Sinus- und Kosinusfunktion

Bogen statt Grad

Die 360 Grad sind eine Einteilung, die sich Menschen einmal ausgedacht haben. Es geht auch ohne: Wir legen um den Scheitel des Winkels einen Kreis mit Radius 1, den Einheitskreis, und messen, wie lang der Kreisbogen ist, den der Winkel aus ihm herausschneidet. Diese Länge heißt Bogenmaß x des Winkels. Der Einheitskreis hat den Umfang $2\pi \approx 6,28$. Deshalb hat der Vollwinkel das Bogenmaß $2\pi$, der gestreckte Winkel $\pi$ und der rechte Winkel $\frac{\pi }{2}$. Weil das Bogenmaß eine Länge ist, ist es eine gewöhnliche Zahl, ganz ohne Gradzeichen.

Ein Radiant

Ein Bogen der Länge 1 ist genau so lang wie der Radius. Der zugehörige Winkel heißt ein Radiant (1 rad). Weil zum Vollwinkel 360° der Bogen 2π gehört, misst 1 rad genau 360° : 2π ≈ 57,3°. Auf jedem Kreis gehört zu demselben Winkel dasselbe Verhältnis aus Bogen b und Radius r: $x=\frac{b}{r}$. Auf einem Kreis mit r = 3 cm gehört zu einem Bogen von 6 cm also der Winkel $x=6:3=2$. Die Einheit rad lässt man meist weg: „x = 2“ meint 2 rad, nicht 2°. Das Bogenmaß hat also den Vorteil, dass Winkel und Länge dieselbe Art Zahl sind, und genau darum kann man später jede reelle Zahl als Winkel lesen.

Der Vollwinkel hat 360° und das Bogenmaß 2π, der gestreckte Winkel 180° und π. Beide Maße wachsen im gleichen Verhältnis: $\frac{\alpha }{360°}=\frac{x}{2\pi }$. Daraus folgen zwei Umrechnungen. Von Grad ins Bogenmaß: $x=\alpha \cdot \frac{\pi }{180°}$, zum Beispiel $60°\cdot \frac{\pi }{180°}=\frac{\pi }{3}\approx 1,05$. Vom Bogenmaß in Grad: $\alpha =x\cdot \frac{180°}{\pi }$, zum Beispiel $2\cdot \frac{180°}{\pi }\approx 114,6°$. Vier Winkel merkt man sich am besten als Brüche von π: 30° = π⁠/⁠6, 45° = π⁠/⁠4, 60° = π⁠/⁠3 und 90° = π⁠/⁠2. Sie sind Bruchteile des Vollwinkels: 30° ist ein Zwölftel davon, also 2π : 12 = π⁠/⁠6. Aus ihnen bekommt man weitere Winkel ohne Rechner, zum Beispiel 135° = 3 · 45° = 3π⁠/⁠4. Dabei lässt man π als Symbol stehen und rechnet nur mit dem Bruch.

Der Taschenrechner kennt beide Maße und fragt über den Modus: DEG liest die Eingabe als Grad, RAD als Bogenmaß. Dieselbe Eingabe $\sin 30$ liefert im DEG-Modus 0,5, im RAD-Modus aber −⁠0,99, denn dort sind es 30 Radiant, knapp fünf Umläufe.

Werte am Kreis ablesen

Trage vom Punkt (1 | 0) aus den Bogen x gegen den Uhrzeigersinn ab. Der Endpunkt P hat die Koordinaten $(\cos x\mid \sin x)$: die x-Koordinate ist cos x, die y-Koordinate sin x. Das gilt für jede Zahl x, nicht nur für Winkel im Dreieck. Das Vorzeichen liest man aus dem Quadranten: im ersten (0 < x < π⁠/⁠2) sind beide positiv, im zweiten (π⁠/⁠2 < x < π) ist nur sin positiv, im dritten (π < x < 3π⁠/⁠2) sind beide negativ, im vierten ist nur cos positiv. Bei x = 2,4 liegt P im zweiten Quadranten: cos 2,4 ≈ −⁠0,74 und sin 2,4 ≈ 0,68.

Zurückführen auf einen Umlauf

Nach einem vollen Umlauf steht P wieder am selben Ort: $\sin (x+2\pi )=\sin x$ und $\cos (x+2\pi )=\cos x$. Für x = 7 zieht man einmal 2π ab, 7 − 2π ≈ 0,72, und erhält sin 7 = sin 0,72 ≈ 0,66. Abgezogen wird 2π, nicht 360. Negative Zahlen laufen im Uhrzeigersinn: −x liegt spiegelbildlich zu x an der x-Achse, deshalb $\cos (-x)=\cos x$ und $\sin (-x)=-\sin x$.

Zwei Winkel, ein Wert

Fragt man umgekehrt nach x mit $\sin x=0,56$, gibt es zwischen 0 und 2π zwei Lösungen: Auf einer waagerechten Höhe liegen zwei Punkte des Kreises, spiegelbildlich zur y-Achse. Zu x gehört also auch $\pi -x$. Für einen Kosinuswert liegen die zwei Punkte spiegelbildlich zur x-Achse: x und $2\pi -x$. Der Taschenrechner (RAD) nennt nur die erste Lösung, die zweite ergänzt man selbst.

Der Kreis wird ausgerollt

Wir tragen jeden Bogen x als Strecke auf der x-Achse ab und zeichnen darüber die Höhe des Kreispunkts P: den Punkt $Q(x\mid \sin x)$. Läuft P einmal um den Kreis, zeichnet Q eine Welle, den Graphen der Sinusfunktion $f(x)=\sin x$. Nach dem Bogen 2π ist P wieder am Start und alles beginnt von vorn: Die Funktion hat die Periode 2π, und ihre Werte liegen immer zwischen −⁠1 und 1. Die Nullstellen sind $x=k\pi$ mit ganzzahligem k, der Hochpunkt bei π⁠/⁠2 hat den Wert 1, der Tiefpunkt bei 3π⁠/⁠2 den Wert −⁠1.

Sinus und Kosinus im Vergleich

Der Kosinus nimmt die x-Koordinate von P. Sein Graph beginnt deshalb bei $\cos 0=1$, hat aber denselben Verlauf wie der Sinus: $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$. Der Kosinusgraph ist der um π⁠/⁠2 nach links verschobene Sinusgraph, denn der Sinus erreicht seinen Hochpunkt π⁠/⁠2 später als der Kosinus. Aus den Regeln des vorigen Abschnitts folgt noch eine Symmetrie: Wegen $\sin (-x)=-\sin x$ liegt der Sinusgraph punktsymmetrisch zum Ursprung, wegen $\cos (-x)=\cos x$ der Kosinusgraph achsensymmetrisch zur y-Achse.

Die Amplitude a

Ein Faktor a in $f(x)=a\cdot \sin x$ streckt den Graphen in y-Richtung: Alle Höhen werden mit a multipliziert. Die Amplitude ist $|a|$, der Abstand vom Hochpunkt zur x-Achse, um die die Welle schwingt, nicht die ganze Höhe von Tief- zu Hochpunkt. Bei $3\sin x$ liegen die Werte zwischen −⁠3 und 3; die Periode bleibt 2π. Ist a negativ, wird der Graph an der x-Achse gespiegelt, und die Amplitude ist dann der Betrag |a|, denn ein Abstand ist nie negativ: $-2\sin x$ beginnt nicht mit einem Anstieg, sondern mit einem Abstieg.

Die Mittellinie d

Ein Summand d in $f(x)=a\sin x+d$ verschiebt den ganzen Graphen um d nach oben, bei negativem d nach unten. Die Wellen schwingen jetzt um die Mittellinie $y=d$. Hochpunkt und Tiefpunkt liegen bei $d+|a|$ und $d-|a|$. Bei $1,5\sin x+1$ laufen die Werte von −⁠0,5 bis 2,5, und die Amplitude ist weiterhin 1,5: d ändert die Lage der Welle, nicht ihre Höhe. Der Wertebereich ist das Intervall von d − |a| bis d + |a|.

Die Periode b

In $f(x)=\sin (b\cdot x)$ läuft das Argument b·x doppelt so schnell durch die Werte von 0 bis 2π, wenn b = 2 ist. Die volle Welle ist zu Ende, sobald b·x den Wert 2π erreicht, also bei $x=\frac{2\pi }{b}$. Die Periode ist $p=\frac{2\pi }{b}$. Bei b = 2 ist p = π, bei b = 0,5 ist p = 4π. Ein größeres b heißt eine kürzere Periode: Die Welle wird gestaucht. Ist b kleiner als 1, wird sie gestreckt.

Die Verschiebung c

In $f(x)=\sin (b(x+c))$ verschiebt c den Graphen um |c|: für c > 0 nach links, für c < 0 nach rechts. Der Grund: Die Klammer ist null bei x = −c, dort steigt die Welle durch die Mittellinie. Bei $\sin (x+1)$ liegt diese Stelle bei x = −⁠1, also eine Einheit links vom Ursprung. Steht die Zahl nicht in einer Klammer, klammert man zuerst b aus: $\sin (2x+\pi )=\sin (2(x+\frac{\pi }{2}))$ verschiebt um π⁠/⁠2, nicht um π.

a und d ablesen

Um zu einem Graphen den Term $a\sin (b(x+c))+d$ zu finden, liest man zuerst die Extremwerte ab. Der Hochpunkt liegt bei y = Max, der Tiefpunkt bei y = Min. Dann ist die Amplitude die halbe Schwankung und die Mittellinie der Mittelwert: $a=\frac{\text{Max}-\text{Min}}{2}$ und $d=\frac{\text{Max}+\text{Min}}{2}$. Im Bild ist Max = 4 und Min = −⁠2, also a = 3 und d = 1. Die Zahl a ist nicht der größte Wert, denn der enthält schon d.

b und c ablesen

Die Periode p ist der Abstand zweier benachbarter Hochpunkte, hier von H bei π⁠/⁠2 bis H′ bei 3π⁠/⁠2, also p = π. Daraus folgt $b=\frac{2\pi }{p}=2$. Für die Verschiebung sucht man eine Stelle, an der die Welle auf der Mittellinie ansteigt: Z bei π⁠/⁠4. Dort ist die Klammer null, also $-c=\frac{\pi }{4}$ und $c=-\frac{\pi }{4}$. Der Term ist $f(x)=3\sin (2(x-\frac{\pi }{4}))+1$. Probe: $f(\frac{\pi }{2})=3\sin \frac{\pi }{2}+1=4$, das ist der Hochpunkt. Solche Proben an einem abgelesenen Punkt fangen Vorzeichenfehler bei c sofort ab.

Das Riesenrad als Modell

Aus dem Text des Riesenrads liest man die vier Zahlen ab. Der Radius 20 m ist die Amplitude a = 20, die Nabe in 22 m Höhe die Mittellinie d = 22. Eine Umdrehung in T = 10 min ist die Periode, also $b=\frac{2\pi }{10}=\frac{\pi }{5}$. Bei t = 0 steht die Gondel unten, dort hat die Welle ihren Tiefpunkt; sie steigt durch die Mittellinie zum ersten Mal bei t = 2,5, also $c=-2,5$. Das Modell lautet $h(t)=20\sin (\frac{\pi }{5}(t-2,5))+22$. Probe: h(0) = 2 m. Nach drei Minuten ist $h(3)\approx 28,2$ m. Der Rechner muss dabei im RAD-Modus stehen.

Wann ist die Gondel auf 30 m?

Aus $h(t)=30$ folgt $\sin (\frac{\pi }{5}(t-2,5))=0,4$. Der Rechner liefert ${\sin }^{-1}(0,4)\approx 0,41$, also $t-2,5=0,41\cdot \frac{5}{\pi }\approx 0,65$ und $t\approx 3,15$ min. Die zweite Lösung des Sinus ist $\pi -0,41\approx 2,73$, das gibt $t\approx 6,85$ min: Auf dem Weg nach oben und auf dem Weg nach unten ist die Gondel einmal auf 30 m. Nach 10 min wiederholt sich alles, bei 13,15 min und 16,85 min.