liest du $f(x_0)$ ab: von $x_0$ senkrecht nach oben bis zur Kurve, dann waagerecht zur y-Achse. Die Höhe der Kurve über $x_0$ ist der Funktionswert. Bei negativen Stellen setzt du beim Rechnen Klammern: Für $g(x)=x^2-2x$ ist $g(-1)=(-1{)}^2-2\cdot (-1)=1+2=3$.

Jetzt wählen wir einen zweiten Punkt auf dem Graphen. Auf der Kurve liegen nun zwei Punkte: $(x_0\mid f(x_0))$ — der rote Punkt und $(x_1\mid f(x_1))$ — der orange Punkt. Beide Punkte kannst du unabhängig voneinander über ihre Regler verschieben.

Beobachte: Die Koordinaten der Punkte ändern sich unabhängig voneinander in den Kästen darunter.

Zwei Punkte bedeuten zwei Stellen und zwei Höhen. Für $x_0=1$ und $x_1=3$ sind es $P_0(1\mid 0,5)$ und $P_1(3\mid 3,5)$: Der zweite Punkt liegt 2 weiter rechts und 3 höher. Wie diese beiden Unterschiede zusammenhängen, klären die nächsten Abschnitte. Achte darauf, dass jede Stelle ihren eigenen Funktionswert mitbringt: Wandert nur $x_1$, ändert sich nur der zweite Punkt, der erste bleibt stehen.

Die beiden Punkte haben einen Abstand auf der x-Achse. Diesen Abstand nennen wir $\Delta x$ (gesprochen: „Delta x“). Δ ist das griechische D, für Differenz: Δx ist kein Produkt aus Δ und x, sondern ein einziges Zeichen für den Unterschied zweier Stellen. Den Namen kennst du vom Steigungsdreieck aus Klasse 8, dessen Breite ebenso heißt. Es gilt: $x_1$ $=$ $x_0$ $+$ $\Delta x$.

Bewege die beiden Regler und beobachte den $\Delta x$-Chip: Der Abstand der beiden Punkte ist einfach $x_1$ minus $x_0$. Der Regler $x_0$ verschiebt beide Punkte gemeinsam, und Δx bleibt gleich; der Regler $\Delta x$ verschiebt nur den zweiten Punkt, und Δx ändert sich.

Damit hat der zweite Punkt die Koordinaten $(x_0+\Delta x\mid f(x_0+\Delta x))$: Erst rechnest du die Stelle $x_1$ aus, dann setzt du sie in den Term ein. Für $x_0=1$ und $\Delta x=2$ ist $x_1=3$ und $f(3)=3,5$. Nicht verwechseln: $f(x_0+\Delta x)$ ist nicht $f(x_0)+\Delta x$ — hier wäre das $0,5+2=2,5$, der Graph liegt aber bei 3,5. Die beiden Chips $f(x_1)$ und $f(x_0)+\Delta x$ zeigen den Unterschied für jede Lage der Punkte.

Legen wir eine Gerade durch die beiden Punkte. Diese Gerade heißt Sekante (vom lateinischen secare — schneiden). Die Sekante schneidet den Graphen in den Punkten $(x_0\mid f(x_0))$ und $(x_1\mid f(x_1))$.

Achtung: Die Sekante ist eine ganze Gerade, nicht nur die Strecke zwischen den beiden Punkten. Sie darf den Graphen noch ein weiteres Mal treffen: Durch $(0\mid 0,5)$ und $(2\mid 0,5)$ verläuft die waagerechte Gerade $y=0,5$, und sie geht auch durch den Graphenpunkt $(1\mid 0,5)$.

Verschiebe die Punkte und beobachte, wie sich die Sekante dreht.

Halte P₀ fest und lass nur P₁ wandern: Die Sekante geht immer durch P₀ und dreht sich um diesen Punkt. Ob sie steigt oder fällt, verrät die Höhe von P₁: Liegt der Punkt rechts von P₀ höher, steigt die Sekante, liegt er tiefer, fällt sie, und auf gleicher Höhe ist sie waagerecht. Der Graph dazwischen zählt nicht: Für $x_0=1$ und $x_1=2$ sinkt er erst und steigt dann wieder, die Sekante ist trotzdem waagerecht.

Steigt, fällt, waagerecht: Das sind drei Wörter, noch keine Zahl. Zwei steigende Sekanten kannst du so nicht vergleichen. Wie steil ist eine Sekante?

Die Sekante ist eine Gerade, und für die Steilheit einer Geraden kennst du aus Klasse 8 eine Zahl. Jede Gerade lässt sich durch zwei Parameter beschreiben: die Steigung $m$ und den y-Achsenabschnitt $t$. Die Gleichung lautet:

Nimm die Gerade aus Klasse 8, $y=2x+1$. Sie trifft die y-Achse bei $(0\mid 1)$, und ihr Steigungsdreieck (grün in der Figur) reicht 1 nach rechts und 2 nach oben: 1 nach rechts heißt m nach oben. Wie groß das Dreieck ist, spielt keine Rolle: Von $A(1\mid 3)$ aus heißt 2 nach rechts 4 nach oben, bis $B(3\mid 7)$, und $4:2=2$.

Verändere erst den y-Achsenabschnitt, dann die Steigung, und beobachte: Wo schneidet die Gerade den Graphen? Die Startgerade trifft ihn nur ein einziges Mal, rechts oben außerhalb des Bildes bei $x\approx 3,6$. Nicht jede Gerade ist eine Sekante — dazu muss sie den Graphen in mindestens zwei Punkten treffen.

Im zweiten Bild bestimmen die Punkte die Gerade: Verschiebe P₀ und ändere $\Delta x$, und lies m und t der Sekante an den Chips ab. Bei $x_0=1$ und $\Delta x=2$ zeigt der m-Chip 1,5. Woher kommt t? $P_0(1\mid 0,5)$ liegt auf der Geraden, also gilt $0,5=1,5\cdot 1+t$. Den Punkt einsetzen und nach t auflösen ergibt $t=0,5-1,5=-1$, genau der Wert des t-Chips. Nicht verwechseln: t ist nicht die Höhe von P₀ (0,5), sondern die Höhe der Geraden über $x=0$.

So bekommst du t aus einem Punkt und der Steigung, für jeden Punkt $(x_0\mid y_0)$ der Geraden:

Die Chips $y_0$ und $m\cdot x_0$ unter dem zweiten Bild zeigen die beiden Zahlen, die der t-Chip voneinander abzieht. Die Sekante lautet $y=1,5\cdot x-1$. Die Punktprobe bestätigt es: Für $x=3$ gibt sie $y=1,5\cdot 3-1=3,5$, und genau dort liegt $P_1(3\mid 3,5)$.

Offen ist noch, wie der Chip die 1,5 aus den beiden Punkten gewinnt.

Sekantensteigung

Das Steigungsdreieck aus dem vorigen Abschnitt passt auch zwischen zwei Punkte der Kurve (grün in der Figur): Von $P_0(1\mid 0,5)$ geht es $\Delta x=3-1=2$ nach rechts bis unter $P_1(3\mid 3,5)$ und dann senkrecht nach oben bis zu P₁. Diese senkrechte Strecke ist der Höhenunterschied der beiden Punkte, $3,5-0,5=3$. Wir nennen ihn $\Delta y$ (gesprochen: „Delta y“), wie die Höhe des Steigungsdreiecks in Klasse 8.

Die Steigung der Sekante ist wie bei jeder Geraden die Höhe des Steigungsdreiecks durch seine Breite: $m=\frac{3}{2}=1,5$, die Zahl des m-Chips im vorigen Abschnitt. Beide Differenzen bildest du in derselben Reihenfolge, Ende minus Anfang. Allgemein steht oben die Höhe von P₁ minus die Höhe von P₀, unten $\Delta x$ $=$ $x_1$ $-$ $x_0$:

Das ist der Differenzenquotient. Er misst die durchschnittliche Steigung der Funktion über das Intervall $[x_0,x_0+\Delta x]$. Der Quotient vergleicht nur die beiden Endpunkte: Für $x_0=1$ und $\Delta x=1$ ist $\Delta y=0$, die Sekante also waagerecht, obwohl der Graph dazwischen erst fällt und dann wieder steigt.

Mittlere Änderungsrate

Die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos vom Anfang (160 km in 2 Stunden = 80 km/h) ist ein Differenzenquotient. Im Sachzusammenhang heißt der Differenzenquotient mittlere Änderungsrate; seine Einheit ist „Einheit von y pro Einheit von x“, hier km/h.

Das Auto fahre nach $s(t)=20t^2+40t$ (t in Stunden, s in Kilometern): Nach 1 h hat es $s(1)=60$ km zurückgelegt, nach 2 h $s(2)=160$ km. In der ersten Stunde sind das im Mittel 60 km/h, in der zweiten $\frac{160-60}{1}=100$ km/h. Über beide Stunden gerechnet sind es 80 km/h — das heißt nicht, dass das Auto die ganze Zeit 80 km/h fuhr. Auch die Steigung einer Straße ist so ein Mittel: 120 m Höhengewinn auf 2000 m waagerechter Entfernung sind $\frac{120}{2000}=6\%$, an einzelnen Stellen kann sie steiler oder flacher sein.

Im Bild fährt das Auto auf der s-Achse mit: Die beiden Punkte dort sind seine Orte zu den Zeiten $t_0$ und $t_0+\Delta t$, die grüne Strecke zwischen ihnen ist der Weg $\Delta s$, den es dabei fährt, das $\Delta y$ des Autos. $\Delta s$ geteilt durch $\Delta t$ zeigt der Chip $\bar{v}$.

Stell $t_0=1$ ein und mach Δt kleiner: Bei $\Delta t=1$ h zeigt der Chip 100 km/h, bei $\Delta t=0,5$ h noch 90 km/h. Jedes Δt gibt ein anderes Mittel. Der Tacho zeigt im Augenblick $t_0=1$ aber nur eine Zahl. Wie schnell fährt das Auto genau jetzt?

Sekante und Tangente

Was passiert, wenn du $\Delta x$ immer kleiner machst? Der zweite Punkt rückt immer näher an den ersten, und die Sekante dreht sich um P₀.

Ein Beispiel: P₀ liegt bei $x_0=2$ fest, und P₁ rückt näher heran. Bei $\Delta x=1$ hat die Sekante die Steigung 3, bei $\Delta x=\frac{1}{2}$ die Steigung 1,875 und bei $\Delta x=\frac{1}{4}$ die Steigung 1,40625. Die Figur zeigt die drei Sekanten nebeneinander und dazu eine violette Gerade durch P₀, die du mit dem Regler m drehst. Dreh sie so, dass sie die Reihe der drei Sekanten fortsetzt.

Bei $m=1$ geschieht etwas Sichtbares. Für jede andere Steigung schneidet die violette Gerade den Graphen in P₀: Links und rechts von P₀ liegt die Kurve auf verschiedenen Seiten. Bei $m=1$ liegt die Kurve um P₀ herum auf beiden Seiten über ihr. Die Rechnung bestätigt den Wert: Noch kleinere $\Delta x$ lassen sich nicht mehr getrennt zeichnen, aber ausrechnen. Bei $\Delta x=0,1$ ist die Steigung 1,155, bei $\Delta x=0,01$ nur noch 1,01505. Die Steigungen laufen auf 1 zu. Dabei wird Δx nie ganz null: Fielen P₁ und P₀ zusammen, legten die beiden Punkte keine Gerade mehr fest.

Diese Gerade heißt Tangente an den Graphen im Punkt P₀. Den Namen kennst du vom Kreis: Dort ist die Tangente die Gerade, die den Kreis in genau einem Punkt berührt. Am Graphen ist sie die Gerade, der die Sekanten durch P₀ zustreben, wenn $\Delta x$ immer kleiner wird.

Differentialquotient

Diesen Übergang, $\Delta x$ immer kleiner werden lassen, ohne je $\Delta x=0$ einzusetzen, nennt man Grenzübergang. Die Zahl, auf die die Steigungen zulaufen, heißt Grenzwert, lateinisch Limes, kurz lim. Im Grenzfall wird die Sekante zur Tangente — der Geraden, die den Graphen bei P₀ berührt. Ihre Steigung heißt Differentialquotient oder Ableitung von f an der Stelle $x_0$ und wird so geschrieben:

Gelesen: „f Strich von x₀ ist der Limes für Δx gegen 0 des Differenzenquotienten.“ Der Quotient wird für immer kleinere Δx ausgerechnet, Δx = 0 wird nie eingesetzt. Für die Kurve oben ist $f^{\prime }(2)=1$. Die Kurzschreibweise $f^{\prime }(x_0)$ steht also für die Steigung der Tangente an der Stelle $x_0$. Nicht verwechseln: Der Strich macht aus dem Funktionswert eine Steigung. $f(2)=0,5$ ist die Höhe von P₀, $f^{\prime }(2)=1$ die Steigung der Tangente dort.

Vorsicht bei „berührt“: Anders als beim Kreis beschreibt das nur die Lage bei P₀. Die Tangente darf den Graphen an einer anderen Stelle noch einmal schneiden. Entscheidend ist die Grenzlage der Sekanten, nicht die Zahl der gemeinsamen Punkte.

Grenzwert ausrechnen

Nimm für einen Moment $f(x)=x^2$ statt der Kurve von oben. An der Stelle $x_0=2$ lässt sich der Grenzübergang ausrechnen. Statt $\Delta x$ schreibt man oft $h$. Den Zähler multiplizierst du mit der ersten binomischen Formel $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$ aus: $(2+h{)}^2=4+4h+h^2$.

Erst nach dem Kürzen lässt du $h$ gegen 0 gehen: $4+h\to 4$, also $f^{\prime }(2)=4$. Setzt du $h=0$ sofort ein, entsteht $\frac{0}{0}$ — nicht definiert.

Zurück zur Kurve des Kurses, $f(x)=0,5(x^3-3x^2+2x+1)$, an der Stelle 2. Dieselbe Rechnung, Ausmultiplizieren und dann $h$ kürzen, ergibt mit $f(2)=0,5$:

Für $h=1$ gibt der Term 3, für $h=0,5$ gibt er 1,875: die Sekantensteigungen vom Anfang des Abschnitts. Für $h\to 0$ bleibt 1, also $f^{\prime }(2)=1$, die Zahl, auf die die Sekanten in der Figur zuliefen und bei der sich die violette Gerade anschmiegte. Zurück zum Auto vom Anfang, $s(t)=20t^2+40t$, im Augenblick $t_0=1$. Dieselbe Rechnung ergibt

Für $h=1$ gibt der Term 100 km/h, für $h=0,5$ gibt er 90 km/h, die beiden Mittel aus dem vorigen Abschnitt. Für $h\to 0$ bleibt 80: Genau bei $t=1$ h fährt das Auto 80 km/h. Diese Zahl zeigt der Tacho in diesem Augenblick, und das ist die Antwort auf die Frage vom Anfang.

Was dieser Kurs weglässt: Δx war immer positiv, den Grenzwert hast du abgelesen und ausgerechnet, aber nicht formal definiert, und jede Ableitung kostete eine eigene h-Rechnung, für jede Stelle neu. Der nächste Kurs, Die Ableitungsfunktion, macht dieselbe Rechnung an jeder Stelle auf einmal und liest den Tacho so für jeden Augenblick ab.