Pyramide und Kegel

Eine Pyramide steht auf einer Grundfläche G, hier ein Quadrat mit der Grundkante a. Von jeder Grundkante steigt eine dreieckige Seitenfläche zur Spitze S auf. Alle Seitenflächen zusammen heißen Mantel; die Grundfläche gehört nicht dazu. Die Kanten der Grundfläche heißen Grundkanten, die Kanten von der Spitze zu den Ecken der Grundfläche Seitenkanten.

Die Körperhöhe h ist die Strecke von der Spitze, die senkrecht auf der Grundfläche steht. Bei einer geraden Pyramide trifft sie die Grundfläche im Schnittpunkt M der Diagonalen. Sie ist kürzer als jede Seitenkante SA, denn SA ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks SMA.

Im Schrägbild zeichnest du die vordere Kante in wahrer Länge. Kanten, die nach hinten laufen, zeichnest du unter 45° und auf die Hälfte verkürzt; verdeckte Kanten werden gestrichelt. Die Ecken der Grundfläche heißen A (vorn links), B (vorn rechts), C (hinten rechts) und D (hinten links): Verdeckt ist dann alles, was an D hängt. Die Höhe steht senkrecht über M und behält ihre Länge.

Zeichne selbst: zuerst das Parallelogramm der Grundfläche, dann die Diagonalen bis zu ihrem Schnittpunkt M, von M die Höhe senkrecht nach oben und zuletzt die Spitze mit den vier Ecken verbinden.

Das Netz

Schneidest du eine Pyramide an den Seitenkanten auf und klappst alles in die Ebene, entsteht das Netz: ein Quadrat als Grundfläche und daran vier gleichschenklige Dreiecke, eines an jeder Grundkante. Die Höhe eines dieser Dreiecke heißt Seitenhöhe h_s. Sie steht senkrecht auf der Grundkante und ist nicht die Körperhöhe. Bei einem Sechseck als Grundfläche wären es sechs Dreiecke: Die Zahl der Dreiecke ist die Zahl der Grundkanten.

Die Seitenhöhe berechnen

Die Seitenhöhe liegt in einem rechtwinkligen Dreieck: Eine Kathete ist die Körperhöhe h, die andere die halbe Grundkante a/2, die Hypotenuse ist h_s.

$${h_s}^2=h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$

Beispiel a = 6 cm, h = 4 cm: $h_s^2=16+9=25$, also h_s = 5 cm. Die Seitenhöhe ist immer länger als die Körperhöhe. Wer statt a/2 die ganze Kante einsetzt, erhält rund 7,2 cm – falsch.

Mantel und Oberfläche

Jedes der vier Dreiecke hat die Grundseite a und die Höhe h_s, also die Fläche ½ · a · h_s. Der Mantel besteht aus vier Dreiecken:

$$M=4\cdot \frac{1}{2}\cdot a\cdot h_s=2\cdot a\cdot h_{s}O=a^2+M$$

Beispiel: M = 2 · 6 · 5 = 60 cm² und O = 36 + 60 = 96 cm². Die Grundfläche zählt nur zur Oberfläche, nicht zum Mantel.

Ein Stapel Münzen ist ein Zylinder. Schiebst du die Münzen gegeneinander, wird der Stapel schief – doch es sind dieselben Münzen, und der Stapel ist gleich hoch. Sein Volumen ändert sich nicht. Das ist der Kern des Prinzips von Cavalieri: Haben zwei Körper gleicher Höhe in jeder Höhe gleich große Schnittflächen, dann haben sie dasselbe Volumen. Der Grund: Zerlegst du beide in dünne Scheiben, hat jede Scheibe dieselbe Fläche und Dicke wie ihr Gegenstück – die Summe bleibt gleich. Für die Schule ist das ein tragfähiges Argument, kein strenger Beweis.

Gleiche Grundfläche und gleiche Höhe genügen allein nicht: Ein Quader behält seine Schnittfläche bis oben, eine Pyramide nicht. Für ein schiefes Prisma folgt aber $V=G\cdot h$, wobei h der senkrechte Abstand von Grund- und Deckfläche ist und nicht die Länge der schrägen Kante k. Fehlt h, hilft ein rechtwinkliges Dreieck aus Kante und seitlicher Verschiebung s: $h^2=k^2-s^2$.

Drei Pyramiden im Würfel

Ein Würfel mit der Kante a lässt sich von einer Ecke G aus in drei gleiche Pyramiden zerlegen. Ihre Grundflächen sind die drei Würfelflächen, die G nicht berühren; jede hat die Grundfläche $a^2$ und die Höhe a. Also ist jede Pyramide ein Drittel des Würfels: $V=\frac{1}{3}{a}^3=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot a$. Bei a = 3 cm: 27 cm³ : 3 = 9 cm³.

Gleiche Schnitte

Gilt das auch für andere Pyramiden? Schneide eine Pyramide im Abstand d von der Spitze waagerecht durch: Alle Längen sind mit dem Faktor k = d/h verkleinert, die Schnittfläche also mit k²: $A=k^2\cdot G$. Bei halber Höhe ist k = ½ und A = ¼ · G. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben daher in jeder Höhe gleich große Schnitte, auch wenn ihre Grundflächen verschieden geformt sind. Nach Cavalieri haben sie dasselbe Volumen. Streckst du die Würfelpyramide in der Höhe von a auf h, wächst das Volumen im Verhältnis h : a, also $V=\frac{1}{3}{a}^3\cdot \frac{h}{a}=\frac{1}{3}{a}^{2}h$. Das gilt für jede quadratische Grundfläche a² und damit für jede Grundfläche.

V = ⅓ · G · h

Damit gilt für jede Pyramide

$$V=\frac{1}{3}\cdot G\cdot h$$

mit der Körperhöhe h – nicht der Seitenhöhe. Die Pyramide ist ein Drittel des Prismas über derselben Grundfläche. Beispiel a = 6 cm, h = 4 cm: $V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4=48{\text{cm}}^3$. Beim Dreieck steht in der Flächenformel ein Halb, hier ein Drittel. Warum nicht ein Halb? Weil die Pyramide nach oben schnell schmaler wird: Schon in halber Höhe ist der Schnitt nur noch ein Viertel der Grundfläche, und dieser Verlust summiert sich zu zwei Dritteln des Prismas.

Ein gerader Kreiskegel steht auf einem Grundkreis mit dem Radius r. Seine Spitze liegt senkrecht über dem Mittelpunkt M; der Abstand ist die Körperhöhe h. Jede Strecke von der Spitze zu einem Punkt des Kreisrandes ist eine Mantellinie s; beim geraden Kegel sind alle gleich lang.

Radius, Höhe und Mantellinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck mit s als Hypotenuse: $s^2=r^2+h^2$. Beispiel r = 3 cm, h = 4 cm: s = 5 cm. Die Mantellinie ist länger als h und als r, aber kürzer als r + h. Der Gedanke ist derselbe wie bei der Seitenhöhe der Pyramide, nur steht die Hypotenuse jetzt über dem Radius und nicht über der halben Grundkante.

Das Netz des Kegels besteht aus einem Kreis mit dem Radius r (der Boden) und einem Kreisausschnitt (der Mantel). Der Radius des Ausschnitts ist die Mantellinie s – nicht r und nicht h.

Der Mantel als Kreisausschnitt

Rollst du den Mantel ab, entsteht ein Kreisausschnitt mit dem Radius s. Sein Bogen lag um den Grundkreis, ist also so lang wie dessen Umfang: $b=2\pi r$. Der ganze Kreis mit dem Radius s hätte den Umfang 2πs; der Ausschnitt ist also der Anteil r/s davon. Sein Winkel ist $\phi =360°\cdot \frac{r}{s}$, und der Mantel ist derselbe Anteil der Kreisfläche πs²:

$$M=\frac{r}{s}\cdot \pi s^2=\pi \cdot r\cdot s$$

Beispiel r = 3 cm, s = 5 cm: Anteil 3/5, φ = 216°, b = 6π ≈ 18,85 cm und M = 15π ≈ 47,1 cm².

Die Oberfläche

Zum Mantel kommt der Grundkreis:

$$O=\pi r^2+\pi rs=\pi \cdot r\cdot (r+s)$$

Für r = 3 cm und s = 5 cm: O = 9π + 15π = 24π ≈ 75,4 cm². Wer nur πrs rechnet, hat den Mantel. In die Formeln gehört die Mantellinie s; ist die Höhe h gegeben, berechne zuerst s = √(r² + h²). Für ein Zeltdach ohne Boden zählt nur der Mantel, für eine geschlossene Dose die ganze Oberfläche.

Ein Kegel ist eine Pyramide mit runder Grundfläche – fast. Zeichne in den Grundkreis ein regelmäßiges n-Eck. Je größer n, desto besser füllt es den Kreis: Seine Fläche $A_n$ wächst, bleibt aber immer kleiner als $\pi r^2$. Für r = 5 cm gilt: n = 4 gibt 50 cm², n = 6 gibt 64,95 cm², n = 12 gibt 75 cm², der Kreis hat 78,54 cm².

Eine Pyramide über diesem n-Eck mit der Höhe h des Kegels hat $V=\frac{1}{3}\cdot A_n\cdot h$. Mit wachsendem n nähern sich diese Pyramiden dem Kegel, immer von innen: $V_{\text{Kegel}}=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h$. Der Kegel ist der Grenzfall der Pyramiden. Umgekehrt passt in eine Pyramide mit der Grundkante 2r ein Kegel gleicher Höhe, dessen Grundkreis die vier Grundkanten berührt – er füllt sie zu π/4 ≈ 78,5 %. Das ist keine strenge Herleitung, aber ein tragfähiges Argument: Im Kegelvolumen steckt dieselbe Struktur wie in der Pyramide – Grundfläche mal Höhe, geteilt durch drei.

Die Grenzfall-Überlegung liefert das Kegelvolumen:

$$V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h$$

Der Kegel fasst ein Drittel des Zylinders mit demselben Grundkreis und derselben Höhe ($V_Z=\pi r^{2}h$), so wie die Pyramide ein Drittel des Prismas ist. Beispiel r = 3 cm, h = 4 cm: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9\cdot 4=12\pi \approx 37,7{\text{cm}}^3$. Der Radius geht quadriert ein: Verdoppelst du r, vervierfacht sich V. Ist statt h die Mantellinie s gegeben, berechne zuerst $h=\sqrt{s^2-r^2}$; s gehört nicht in die Volumenformel. Beispiel: r = 4 cm und s = 5 cm geben h = 3 cm und $V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 16\cdot 3=16\pi \approx 50,3{\text{cm}}^3$.

Probe mit Wasser: Füllst du einen Kegel dreimal randvoll und gießt alles in den Zylinder gleicher Maße, ist der Zylinder genau voll. Die Formel ist also dieselbe wie beim Zylinder – nur mit dem Faktor ⅓, den schon die Pyramide hatte.